1、2.2.菱形菱形第第2 2课时课时 菱形的判定菱形的判定沪科版沪科版 八年级下册八年级下册 如图如图2-52，用，用4 支长度相等的铅笔能摆成菱形支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？四边形是菱形吗？动脑筋动脑筋图2-52 下面我们来证明这个结论下面我们来证明这个结论.AD=BC，AB=DC，如图如图2-53，在四边形，在四边形ABCD中，中，AB=BC=CD=DA.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.四边形四边形ABCD是菱形是菱形.图2-53又 AB=AD，结论结论四条边都相等的四边形是菱形.
2、由此得到菱形的判定定理1：举举例例已知：如图已知：如图2-54，在四边形在四边形ABCD 中，线段中，线段BD垂直平分垂直平分AC，且相交于点，且相交于点O，1=2.求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形是菱形.例例1 1图2-54证明证明 由于由于线段线段BD垂直平分垂直平分AC，因此因此BA=BC，DA=DC，OA=OC.在在AOB和和COD中，中，有有1=2，AOB=COD，OA=OC.所以所以OAB OCD.从而从而AB=CD.因此四边形因此四边形ABCD是菱形是菱形.(四条边都相等四条边都相等的四边形是菱形的四边形是菱形)所以BA=BC=DA=DC.图2-54 菱形的两条对角线既互相
3、垂直，又互相平分菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分.从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？吗？过点O画两条互相垂直的线段AC和BD，使得OA=OC，OB=OD.连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图2-55.图2-55动脑筋动脑筋 如图2-55，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相平分，因此它是平行四边形.又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？图2-55我们来进行证明我们来进行证明.又由于又由于DB是线段是
4、线段AC的垂直平分线，的垂直平分线，由于四边形由于四边形ABCD的两条对角线的两条对角线AC与与BD互相平分，因此它是平行四边形互相平分，因此它是平行四边形.因此，因此，DA=DC.从而平行四边形从而平行四边形ABCD是菱形是菱形.图2-55结论结论对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理2：举举例例如图如图2-56，在，在平行四边形平行四边形ABCD中，中，AC=6，BD=8，AD=5.求求AB的长的长.例2图2-56 AB=AD=5.解 四边形ABCD为平行四边形，DAO是直角三角形.DOA=90，即DBAC.平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直 的平行四边形是菱形）
5、113422OAAC,ODBD.又 AD=5，满足 ，222ADOAOD图2-56 1.画一个菱形，使它的两条对角线长度分画一个菱形，使它的两条对角线长度分 别为别为4cm，3cm.练习练习提示：作一条线段长为提示：作一条线段长为4cm，再作该线段，再作该线段的垂直平分线，以垂足为一点在垂线上各的垂直平分线，以垂足为一点在垂线上各取取1.5cm的线段，依次连结两条线段的相的线段，依次连结两条线段的相邻顶点，所成四边形则为所求的菱形邻顶点，所成四边形则为所求的菱形.4cm1.5cm1.5cm练习练习如图，在如图，在平行四边形平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于相交于点点O，过点
6、，过点O 作作MNBD，分别交，分别交AD，BC于点于点M，N.求证：四边形求证：四边形BNDM是菱形是菱形.2.证明证明 由于由于平行四边形平行四边形ABCD，所以 MDBN，ADB=CBD，DMN=BNM，OB=OD.所以所以 ODM OBN.所以NB=MD.又又 MDBN，MNBD，所以四边形BNDM是菱形.例例1 如图，如果要使如图，如果要使ABCD成为一个菱形，成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件需要添加一个条件，那么你添加的条件是是 .AB=AD或或ACBD等等解析考查菱形的判定定理考查菱形的判定定理.例例2 如图，已知等腰如图，已知等腰ABC中，中，AB=AC，AD平
7、分平分BAC交交BC于于D点，在线段点，在线段AD上任取一点上任取一点P(A点除外点除外)，过过P点作点作EFAB，分别交，分别交AC、BC于于E、F点，点，作作PMAC，交，交AB于于M点，连结点，连结ME.（1）求证：四边形）求证：四边形AEPM为菱形为菱形.（2）当）当P点在何处时，菱形点在何处时，菱形AEPM的面积为的面积为 四边形四边形EFBM面积的一半？面积的一半？（1）EFAB，PMAC，四边形AEPM为平行四边形.AB=AC，AD平分CAB，CAD=BAD，ADBC.又 BAD=EPA，CAD=EPA，EA=EP.四边形AEPM为菱形.解析 则则 11=22AEPMEFBMSE
8、P EN=EF EN=S.菱菱形形四四形形边边N.1=2AEPMEFBMSS菱菱形形四四形形边边（2）P为EF中点时，四边形AEPM为菱形，ADEM，ADBC，EMBC.又EFAB，四边形EFBM为平行四边形.作EN AB于N，例例3 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E为为AB上一点，上一点，ADE和和BCE都是等边三角形，都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论为怎样的四边形，并证明你的结论.四边形四边形PQMN为菱形为菱形.连结连结AC，BD.PQ为为ABC的中位线，的中位线，同理同理 四边形四边形PQMN为平行四边形为平行四边形.在在AEC和和DEB中，中，AE=DE，EC=EB，AEC=DEB=180-60=120，AEC DEB.AC=DB.PQ=PN.PQMN为菱形为菱形.证明1=2 PQAC .1=2 M NAC .=M NPQ.通过这节课的学习活动，通过这节课的学习活动，你有什么收获？你有什么收获？1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。
