1、11.1 11.1 直线的点方向式方程直线的点方向式方程历史上的数学历史上的数学1717世纪以来，由于航海、天文、力学、世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了初等代数的迅速发展，促进了解析几何解析几何的建的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。立，并被广泛应用于数学的各个分支。在解析几何创立以前，在解析几何创立以前，几何与代数几何与代数是彼是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了真正实现了几何方法与代数方法的结合几何方法与代数方法的结合，使，使形与数统
2、一起来，这是数学发展史上的一次形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。重大突破。历史上的数学历史上的数学解析几何解析几何是指借助是指借助笛卡尔坐标系，用代笛卡尔坐标系，用代数方法研究几何对象数方法研究几何对象之间的关系和性质的一之间的关系和性质的一门几何学分支，门几何学分支，亦叫做坐标几何，亦叫做坐标几何，由由笛卡尔、笛卡尔、费马费马等数学家创立并发展。解析几何包括等数学家创立并发展。解析几何包括平平面解析几何和立体解析几何面解析几何和立体解析几何两部分。两部分。笛卡尔笛卡尔费马费马知识回顾知识回顾问题问题1 1：小学、初中时，我们如何定义直线？：小学、初中时，我们如何定义直线？线段两
3、端无限延长得到的图形是直线；一线段两端无限延长得到的图形是直线；一次函数的图像是直线。次函数的图像是直线。问题问题2 2：随着高中角的定义动态化，直线的定：随着高中角的定义动态化，直线的定义能否动态化？义能否动态化？直线即为某个直线即为某个点点沿着沿着某个方向运动某个方向运动形成的形成的轨迹轨迹。问题问题3 3：一次函数：一次函数y=kx+by=kx+b可以改成二元一次方可以改成二元一次方程程kxkx-y+b=0y+b=0，那么直线与二元一次方程有什，那么直线与二元一次方程有什么联系？么联系？1 1、直线方程的定义：、直线方程的定义：对于坐标平面内的一条直线对于坐标平面内的一条直线l，如果存在
4、，如果存在一个二元一次方程一个二元一次方程A A满足：满足：（1 1）直线）直线l上点的坐标都满足方程上点的坐标都满足方程A A；（2 2）以方程）以方程A A的解为坐标的点都在直线的解为坐标的点都在直线l上。上。那么我们就把那么我们就把方程方程A A叫做直线叫做直线l的方程的方程；直线直线l叫做方程叫做方程A A的图形的图形。新知探究新知探究可见，可见，直线直线l上的点的集合与二元一次方上的点的集合与二元一次方程的解的集合程的解的集合一一对应一一对应。1 1、直线方程的定义：、直线方程的定义：对于坐标平面内的一条直线对于坐标平面内的一条直线l，如果存在，如果存在一个二元一次方程一个二元一次方
5、程A A满足：满足：（1 1）直线）直线l上点的坐标都满足方程上点的坐标都满足方程A A；（2 2）以方程）以方程A A的解为坐标的点都在直线的解为坐标的点都在直线l上。上。那么我们就把那么我们就把方程方程A A叫做直线叫做直线l的方程的方程；直线直线l叫做方程叫做方程A A的图形的图形。新知探究新知探究直线的几何理解直线的几何理解沿某方向的动点轨迹；沿某方向的动点轨迹；代数理解代数理解二元一次方程的解集。二元一次方程的解集。问题问题4 4：要唯一确定坐标平面内的一条直线：要唯一确定坐标平面内的一条直线l，我们需要知道哪些信息？我们需要知道哪些信息？三个不完全重合的已知点；两个不重合的三个不完
6、全重合的已知点；两个不重合的已知点；一个已知点以及该直线的方向；已知点；一个已知点以及该直线的方向；问题问题5 5：如何求平面上，过一已知点且与某一：如何求平面上，过一已知点且与某一方向平行的直线方向平行的直线l的方程？的方程？新知探究新知探究新知探究新知探究2 2、直线的点方向式方程：、直线的点方向式方程：依题意，建立平面直角坐标系，则依题意，建立平面直角坐标系，则P P的坐标是的坐标是 ，方向用非零向量，方向用非零向量 表示。表示。(,)du v00(,)xy建系建系设直线设直线l上动点上动点QQ坐标为坐标为 。(,)x y设点设点列式列式由直线平行于该非零向量，故由直线平行于该非零向量，
7、故 。/PQd 化简化简代入坐标，等价化简得：代入坐标，等价化简得：。00()()v xxu yy检验检验经检验经检验，显然，直线，显然，直线l上的任意一点上的任意一点的坐标都满足方程；的坐标都满足方程；反之，若反之，若 为方程的任意一为方程的任意一解，即解，即 ，记，记 为坐标的点为为坐标的点为QQ1 1，也有，也有 ，QQ1 1在直线在直线l上。上。11(,)x y1010()()v xxu yy11(,)x y1/PQd 新知探究新知探究2 2、直线的点方向式方程：、直线的点方向式方程：新知探究新知探究2 2、直线的点方向式方程：、直线的点方向式方程：建系建系设点设点列式列式化简化简检验
8、检验综上，过点综上，过点 且与非零向量且与非零向量平行的直线平行的直线l的方程为的方程为),(00yxP(,)du v00()()v xxu yy研究解析几何的标准思维路径。研究解析几何的标准思维路径。（1 1）当）当 时，时，方程化为方程化为这即这即直线直线l的点方向式方程；的点方向式方程；叫叫直线直线l的一个方向向量。的一个方向向量。00uv且00 xxyyuv(,)du v方向向量不唯一。方向向量不唯一。2 2、直线的点方向式方程：、直线的点方向式方程：学习新知学习新知（2 2）当）当 时，时，方程化为方程化为表示表示过过 且与且与x x轴垂直的直线。轴垂直的直线。0,0vu00 xx)
9、,(00yxP2 2、直线的点方向式方程：、直线的点方向式方程：学习新知学习新知（3 3）当）当 时，时，方程化为方程化为表示表示过过 且与且与y y轴垂直的直线。轴垂直的直线。0,0vu),(00yxP00 yy00uv且00 xxyyuv直线直线l的点方向式方程的点方向式方程不能表示过不能表示过且与坐标轴垂直的直线，有局限性。且与坐标轴垂直的直线，有局限性。),(00yxP2 2、直线的点方向式方程：、直线的点方向式方程：学习新知学习新知例题与练习例题与练习练练1 1、观察下列直线方程，指出各直线必过的、观察下列直线方程，指出各直线必过的点和它的一个方向向量：点和它的一个方向向量：（学生讨
10、论练习）（学生讨论练习）（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）4533yx)6(7)4(4yx1x02 y解：解：)4,3(d)4,7(d)0,1(d)1,0(d例题与练习例题与练习例例1 1、已知点、已知点 ，求过，求过点点A A，且与，且与BCBC平行的直线平行的直线l的点方向式方程。的点方向式方程。)54(),13(),6,4(，CBA解：解：)4,7(BCd且且直线直线l过点过点)6,4(A直线直线l的点方向式方程为的点方向式方程为4674yx例题与练习例题与练习解：解：)3,7(ABd且且直线直线l过点过点)1,3(A直线直线l的点方向式方程为的点方向式方程为3173yx练练2 2
11、、求经过点、求经过点 的直线的直线l的点的点方向式方程。方向式方程。（学生演示练习）（学生演示练习）)24(),13(，BA学习小结学习小结问题问题6 6：通过本节课的学习，你有哪些收获？：通过本节课的学习，你有哪些收获？学习小结学习小结1 1、解析几何：、解析几何：借助借助笛卡尔坐标系，用代数方法研究几何对象笛卡尔坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学。之间的关系和性质的一门几何学。2 2、直线方程的定义：、直线方程的定义：直线直线l上的点的集合与二元一次方程的解的集合上的点的集合与二元一次方程的解的集合一一对应一一对应。3 3、直线的点方向式方程直线的点方向式方程：有局限性有局限性。
