1、2.1.22.1.2两条直线平行和垂直的判定两条直线平行和垂直的判定激趣诱思知识点拨过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?激趣诱思知识点拨一、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为1,2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:激趣诱思知识点拨微思考对于两条不重合的直线l1,l2,“l1l2”
2、是“两条直线斜率相等”的什么条件?答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.微练习已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1l2,则x=.解析:由题意知l1x轴.又l1l2,所以l2x轴,故x=2.答案:2激趣诱思知识点拨二、两条直线垂直与斜率之间的关系 名师点析“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.激趣诱思知识点拨微练习若直线l1,l2的斜率是方程
3、x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是.解析:由根与系数的关系,知k1k2=-1,所以l1l2.答案:l1l2探究一探究二探究三素养形成当堂检测两直线平行两直线平行例1判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).思路分析:斜率存在的直线求出斜率,利用l1l2k1=k
4、2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.探究一探究二探究三素养形成当堂检测则A,B,M不共线.故l1l2.(4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1l2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟两直线平行的判定及应用1.判定两直线是否平行时判定两直线是否平行时,应先看两直线的斜率是否存在应先看两直线的斜率是否存在,若都不存若都不存在在,则平行则平行(不重合的情况下不重合的情况下);若存在若存在,再看是否相等再看是否相等,若相等若相等,则平行则平行(不重合的情况下不重合的情况下).2.若已知两直线平行若已知两直线平行,求某参数值时求某参数值时,也应
5、分斜率存在与不存在两种也应分斜率存在与不存在两种情况求解情况求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若ABMN,则m的值为.解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;答案:0或1 探究一探究二探究三素养形成当堂检测两直线垂直两直线垂直例2(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;(2)已知直线l1经过点A(3,a)
6、,B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,求a的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1l2.(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1l2,满足题意.综上所述,a的值为0或
7、5.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟两直线垂直的判定方法两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点P,则交点P的坐标是.解析:设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).kPB0,kPA0,kPAkPB=-1,(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).答案:(1,0)或(2,0)探究一探究二探究三素养形成当堂检测两直
8、线平行与垂直的综合应用两直线平行与垂直的综合应用例3如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t0.试判断四边形OPQR的形状.思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.探究一探究二探究三素养形成当堂检测所以四边形OPQR为平行四边形.又kOPkOR=-1,所以OPOR,故四边形OPQR为矩形.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究1将本例中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),顺次连接A,B,C,D四点,试判断四
9、边形ABCD的形状.”解:由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图,所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,所以ABCD,由kADkBC,所以AD与BC不平行.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究2将本例改为“已知矩形OPQR中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下,判定几何图形的形状时,要先画图,猜测其形状,以明确证明的目标.(2)证
10、明两直线平行时,仅有k1=k2是不够的,还要注意排除两直线重合的情况.(3)判断四边形形状,要依据四边形的特点,并且不会产生其他的情况.探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类讨论思想在平行与垂直中的应用分类讨论思想在平行与垂直中的应用典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.思路分析:分析题意可知,AB、BC都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是直角梯形的直角边,则BCCD,ADCD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3;接下来
11、再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,则kABkBC=0-1,即AB与BC不垂直,故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.若CD是直角梯形的直角边,则BCCD,ADCD,kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.探究一探究二
12、探究三素养形成当堂检测1.若直线l1的斜率为a,l1l2,则直线l2的斜率为()答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.已知直线l1的倾斜角为45,直线l1l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为.答案:4 3.已知ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m=.解析:设直线AD,BC的斜率分别为kAD,kBC,由题意,得ADBC,则有kADkBC=-1,探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,判断四边形ABCD形状.所以直线AD垂直于直线AB与CD,而且直线BC不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD是直角梯形.
