1、第2课时零点的存在性及其近似值的求法1.1.函数零点存在定理函数零点存在定理(1)(1)条件：函数条件：函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的图像是连续不上的图像是连续不断的曲线，并且断的曲线，并且f(a)f(b)0.f(a)f(b)0.(2)(2)结论：函数结论：函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a(a，b)b)中至少有一个零点，中至少有一个零点，即即x x0 0(a(a，b)b)，f(xf(x0 0)=0)=0.【思考思考】(1)(1)函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的图像是连续不断的曲上的图像是连续不断的曲线，线，f(a)f(b)0f(a)
2、f(b)0时，能否判断函数在区间时，能否判断函数在区间aa，bb上的上的零点个数？零点个数？提示：提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数只能判断有无零点，不能判断零点的个数.(2)(2)函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a(a，b)b)上有零点，是不是一定有上有零点，是不是一定有f(a)f(b)0f(a)f(b)0.1=10.2.2.二分法的概念二分法的概念对于在区间对于在区间aa，bb上连续不断且上连续不断且f(a)f(b)0f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x)y=f(x)，通过不断地把函数，通过不断地把函数f(x)f(x)的零点所在的区间一的零点所在的区间一分为二，使
3、区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法函数零点的方法叫做二分法.【思考思考】能否用二分法求方程的近似解？能否用二分法求方程的近似解？提示：提示：能，方程的根即为函数的零点能，方程的根即为函数的零点.3.3.用二分法求函数零点近似值的步骤用二分法求函数零点近似值的步骤给定精度给定精度，用二分法求函数，用二分法求函数f(x)f(x)零点零点x x0 0近似值近似值x x1 1，使得使得|x|x1 1-x-x0 0|的一般步骤如下：的一般步骤如下：第一步，检查第一步，检查|b-a|2|b-a|2是否成立，如果成立，取是否成立，如果成
4、立，取x x1 1=，计算结束，如果不成立转到第二步；，计算结束，如果不成立转到第二步；ab2第二步，计算区间第二步，计算区间(a(a，b)b)的中点的中点 对应的函数值，对应的函数值，若若f()=0f()=0，取，取x x1 1=，计算结束；若，计算结束；若f()f()00，转，转 到第三步；到第三步；第三步，若第三步，若f(a)f()0f(a)f()0，将，将 b b，回到，回到第一步；否则必有第一步；否则必有f()f(b)0f()f(b)0，将，将 a a，回到第一步回到第一步.ab2ab2ab2ab2ab2ab2ab2ab2【思考思考】当当|b-a|2|b-a|2时，取区间时，取区间(
5、a(a，b)b)的中点作为零点的近似的中点作为零点的近似解，区间解，区间(a(a，b)b)上的其他点一定不是零点的近似解吗？上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？为什么不取其他的点作为近似解？提示：提示：设函数的零点是设函数的零点是x x0 0，区间，区间(a(a，b)b)的其他点为的其他点为xx，xx也可能是零点的近似解，即满足也可能是零点的近似解，即满足|x-x|x-x0 0|0f(a)f(b)0，则在区间则在区间(a(a，b)b)上一定没有零点上一定没有零点.()(3)(3)求任何函数的零点都可以用二分法求任何函数的零点都可以用二分法.()1(,0).2提示：提
6、示：(1)(1).函数函数y=2x-1y=2x-1的零点是的零点是 .(2)(2).如如f(x)=xf(x)=x2 2在区间在区间(-1(-1，1)1)上有上有f(-1)f(1)f(-1)f(1)=1=11=101=10，但是在区间，但是在区间(-1(-1，1)1)上有零点上有零点0.0.(3)(3).函数需满足在区间函数需满足在区间aa，bb上连续不断且上连续不断且f(a)f(a)f(b)0f(b)0，才能用二分法求零点，才能用二分法求零点.122.2.下列图像表示的函数中没有零点的是下列图像表示的函数中没有零点的是()【解析解析】选选A.BA.B，C C，D D的图像均与的图像均与x x轴
7、有交点，故函数轴有交点，故函数均有零点，均有零点，A A的图像与的图像与x x轴没有交点，故函数没有零点轴没有交点，故函数没有零点.3.3.下列图像与下列图像与x x轴均有交点，其中不能用二分法求函数轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是零点的是()【解析解析】选选A.A.只有只有A A中图像没有穿越中图像没有穿越x x轴轴.类型一函数零点所在区间的求法类型一函数零点所在区间的求法【典例典例】1.1.若若abcabc，则函数，则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分
8、别位于区间的两个零点分别位于区间()A.(aA.(a，b)b)和和(b(b，c)c)内内B.(-B.(-，a)a)和和(a(a，b)b)内内C.(bC.(b，c)c)和和(c(c，+)+)内内D.(-D.(-，a)a)和和(c(c，+)+)内内2.2.函数函数f(x)=2f(x)=2x x-的零点所在的区间是的零点所在的区间是()A.(1A.(1，+)+)B.B.C.C.D.D.1x1(,1)21 1(,)3 21 1(,)4 3【思维思维引引】1.1.根据函数零点存在定理，找到一个区间，使得在区根据函数零点存在定理，找到一个区间，使得在区间两端点函数值异号间两端点函数值异号.2.2.计算在各
9、个区间端点处的函数值，利用零点存在定计算在各个区间端点处的函数值，利用零点存在定理判断理判断.【解析解析】1.1.选选A.A.因为因为f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-c)(x-a)，所以，所以f(a)=(a-b)(a-c)f(a)=(a-b)(a-c)，f(b)=f(b)=(b-c)(b-a)(b-c)(b-a)，f(c)=(c-a)(c-b)f(c)=(c-a)(c-b)，因为因为abcab0f(a)0，f(b)0f(b)0f(c)0，所以所以f(a)f(b)0f(a)f(b)0，f(b)f
10、(c)0f(b)f(c)0，故，故x x1 1(a(a，b)b)，x x2 2(b(b，c)c)，f(xf(x1 1)=0)=0，f(xf(x2 2)=0)=0，所以所以f(x)f(x)的两个零点分别位于区间的两个零点分别位于区间(a(a，b)b)和和(b(b，c)c)内内.2.2.选选B.f(1)=2-1=1B.f(1)=2-1=1，即即f f(1)0f f(1)0，所以，所以x x0 0 ，f(xf(x0 0)=0)=0，且且f(x)f(x)的图像在的图像在 内是一条连续不断的曲线，内是一条连续不断的曲线，故故f(x)f(x)的零点所在的区间是的零点所在的区间是 .121f()222202
11、，1()21(,1)21(,1)21(,1)2【内化内化悟悟】求函数零点所在区间的关键是什么？求函数零点所在区间的关键是什么？提示：提示：判断区间端点处函数值与判断区间端点处函数值与0 0的大小关系的大小关系.【类题类题通通】判断函数零点所在区间的三个步骤判断函数零点所在区间的三个步骤(1)(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负
12、且函数连续，则在则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点该区间内至少有一个零点.【习练习练破破】对于方程对于方程x x3 3+x+x2 2-2x-1=0-2x-1=0，有下列判断：在，有下列判断：在(-2(-2，-1)-1)内有实数根；在内有实数根；在(-1(-1，0)0)内有实数根；在内有实数根；在(1(1，2)2)内内有实数根；在有实数根；在(-(-，+)+)内没有实数根内没有实数根.其中正确的其中正确的有有_.(_.(填序号填序号)【解析解析】设设f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-2x-1-2x-1，则则f(-2)=-10f(-2)=-10f(-1
13、)=10，f(0)=-10f(0)=-10，f(1)=-10f(1)=-10f(2)=70，所以所以f(-2)f(-2)f(-1)0f(-1)0，f(-1)f(-1)f(0)0f(0)0，f(1)f(1)f(2)0f(2)0，所以，所以x x1 1(-2(-2，-1)-1)，x x2 2(-1(-1，0)0)，x x3 3(1(1，2)2)，f(xf(x1 1)=0)=0，f(xf(x2 2)=0)=0，f(xf(x3 3)=0.)=0.则则f(x)f(x)在在(-2(-2，-1)-1)，(-1(-1，0)0)，(1(1，2)2)内均有零点，即内均有零点，即正确正确.答案：答案：【加练加练固固
14、】函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x+a-2x+a在区间在区间(-2(-2，0)0)和和(2(2，3)3)内各有一个内各有一个零点，则实数零点，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】因为函数因为函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x+a-2x+a在区间在区间(-2(-2，0)0)和和(2(2，3)3)内各有一个零点，由二次函数图像的性质，内各有一个零点，由二次函数图像的性质，知知 解得解得-3a0.-3a0f(1)0，f(2)0f(2)0，则，则f(x)f(x)在在(1(1，2)2)上的零点上的零点世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.A.至多有一个至多有一个B.B
15、.有一个或两个有一个或两个C.C.有且仅有一个有且仅有一个D.D.一个也没有一个也没有【思维思维引引】1.1.令令f(x)=0f(x)=0，移项后转化为两个初等函数，利用图像，移项后转化为两个初等函数，利用图像的交点个数判断的交点个数判断.2.2.先确定函数，再分类讨论先确定函数，再分类讨论a a的范围的范围.【解析解析】1.1.选选C.C.令令f(x)=-xf(x)=-x2 2+1=0+1=0，得，得 =x=x2 2-1-1，则函数则函数f(x)f(x)的零点个数，即的零点个数，即y=y=与与y=xy=x2 2-1-1的交点的交点个数，如图所示，个数，如图所示，有两个交点，故函数有两个交点，
16、故函数f(x)=f(x)=-x -x2 2+1+1有两个零点有两个零点.1|x1|x1|x1|x2.2.选选C.C.若若a=0a=0，则，则f(x)=bx+cf(x)=bx+c是一次函数，是一次函数，由由f(1)f(1)f(2)0f(2)0f(2)0，与已知矛盾，与已知矛盾.【内化内化悟悟】在不求零点的情况下怎样判断函数零点的个数？在不求零点的情况下怎样判断函数零点的个数？提示：提示：转化为两个函数的图像的交点问题，几个交点转化为两个函数的图像的交点问题，几个交点就有几个零点就有几个零点.【类题类题通通】利用函数的图像判断零点个数利用函数的图像判断零点个数(1)(1)原理：函数的零点个数原理：
17、函数的零点个数 方程的根的个数方程的根的个数 移项拆移项拆分为两个函数，作图观察交点个数分为两个函数，作图观察交点个数.(2)(2)关键：拆分成的两个函数应方便作图关键：拆分成的两个函数应方便作图.【习练习练破破】函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-(k+2)x+1-3k-(k+2)x+1-3k有两个不等零点有两个不等零点x x1 1，x x2 2，且，且0 x0 x1 11x1x2 222，求实数，求实数k k的取值范围的取值范围.【解析解析】因为函数因为函数f(x)=xf(x)=x2 2-(k+2)x+1-3k-(k+2)x+1-3k有两个零点有两个零点x x1 1，x x2 2，且，
18、且0 x0 x1 11x1x2 220f(0)=1-3k0，且，且f(1)=-4k0f(1)=-4k0f(2)=1-5k0，所以，所以0k .0k .所以实数所以实数k k的取值范围为的取值范围为 1k|0k.515【加练加练固固】函数函数f(x)=2-(x-1f(x)=2-(x-1，1)1)的零点个数为的零点个数为_._.【解析解析】令令2-=02-=0，解得，解得x=0 x=0，所以函数仅有一个，所以函数仅有一个零点零点.答案：答案：1 124x24x类型三二分法的应用类型三二分法的应用角度角度1 1二分法概念的理解二分法概念的理解【典例典例】1.1.用二分法求如图所示函数用二分法求如图所
19、示函数f(x)f(x)的零点时，的零点时，不可能求出的零点是不可能求出的零点是()A.xA.x1 1B.xB.x2 2C.xC.x3 3D.xD.x4 42.2.用二分法求函数用二分法求函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(2(2，4)4)上的近似解，上的近似解，验证验证f(2)f(4)0f(2)f(4)0，给定精度为，给定精度为0.10.1，需将区间等分，需将区间等分_次次.【思维思维引引】1.1.根据二分法的定义判断根据二分法的定义判断.2.2.根据二分法求零点的步骤判断根据二分法求零点的步骤判断.【解析解析】1.1.选选C.C.二分法求函数二分法求函数f(x)f(x)的零点时，函数必
20、的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号，而题图中函数在零须满足在零点两侧的函数值异号，而题图中函数在零点点x x3 3的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出.2.2.开区间开区间(2(2，4)4)的长度等于的长度等于2 2，每经过一次操作，区间，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过长度变为原来的一半，经过n n次操作后，区间长度变次操作后，区间长度变为为 因为用二分法求函数因为用二分法求函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(2(2，4)4)上的近似上的近似解，要求精确度为解，要求精确度为0.10.1，所以，所以 0.20.2，解得
21、，解得n4.n4.答案：答案：4 4n 112，n 112【内化内化悟悟】能用二分法求零点的函数图像有什么特征？能用二分法求零点的函数图像有什么特征？提示：提示：函数的图像应穿过函数的图像应穿过x x轴，零点左右的函数值符号轴，零点左右的函数值符号相反相反.【类题类题通通】运用二分法求函数的零点应具备的条件运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)(1)函数图像在零点附近连续不断函数图像在零点附近连续不断.(2)(2)在该零点左右函数值异号在该零点左右函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.【习练习练破破】1.1.下列函数中，不能用二
22、分法求零点的是下列函数中，不能用二分法求零点的是 ()【解析解析】选选D.D.由函数图像可得，由函数图像可得，D D中的函数没有零点，中的函数没有零点，故不能用二分法求零点；故不能用二分法求零点；A A，B B，C C中的函数存在零点且中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点数的零点.2.2.下列函数的零点不能用二分法求解的是下列函数的零点不能用二分法求解的是 ()A.f(x)=xA.f(x)=x3 3-1-1B.f(x)=2x-1B.f(x)=2x-1C.f(x)=|x|C.f(x)=|x|D.f(x)=-xD.f
23、(x)=-x2 2+4x-1+4x-1【解析解析】选选C.C.所给函数均为连续函数，故只需考虑是所给函数均为连续函数，故只需考虑是否存在区间否存在区间aa，bb，使得，使得f(a)f(b)0f(a)f(b)0即可即可.对于对于A A，存，存在区间在区间00，22，使得，使得f(0)f(2)0f(0)f(2)0，对于对于B B，存在区间，存在区间00，11，使得，使得f(0)f(1)0f(0)f(1)0，对于，对于C C，由于由于f(x)=|x|0f(x)=|x|0，故不存在区间故不存在区间aa，bb，使得，使得f(a)f(b)0f(a)f(b)0，对于对于D D，存在区间，存在区间00，11，
24、使得，使得f(0)f(1)0.f(0)f(1)0.角度角度2 2用二分法求函数的近似解用二分法求函数的近似解【典例典例】1.1.用二分法研究函数用二分法研究函数f(x)=xf(x)=x3 3-2x-1-2x-1的零点时，的零点时，若零点所在的初始区间为若零点所在的初始区间为(1(1，2)2)，则下一个有解区间，则下一个有解区间为为()A.(1A.(1，2)2)B.(1.75B.(1.75，2)2)C.(1.5C.(1.5，2)2)D.(1D.(1，1.5)1.5)2.2.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+2x-8+2x-8的零点用二分法计算，附近的零点用二分法计算，附近的函数值参
25、考数据如表所示：的函数值参考数据如表所示：x x1 12 21.51.51.6251.6251.751.75f(x)f(x)-5.00-5.004.004.00-1.63-1.63-0.46-0.460.860.86则方程则方程x x3 3+2x-8=0+2x-8=0的近似解可取为的近似解可取为(精度精度0.1)(0.1)()世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.1.50A.1.50B.1.625B.1.625C.1.75C.1.75D.1.6875D.1.6875【思维思维引引】1.1.确定有解区间要计算确定有解区间要计算f(1)f(1)，f(2)f(2)，f(1.5).f(1.5).2.2.首先
26、确定有解区间，再验证是否满足精度首先确定有解区间，再验证是否满足精度.【解析解析】1.1.选选C.C.对于函数对于函数f(x)=xf(x)=x3 3-2x-1-2x-1，因为因为f(1)=-20f(1)=-20f(2)=30，f(1.5)=-0f(1.5)=-0，因此因此x x0 0(1.5(1.5，2)2)，f(xf(x0 0)=0.)=0.所以下一个有根区间是所以下一个有根区间是(1.5(1.5，2).2).582.2.选选D.D.由表格可得，由表格可得，f(1.625)f(1.625)f(1.75)0f(1.75)0，那么那么x x0 0(1.625(1.625，1.75)1.75)，f
27、(xf(x0 0)=0)=0，所以函数所以函数f(x)f(x)的零点在的零点在(1.625(1.625，1.75)1.75)之间，之间，又又1.75-1.625=0.12521.75-1.625=0.12520.1=0.20.1=0.2，所以方程的零点可以取所以方程的零点可以取 1.625 1.751.687 5.2【内化内化悟悟】1.1.怎么样确定零点所在的区间？怎么样确定零点所在的区间？提示：提示：取中点，计算中点的函数值，与端点函数值比取中点，计算中点的函数值，与端点函数值比较符号异同，在符号相异的一侧区间内较符号异同，在符号相异的一侧区间内.2.2.怎样确定二分法终止的区间？怎样确定二
28、分法终止的区间？提示：提示：验证是否满足验证是否满足|a-b|2.|a-b|2.【类题类题通通】用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)(1)需依据图像估计零点所在的初始区间需依据图像估计零点所在的初始区间mm，nn(一般采用估计值的方法完成一般采用估计值的方法完成).).(2)(2)取区间端点的平均数取区间端点的平均数c c，计算，计算f(c)f(c)，确定有解区间，确定有解区间是是mm，cc还是还是cc，nn，逐步缩小区间的，逐步缩小区间的“长度长度”，直，直到区间的两个端点符合精度要求，终止计算，得到函到区间的两个端点符合精度要求，终止计算，得到
29、函数零点的近似值数零点的近似值.【习练习练破破】1.1.用二分法求函数用二分法求函数f(x)=xf(x)=x3 3+5+5的零点可以取的初始区间的零点可以取的初始区间是是()A.-2A.-2，11B.-1B.-1，00C.0C.0，11D.1D.1，22【解析解析】选选A.A.二分法求变号零点时所取初始区间二分法求变号零点时所取初始区间aa，bb，应满足，应满足f(a)f(a)f(b)0.f(b)0.本题中函数本题中函数f(x)=xf(x)=x3 3+5+5，由于，由于f(-2)=-3f(-2)=-3，f(1)=6f(1)=6，显然，显然满足满足f(-2)f(-2)f(1)0f(1)0，因此，
30、因此x x0 0(-2(-2，1)1)，f(xf(x0 0)=0)=0，故函数故函数f(x)=xf(x)=x3 3+5+5的零点可以取的初始区间是的零点可以取的初始区间是-2-2，1.1.2.2.用二分法求用二分法求f(x)=0f(x)=0的近似解，的近似解，f(1)=-2f(1)=-2，f(1.5)=0.625f(1.5)=0.625，f(1.25)=-0.984f(1.25)=-0.984，f(1.375)=-0.260f(1.375)=-0.260，下一个求下一个求f(m)f(m)，则，则m=_.m=_.【解析解析】根据题意，方程根据题意，方程f(x)=0f(x)=0的根应该在区间的根应
31、该在区间(1.375(1.375，1.5)1.5)上，则上，则m=1.437 5.m=1.437 5.答案：答案：1.437 51.437 51.375 1.52【加练加练固固】用二分法找函数用二分法找函数f(x)=2f(x)=2x x+3x-7+3x-7在区间在区间00，44上的零上的零点近似值，取区间中点点近似值，取区间中点2 2，则下一个存在零点的区间，则下一个存在零点的区间为为()A.(0A.(0，1)1)B.(0B.(0，2)2)C.(2C.(2，3)3)D.(2D.(2，4)4)【解析解析】选选B.B.因为因为f(0)=2f(0)=20 0+0-7=-60+0-7=-60+12-7
32、=210，又已知，又已知f(2)=2f(2)=22 2+6-7=30+6-7=30，所以所以f(0)f(2)0f(0)f(2)0，因此，因此x x0 0(0(0，2)2)，f(xf(x0 0)=0)=0所以零点所在区间为所以零点所在区间为(0(0，2).2).角度角度3 3零点、二分法的综合应用零点、二分法的综合应用【典例典例】若函数若函数f(x)=3xf(x)=3x2 2-5x+a-5x+a的一个零点在区间的一个零点在区间(-2(-2，0)0)内，另一个零点在区间内，另一个零点在区间(1(1，3)3)内，则实数内，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【思维思维引引】根据函数的一个零点在区间根据函数的一个零点在区间(-2(-2，0)0)内，内，另一个零点在区间另一个零点在区间(1(1，3)3)内，可以求出内，可以求出f(-2)f(-2)与与f(0)f(0)的的关系和关系和f(1)f(1)与与f(3)f(3)的关系，再求出的关系，再求出a a的取值范围的取值范围.【解析解析】根据二次函数及其零点所在区间可画出大致根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图：图像，如图：
