1、四边形证明题及综合题1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，BAE =DAF（1）求证：BE = DF；（2）联结AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，联结EM、FMADBEFOCM第1题图求证：四边形AEMF是菱形2、如图8，已知梯形中， 、分别是、的中点，点在（第2题图）边上，且（1）求证：四边形是平行四边形；（2）联结,若平分，求证：四边形是矩形(第3题图)EACDFBP3、如图，在等腰梯形ABCD中，C=60，ADBC，且AD=AB=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P。（1）求证：AF=BE；（2）请猜测BP
2、F的度数，并证明你的结论。4、如图，在矩形ABCD中，BMAC，DNAC，M、N是垂足.NMDCBA（1）求证：AN=CM； （2）如果AN=MN=2，求矩形ABCD的面积.AB（图5）DCOEF5.如图.在平行四边形中，为对角线的交点，点为线段延长线上的一点，且.过点作，交于点，联结.（1）求证：；（2）如果梯形是等腰梯形，判断四边形的形状，并给出证明.（第6题）ABCDGHEFM6、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G，DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点 求证：（1）BM/GH； （2）BMCF7已知：如图，AEBF，AC平分BAD，交
3、BF于点C，BD平分ABC，交AE于点D，联结CD.求证：四边形ABCD是菱形8如图，在正方形中，点、分别是边、的中点，与相交于，、的延长线相交于点，点是的中点.求证：（1） (2)9已知：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，点E、F在边BC上，BE=CF，EF=ADABEFCD求证：四边形AEFD是矩形（第9题）ABCDGEF10如图，在ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG/DB交CB的延长线于点G（1）求证：DEBF；（2）若G，求证：四边形DEBF是菱形11（第11题图）ABFCDE已知：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=2AD，ACA
4、B，点E是AC的中点，DE的延长线与边BC相交于点F求证：四边形AFCD是菱形12（本题共2小题，每小题6分，满分12分）ABDCEF（第12题图）已知：如图，在梯形ABCD中，AD / BC，点E、F在边BC上，DE / AB，AF / CD，且四边形AEFD是平行四边形（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）现有三个论断：AD = AB；B +C= 90；B = 2C请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形13已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落
5、在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边BC于点N .（1）写出图中的全等三角形. 设CP=，AM=，写出与的函数关系式；（2）试判断BMP是否可能等于90. 如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由.14、已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作 PEPB ，PE交射线DC于点E，过点E作EFAC，垂足为点F. （1）当点E落在线段CD上时（如图10）， 求证：PB=PE； 在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的
6、大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由DCBAEP。F（图1）DCBA（备用图）15、如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点.(1) 求点的坐标.(2) 请判断的形状并说明理由.(3) 动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于.设运动秒时，矩形与重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式.16已知：如图，梯形中，是直线上一点，联结，过点作交直线于点联结（1）若点是线段上一点（与点、不重合），（如图1所示）求证：设
7、，的面积为，求关于的函数解析式，并写出此函数的定义域（第3题图1）（2）直线上是否存在一点，使是面积的3倍，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由（第3题备用图）17已知： O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结EO，OFOE交BA延长线于点F，联结EF（如图4）。（1） 求证：EO=FO；（2） 若正方形的边长为2， OE=2OA，求BE的长；E（3） 当OE=2OA时，将FOE绕点O逆时针旋转到F1OE1，使得BOE1=时，试猜想并证明AOE1是什么三角形。FBAODC（图4）（备用图）ABCDO18（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小
8、题3分） 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD的延长线上，且EACF，垂足为H，AE与CD相交于点G（1）求证：AG=CF；（2）当点G为CD的中点时（如图1），求证：FC=FE；（3）如果正方形ABCD的边长为2，当EF=EC时（如图2），求DG的长ABCDEFHGABCDEFHG图2图1答案1证明：（1）正方形ABCD，AB=AD，B =D=90（2分）BAE = DAFABEADF（1分）BE = DF（2分）（2）正方形ABCD，BAC =DAC （1分） BAE =DAF EAO =FAO（1分）ABEADF AE = AF （1分）EO=FO ，AOEF（2分）OM
9、= OA 四边形AEMF是平行四边形（1分）AOEF 四边形AEMF是菱形（1分）2（1）证明：联结EG， 梯形中，且、分别是、的中点， EG/BC，且，（2分）又 EG=BF（1分） 四边形是平行四边形（2分）（2）证明：设AF与EG交于点O， EG/AD，DAG=AGE平分，DAG=GAO GAO=AGE AO=GO（2分） 四边形是平行四边形， AF=EG，四边形是矩形（2分）3证明：（1）梯形ABCD是等腰梯形，ADBC BAE=ADF （1分） AD= DC AE=DF（1分）BA=AD BAEADF， （1分）BE=AF （1分）（2）猜想BPF=120（1分）由（1）知BAEAD
10、F，ABE=DAF （1分）BPF=ABE+BAP=BAE（1分）而ADBC，C=ABC=60，=120BPF=BAE =120（1分）4、证：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC.DAC=BCA.又DNAC，BMAC，DNA=BMC.DANBCM, -（3分） AN=CM. -（1分） （2）联结BD交AC于点O， AN = NM=2,AC = BD =6,又四边形ABCD是矩形，AO=DO=3，在ODN中，OD=3，ON=1，OND=,DN=,-（2分）矩形ABCD的面积=.-（1分）AB（第5题图1）DCOEFG5.解：（1）方法1：延长交于（如图1）.1分在平行四边形中，.
11、，四边形是平行四边形. .1分又， .1分，.在和中，（A.A.S）. .1分四边形是平行四边形，. 1分AB（第5题图2）DCOEFG方法2：将线段的中点记为，联结（如图2）. 1分四边形是平行四边形，. 1分.，.，.在和中，（A.S.A）. 1分.又，四边形是平行四边形. 1分. 1分 其他方法，请参照上述标准酌情评分.（2）如果梯形是等腰梯形，那么四边形是矩形. 1分，四边形是平行四边形.1分又梯形是等腰梯形，.（备注：使用方法2的同学也可能由找到解题方法；使用方法1的同学也可能由四边形是平行四边形找到解题方法）.四边形是平行四边形，.1分平行四边形是矩形. 1分6证明：（1）在正方形
12、ABCD中，AD/BC，A=HBE，ADE=H，（1分）AE=BE，ADEBHE（1分）BH=AD=BC（1分）CM=GM，BM/GH（1分） （2）在正方形ABCD中，AB=AD=CD，A=ADC=90，又DF=AD，AE=AB，AE=DFAEDDFC（1分）ADE=DCF（1分）ADE+GDC=90，DCF+GDC=90DGC=90（1分）BM/GH，BMG=DGC=90，即BMCF（1分）7、证明：AC平分BAD， BAC=CAD.又 AEBF， BCA=CAD. -1分 BAC=BCA. AB=BC. -1分 同理可证AB=AD. AD=BC. -1分又 ADBC， 四边形ABCD是平
13、行四边形. -1分又AB=BC，ABCD是菱形. -1分8. 证明：（1）正方形 1是的中点 11 1是的中点 1(2)证 1 1 19证法一： 在梯形ABCD中，AD/BC，又EF=AD 四边形AEFD是平行四边形（1分） AD/DF，AEF=DFC（1分）AB=CD，B=C（1分）又BE=CF，ABEDCF（1分）AEB=DFC，（1分）AEB=AEF（1分）AEB+AEF=180，AEF=90（1分）四边形AEFD是矩形（1分）证法二： 联结AF、DE（1分）在梯形ABCD中，AD/BC，又EF=AD， 四边形AEFD是平行四边形（1分）AB=CD，B=C（1分）BE=CF，BE+EF=
14、CF+EF，即BF=CE，（1分）ABFDCE（1分）AF=DE，（2分）四边形AEFD是矩形（1分）10、证明：（1）ABCD ，ABCD，ABCD-1分E、F分别为AB、CD的中点，DFDC，BEAB DFBE，DFBE-1分四边形DEBF为平行四边形DEBF-1分(2)证明：AGBD，GDBC90，DBC为直角三角形-1分又F为边CD的中点BFDCDF-1分又四边形DEBF为平行四边形，四边形DEBF是菱形-1分11证明：在梯形ABCD中，AD/BC，DAE=FAE，ADE=CFE（1分）又AE=EC，ADECFE（1分）AD=FC，（1分）四边形AFCD是平行四边形（1分）BC=2AD
15、，FC=AD=BC（1分）ACAB，AF=BC（1分）AF=FC，（1分）四边形AFCD是菱形（1分）12（1）解：线段AD与BC的长度之间的数量为：（1分）证明： AD / BC，DE / AB， 四边形ABED是平行四边形 AD = BE（2分）同理可证，四边形AFCD是平行四边形即得 AD = FC（1分）又 四边形AEFD是平行四边形， AD = EF（1分） AD = BE = EF = FC （1分）（2）解：选择论断作为条件（1分）证明： DE / AB， B =DEC（1分） B +C = 90， DEC +C = 90即得 EDC = 90（2分）又 EF = FC， DF
16、= EF（1分） 四边形AEFD是平行四边形， 四边形AEFD是菱形（1分）13（1） MBNMPN 1MBNMPNMB=MP, 矩形ABCDAD=CD (矩形的对边相等)A=D=90(矩形四个内角都是直角) 1AD=3, CD=2, CP=x, AM=yDP=2-x, MD=3-y 1RtABM中， 同理 1 1 1（3） 1当时，可证 1 AM=CP，AB=DM 1 1当CM=1时，14（1） 证：过P作MNAB，交AB于点M，交CD于点N正方形ABCD， PM=AM，MN=AB ，从而 MB=PN （2分） PMBPNE，从而 PB=PE （2分） 解：PF的长度不会发生变化，设O为AC
17、中点，联结PO，正方形ABCD， BOAC，（1分）从而PBO=EPF，（1分） POBPEF， 从而 PF=BO （2分）（2）图略，上述（1）中的结论仍然成立；（1分）（1分）（3）当点E落在线段CD上时，PEC是钝角，从而要使PEC为等腰三角形，只能EP=EC，（1分） 这时，PF=FC， ，点P与点A重合，与已知不符。（1分）当点E落在线段DC的延长线上时，PCE是钝角，从而要使PEC为等腰三角形，只能CP=CE，（1分） 设AP=x，则，又 ，解得x=1. （1分）综上，AP=1时，PEC为等腰三角形15.解：（1） 解得： 1 点P的坐标为（2，） 1 （2）当时， 点A的坐标为（
18、4，0） 1 1 是等边三角形 1（3）当04时， 1 1当48时， 1116（1）证明：在上截取，联结. 又A90，AAGEAEG180.AGE45.BGE135. CD180.又C45. D135.BGED. 1分，. . 1分. BEF90.又AABEAEB180，AEBBEFDEF180，A90.ABEDEF. 1分BGEEDF. 1分. （1）关于的函数解析式为：.1分此函数的定义域为：.1分（2）存在.1分 当点在线段上时，（负值舍去）. 1分当点在线段延长线上时，（负值舍去）. 1分当点在线段延长线上时，. 1分 的长为、或.17、（1）证明：ABCD是正方形，对角线交于点O，A
19、O=BO，ACBD，-1分 OAB=OBA,OAF=OBE，-1分ACBD，OFOE，AOF=BOE，-1分AOFBOE，EO=FO.-1分（2）解：ABCD是正方形，边长为2，AO=,OE=2OA= OFOE，EO=FO，EF=4，-1分 AOFBOE，AF=BE，-1分 设AF=BE=x， 在RtEFB中，,即 解得，x0，即BE=-2分（3）AOE1是直角三角形。-1分证明：取OE中点M，则OM=EM=,-1分OE=2OA，OA=，OA=OMEOB=,ACBD，AOE=,OAM是等边三角形，-1分AM=OM=EM，MAE=MEA,MAO=MOA，MAE+MEA+MAO+MOA=，2MEA+2MOA=，MEA+MOA=，-1分即AOE1为直角三角形。18（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，ADC=CDF=90， AECF，AGD=90GAD=CFD，（1 分）ADGCDF，（1 分）AG=CF（1 分）（2）证明：过点F作FMCE，垂足为M，（1 分）ECG=ADG=90，CGE=DGA，CG=DG，ECGACD，（1 分）CE=AD=CDFM/CD，CM=DF=DG=CD=CE，（1 分）FC=FE（1 分）（3）解：联结GF，EF=EC,EHCF,GF=CG（1 分）设DF= DG=，则GF=CG=2， （1 分）（负值舍去），DF=（1 分）
