1、生活中当我们遇到困难时，一般都会选择迎难而上，哪生活中当我们遇到困难时，一般都会选择迎难而上，哪怕没有条件，创造条件也要上。在我们数学问题中当条怕没有条件，创造条件也要上。在我们数学问题中当条件不够时，添加辅助线可构成新图形，形成新关系，使件不够时，添加辅助线可构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。一添加辅助线有二种情况：一添加辅助线有二种情况：1 1、按定义添辅助线：、按定义添辅助线：如证明两如证明两直线（直线（线段）垂直
2、时可延长使它们相交后证线段）垂直时可延长使它们相交后证交角为交角为9090；证线段倍半关系时可倍线段取中点或半线；证线段倍半关系时可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。2 2、按基本图形添辅助线：、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时将其补充完整，因此而基本图形不完整时将其补充完整，因此“添线添线”也可也可以叫以叫“补图补图”！这样可防止乱添线，添辅
3、助线也有规律！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。那我们常遇到的基本图形有：可循。那我们常遇到的基本图形有：（1 1）平行线）平行线 ，角分线，垂直平分线，角分线，垂直平分线（2 2）等腰三角形及等腰三角形中的重要线段）等腰三角形及等腰三角形中的重要线段（3 3）直角三角形斜边上中线）直角三角形斜边上中线（4 4）含特殊角的直角三角形）含特殊角的直角三角形 二添加辅助线方法举例：共六大类二添加辅助线方法举例：共六大类（5 5）三角形中线、中位线）三角形中线、中位线（6 6）全等三角形全等三角形（7 7）相似三角形相似三角形（8 8）半圆上的圆周角半圆上的圆周角 等等等等（一）由角平分线想到
4、的辅助线（一）由角平分线想到的辅助线 角平分线具有两条性质：角平分线具有两条性质：1 1、对称性；、对称性；2 2、角平分线上的、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种：从角平分线上一点向两边作垂线；法，一般有两种：从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（比如说可以在一侧的利用角平分线，构造对称图形（比如说可以在一侧的长边上截取短边构造全等）。长边上截取短边构造全等）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称
5、图形。至于选取哪种作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件进行选择。具体可以方法，要结合题目图形和已知条件进行选择。具体可以分为分为4 4类。类。（1 1）截取构全等）截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基础之上的，因此要掌握相关的几何规律，在一定的规律基础之上的，因此要掌握相关的几何规律，然后在解决几何问题中大胆地去猜想并按一定的规律去然后在解决几何问题中大胆地去猜想并按一定的规律去尝试。尝试。例例1 1已知：如图已知：如图1-1-1 1，AB=2ACAB=2AC，BAD=CAD
6、BAD=CAD，DA=DBDA=DB，求证，求证DCACDCAC分析：分析：此题就属于第此题就属于第2 2种情况，种情况，利用角平分线来构造对称图形利用角平分线来构造对称图形（全等三角形）。在（全等三角形）。在ABAB边上截边上截取取AE=ACAE=AC，连接，连接DEDE，可证，可证ADEADE和和ADCADC全等，这样可全等，这样可得得AED=AED=ACDACD，再利用等再利用等腰三角形三线合一性质得到腰三角形三线合一性质得到DEABDEAB，即可解题了。，即可解题了。（2 2）角分线上的点向角两边作垂线构全等）角分线上的点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分
7、线过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。上的点到两边距离相等的性质来证明问题。分析：分析：根据根据BAC=FACBAC=FAC，可过点，可过点C C向角向角的两边分别作垂线的两边分别作垂线CECE，CFCF，再根据，再根据CD=BCCD=BC，就可证两个直角三就可证两个直角三角形全等，然后对应角角形全等，然后对应角FDFDC=C=B B，再由，再由ADCADC+FDFDC C=180180然后等量代换就可证出结论。然后等量代换就可证出结论。例例2 2、如图、如图2-12-1，已知，已知ABAD,BAC=FAC,CD=BCABAD,BAC=FAC,CD
8、=BC。求证求证：ADC+B=180ADC+B=180（3 3）作角平分线的垂线构造等腰三角形）作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另
9、一边相交）。一边相交）。例例3 3、如图、如图3-13-1，BAD=DACBAD=DAC，ABAC,CDADABAC,CDAD于于D D，H H是是BCBC中点。中点。求证：求证：DH=DH=1/21/2（AB-ACAB-AC）分析：分析：此题有角分线，还有垂直于此题有角分线，还有垂直于角分线的线段，因此可延长角分线的线段，因此可延长CDCD交交ABAB于点于点E E，即可证明两个三角形，即可证明两个三角形全等，得到全等，得到AC=AEAC=AE，还可知，还可知D D点点即是垂足又是中点，又知即是垂足又是中点，又知H H是是BCBC中点，中点，再利用三角形中位线即可再利用三角形中位线即可得到结
10、论。得到结论。（4 4）以角分线上一点做角的另一边的平行线）以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图造等腰三角形。如图4-14-1和图和图4-24-2所示。所示。例例4 4 如图，如图，ABCDABCD，AEAE、DEDE分别平分分别平分BADBAD和和ADADC C，求证：求证：AD=AB+CDA
11、D=AB+CD。分析：分析：DEDE、AEAE是角分线，是角分线，E E为它们的公为它们的公共点而且共点而且BBADAD的边的边ABAB与与ADADC C的边的边CDCD还平行，这样我们还平行，这样我们可过点可过点E E作作EFCDEFCD交交ADAD于点于点F F，则可知，则可知ABAB，CDCD，EFEF都平行都平行，由由AEAE，DEDE是角分线，可证是角分线，可证AEAE与与DEDE垂直，垂直，也可知也可知DEFDEF与与AEFAEF都是等腰三角形，都是等腰三角形，自然可知自然可知EFEF是直角三角形是直角三角形ADEADE斜边中线，斜边中线，还是梯形中位线，所以还是梯形中位线，所以E
12、F=1/2EF=1/2ADAD，EF=1/2EF=1/2（AB+CDAB+CD），因此可证结论。），因此可证结论。（二）由线段和差想到的辅助线（二）由线段和差想到的辅助线（4 4种）种）遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法。对于证明有关线段和差的不等式，通常会截长补短法。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两边之和大于第三边、之差小于第三边，联系到三角形中两边之和大于第三边、之差小于第三边，所以我们可以所以我们可以想办法想办法将所求将所求放在一个三角形中证明。放在一个三角形中证明。（1 1）在利用三角形三边关系
13、证明线段不等关系时，如）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。形三边的不等关系证明。如：如：例例5 5、已知如图、已知如图1-11-1：D D、E E为为ABCABC内两点内两点,求证求证:AB+ACBD+DE+CE.:AB+ACBD+DE+CE.分析：将分析：将DEDE向两边延长分别交向两边延长分别交ABAB、ACAC于于MM、N N，在在AMNAMN中，中，AM+ANMD+D
14、E+NE;AM+ANMD+DE+NE;（1 1）在在BDMBDM中，中，MB+MDBDMB+MDBD；（；（2 2）在在CENCEN中，中，CN+NECECN+NECE；（；（3 3）由（由（1 1）+（2 2）+（3 3）得：）得：AM+AN+MB+AM+AN+MB+MDMD+CN+CN+NENE MDMD+DE+DE+NENE+BD+C+BD+CE EAB+ACBD+DE+ECAB+ACBD+DE+EC例例5 5、已知如图、已知如图1-11-1：D D、E E为为ABCABC内两点内两点,求证求证:AB+ACBD+DE+CE.:AB+ACBD+DE+CE.分析：分析：延长延长BDBD交交A
15、CAC于于F F，廷长，廷长CECE交交BFBF于于G G，在，在ABFABF和和GFCGFC和和GDEGDE中有：中有：AB+AFBD+DG+GF AB+AFBD+DG+GF （1 1）GF+FCGE+CE GF+FCGE+CE （2 2）DG+GEDE DG+GEDE （3 3）由（由（1 1）+（2 2）+（3 3）得：）得：AB+AF+AB+AF+GFGF+FC+FC+DGDG+GEGEBD+BD+DGDG+GFGF+GEGE+CE+DE+CE+DEAB+ACBD+DE+ECAB+ACBD+DE+EC。分析：分析：延长延长BDBD交交ACAC于于F F，廷长，廷长CECE交交BFBF于
16、于G G，在，在ABFABF和和GFCGFC和和GDEGDE中有：中有：AB+AFBD+DG+GF AB+AFBD+DG+GF （1 1）GF+FCGE+CE GF+FCGE+CE （2 2）DG+GEDE DG+GEDE （3 3）由（由（1 1）+（2 2）+（3 3）得：）得：AB+AF+AB+AF+GFGF+FC+FC+DGDG+GEGEBD+BD+DGDG+GFGF+GEGE+CE+DE+CE+DEAB+ACBD+DE+ECAB+ACBD+DE+EC。（2 2）在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时）在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长
17、某边，构造三角形，如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理个三角形的内角位置上，再利用外角定理。分析：分析：因为因为BDCBDC与与BACBAC不在同个三角形不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，所以延长造新的三角形，所以延长CDCD交交ABAB于点于点G G，使使BDCBDC处于处于BDGBDG外角的位置，可得外角的位置，可得BDCBDC BGDBGD，又知，又知BGDBGDBAC
18、BAC，所，所以可得结论。以可得结论。例例6 6、如图、如图2-12-1：已知：已知D D为为ABCABC内的任一点，内的任一点，求证：求证：BDCBACBDCBAC。分析分析：此题也可此题也可延长延长BDBD交交ACAC于点于点E E，这时这时BDCBDC是是EDCEDC的外角，的外角，BDCDECBDCDEC，同理，同理DECBACDECBAC，BDCBACBDCBAC例例6 6、如图、如图2-12-1：已知：已知D D为为ABCABC内的任一点，内的任一点，求证：求证：BDCBACBDCBAC。分析分析：当然当然也可也可连接连接ADAD并廷长交并廷长交BCBC于于F F，这时，这时BDF
19、BDF是是ABDABD的外角，的外角，BDFBADBDFBAD，同理，同理，CDFCADCDFCAD，BDF+CDFBAD+CADBDF+CDFBAD+CAD，即：即：BDCBACBDCBAC。例例6 6、如图、如图2-12-1：已知：已知D D为为ABCABC内的任一点，内的任一点，求证：求证：BDCBACBDCBAC。（3 3）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，构造全等三角形，如：如：分析：分析：要证要证BE+CFEFBE+CFEF，可利用三角形三边关，可利用三角形三边关系定理证明，系定理证明，必必须把须把BEBE，C
20、FCF，EFEF移到同一个移到同一个三角形中三角形中。已已知知1=21=2，3=43=4，又因又因D D是是中点，中点，ADAD是公共边，所以是公共边，所以可在角的两边截取可在角的两边截取相等的线段，相等的线段，在在DADA上截取上截取DG=BD=CDDG=BD=CD，进而，进而证两对三角形分别全等，进而得到证两对三角形分别全等，进而得到对应边对应边BE=GEBE=GE，FG=CFFG=CF相等，把相等，把BEBE，CFCF，EFEF移到移到同个三角形中同个三角形中，使用三边关系即可，使用三边关系即可。例例7 7：如图：如图3-13-1：已知：已知ADAD为为ABCABC的中线，的中线，且且1
21、=2,3=4,1=2,3=4,求证：求证：BE+CFEFBE+CFEF。（4 4）截长补短法作辅助线）截长补短法作辅助线分析：分析：要证要证AB-ACPB-PCAB-ACPB-PC，想到利用，想到利用三角形三边关系，三角形三边关系，也就是用也就是用两边之差两边之差小于第三边，从而想到构造小于第三边，从而想到构造线段线段AB-AB-ACAC，故可在，故可在ABAB上截取上截取ANAN等于等于ACAC，得，得AB-AC=BNAB-AC=BN，再连接，再连接PNPN，根据根据1=21=2，可证可证AAPNPNAPCAPC，则则PC=PNPC=PN，又在又在PNBPNB中，中，BNBN PB-PB-P
22、NPN，即：，即：AB-ACPB-PCAB-ACPB-PC。例例8 8：已知如图：已知如图4 4-1-1：在：在ABCABC中，中，ABACABAC，1=21=2，P P为为ADAD上任一点求证：上任一点求证：AB-ACPB-PCAB-ACPB-PC。（三）由中点想到的辅助线（三）由中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底
23、边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（1 1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图即如图1 1，ADAD是是ABCABC的中线，的中线，则则S SABDABD=S=SACDACD=1/21/2S SABCABC（因为（因为ABDABD与与ACDACD是等底同高的）是等底同高的）。例例9 9如图如图2 2，ABCABC中，中，ADAD是中线，延长是中线，延长ADAD到到E E，使，使DE=ADDE=AD，DFDF是是DCEDCE的中线。已知的中线。已知ABCABC的面积为的面积为2 2
24、，求：求：CDFCDF的面积。的面积。分析：分析：因为因为ADAD是是ABCABC的中线，的中线，所以所以S SACDACD=1/21/2S SABCABC=1/21/22=12=1，又因又因C CD D是是ACEACE的中线，的中线，所以所以S SCDECDE=S=SACDACD=1=1，因因DFDF是是CDECDE的中线，所以的中线，所以S SCDFCDF=1/21/2S SCDECDE=1/21/21=1=1/21/2。CDFCDF的面积为的面积为1/21/2。（2 2）由中点应想到利用三角形的中位线）由中点应想到利用三角形的中位线分析：分析：题中有两个中点，所以可以猜想尝试用三题中有两
25、个中点，所以可以猜想尝试用三角形中位线，那么要先应将四边形转化为三角形，角形中位线，那么要先应将四边形转化为三角形，因此因此连连结结BDBD，再由中点再由中点F F，E E，取取BDBD的中点为的中点为MM，连结连结MEME、MFMF，则则MEME是是BCDBCD的中位线，的中位线，可知可知ME ME 1/21/2CDCD，MEF=CHEMEF=CHE，又知又知MFMF是是ABDABD的中位线，的中位线，所以所以MF MF 1/21/2ABAB，MFE=BGEMFE=BGE，由由AB=CDAB=CD可得可得ME=MFME=MF，MEF=MFEMEF=MFE，从而，从而BGE=CHEBGE=CH
26、E。例例1010如图如图3 3，在四边形，在四边形ABCDABCD中，中，AB=CDAB=CD，E E、F F分别是分别是BCBC、ADAD的中点，的中点，BABA、CDCD的延长线分别交的延长线分别交EFEF的延长线的延长线G G、H H。求证：。求证：BGE=CHEBGE=CHE。（3 3）由中线应想到）由中线应想到倍倍长中线长中线分析：分析：因为因为ADAD是中线，可倍长中线。是中线，可倍长中线。延长延长ADAD到到E E，使，使DE=ADDE=AD，则，则AE=2AD=2AE=2AD=22=42=4。连结连结BEBE，则可证则可证ACDEBDACDEBD，从而，从而BE=AC=3BE=
27、AC=3。根据三边长可证根据三边长可证ABEABE是直角三角形，是直角三角形，因此在直角三角形因此在直角三角形BDEBDE中，根据勾股中，根据勾股定理就可求得定理就可求得BCBC长。长。例例1111图图4 4，已知，已知ABCABC中，中，AB=5AB=5，AC=3AC=3，连，连BCBC上的中上的中线线AD=2AD=2，求，求BCBC的长。的长。（4 4）直角三角形斜边中线的性质）直角三角形斜边中线的性质分析：分析：由由ACBCACBC，ADBDADBD，可知两个可知两个直角三角形拥有共同的斜边直角三角形拥有共同的斜边ABAB，因此可，因此可以以取取ABAB的中点的中点E E，连结，连结DE
28、DE、CECE产生斜边产生斜边的中线。就可知的中线。就可知DE=CE=DE=CE=1/21/2ABAB，因此，因此可得可得CDE=DCECDE=DCE。又知又知AB/DCAB/DC可得可得CDE=1CDE=1，DCE=2DCE=2，进而得到，进而得到1=21=2，然后可证得，然后可证得ADEBCEADEBCE，得到得到AD=BCAD=BC，得到等腰梯形对角线，得到等腰梯形对角线AC=BDAC=BD。例例1212如图，已知梯形如图，已知梯形ABCDABCD中，中，AB/DCAB/DC，ACBCACBC，ADBDADBD，求证：，求证：AC=BDAC=BD。（四）全等三角形辅助线（四）全等三角形辅
29、助线找全等三角形的方法：找全等三角形的方法：（1 1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2 2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形个三角形全全等；等；（3 3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；个三角形全等；（4 4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。等三角形。构造全等三角形辅助线的做
30、法：构造全等三角形辅助线的做法：（1 1）倍长中线（线段）造全等）倍长中线（线段）造全等（2 2）截长补短构全等）截长补短构全等（3 3）借助角平分线造全等）借助角平分线造全等（4 4）平行线法作全等）平行线法作全等（5 5）旋转构造全等）旋转构造全等例例1313：如图在：如图在ABCABC中，中，BAC=60BAC=60，C=C=4040，APAP平平分分BACBAC交交BCBC于于P P，BQBQ平分平分ABCABC交交ACAC于于Q Q，求证：求证：AB+BP=BQ+AQAB+BP=BQ+AQ分析：根据分析：根据BAC=60BAC=60C=C=4040可求可求ABC=80ABC=80再根
31、据两条角分线再根据两条角分线可确定可确定 O OB BP P是等腰三角形，是等腰三角形，可知可知BO=BPBO=BP，那么结论就可转化，那么结论就可转化AB+BO=BO+OQ+AQAB+BO=BO+OQ+AQ，这样就变成要证，这样就变成要证AB=OQ+AQAB=OQ+AQ，所以过点所以过点O O作作ODODBPBP交交ABAB于点于点D D，这样有平行，有平，这样有平行，有平分，就会产生等腰，因此通过全等可得分，就会产生等腰，因此通过全等可得AD=AQAD=AQ，OD=OQOD=OQ通过等腰可得通过等腰可得DO=DBDO=DB，这样就可证得结论。，这样就可证得结论。当然此题用平行线法可有多种解
32、法：比如可作当然此题用平行线法可有多种解法：比如可作ODODBCBC交交ACAC于点于点D D，证，证ADADO OA AB BO O来解决（如图来解决（如图2 2）；）；也可作也可作DEDEBCBC交交ABAB于于D D交交ACAC于于E E，则证，则证ADADO OAQOAQO，AAEOEOA AB BO O来解决（如图来解决（如图3 3）还可过点还可过点P P作作PDPDBQBQ交交ABAB延长线于点延长线于点D D，证，证AAP PDDAPCAPC来解决（如图来解决（如图4 4）；）；也可过点也可过点P P作作PDPDBQBQ交交ACAC于于D D，则证，则证AABPBPADPADP来
33、解来解决（如图决（如图5 5）例例1414：如图，：如图，正方形正方形ABCDABCD中，中，E E为为BCBC上的一点，上的一点，F F为为CDCD上的一点，上的一点，BE+DF=EFBE+DF=EF，求，求EAFEAF的度数的度数.分析：分析：该图为正方形，再根据该图为正方形，再根据BE+DF=EFBE+DF=EF，可将，可将 ADFADF绕点绕点A A顺时顺时针旋转针旋转9090便可得到便可得到 ABGABG，这样就，这样就可得到可得到AADFDFABGABG，可知，可知AG=AFAG=AF，BG=DFBG=DF，因此可得，因此可得GE=EFGE=EF，再加上，再加上公共边公共边AEAE
34、，可证，可证AAGEGEAFEAFE，这，这样就可得样就可得EAF=EAGEAF=EAG，再由，再由EAF+EAG=90EAF+EAG=90求得求得EAFEAF的度的度数数为为4545。（五五）梯形的辅助线）梯形的辅助线（共（共5 5类）类）通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解决梯形问题的基本思路。至于选取哪种平行四边形，是解决梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：作法如下：1 1、平移：（、平移：（3 3种）种）（1
35、1）平移一腰：通过平移一腰将梯形转化为三角形和平）平移一腰：通过平移一腰将梯形转化为三角形和平行四边形，进而解题。行四边形，进而解题。例例1515：如图所示，在直角梯形：如图所示，在直角梯形ABCDABCD中，中，AA9090，ABDCABDC，ADAD1515，ABAB1616，BCBC17.17.求求CDCD的长的长.分析：分析：通过通过平移一腰平移一腰BCBC，将此梯形将此梯形转化为平行四边形和直角三角形，转化为平行四边形和直角三角形，这样这样过点过点D D作作DEDEBCBC产产ABAB于点于点E E，因此可得因此可得DE=BC=17DE=BC=17，DC=BEDC=BE，再，再根据各
36、边长使用勾股定理即可求得根据各边长使用勾股定理即可求得CDCD的长。的长。X16-X（2 2）平移两腰：）平移两腰：例例1616：如图，在梯形如图，在梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，BBC=90C=90，AD=1AD=1，BC=3BC=3，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC的中点，连接的中点，连接EFEF，求，求EFEF的长。的长。分析分析：根据同一底上的两个底角根据同一底上的两个底角BBC=90C=90，通过平移两腰，通过平移两腰，可构造直角三角形可构造直角三角形EGHEGH，和两个，和两个平行四边形，通过平行四边形，通过AD=1BC=3AD=1BC=3，可得可得
37、GHGH的长，的长，进而通过直角三进而通过直角三角形斜边中线性质求得角形斜边中线性质求得EFEF的长。的长。（3 3）平移对角线：）平移对角线：分析：分析：本题要求梯形面积，知上下底本题要求梯形面积，知上下底长，所以第一直觉作出高线，但所给长，所以第一直觉作出高线，但所给长度与求高之间没有任何联系，因此长度与求高之间没有任何联系，因此我们就可以进行转化，通过平移其中我们就可以进行转化，通过平移其中一条对角一条对角线，将梯形面积转化成三角线，将梯形面积转化成三角形面积。再通过各边长确定此三角形形面积。再通过各边长确定此三角形为直角三角形，然后求其面积为直角三角形，然后求其面积例例1717、已知：
38、梯形、已知：梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，AD=1AD=1，BC=4BC=4，BD=3BD=3，AC=4AC=4，求梯形，求梯形ABCDABCD的面积的面积1443412 2、延长：即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。、延长：即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例例1818：如图，在梯形如图，在梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，B=50B=50，C=80C=80，AD=2AD=2，BC=5BC=5，求，求CDCD的长。的长。分析：分析：本题给了上下底的长，及两个底角本题给了上下底的长，及两个底角的度数，但不是特殊角度，所以直接求根的度数，但不
39、是特殊角度，所以直接求根本求不出来。本求不出来。通过延长两腰将梯形转化为通过延长两腰将梯形转化为三角形，再通过三角形，再通过B=50B=50，C=80C=80可可得得E=50E=50，然后由，然后由AD/BCAD/BC可得到两个可得到两个等腰三角形等腰三角形 BCEBCE和和 ADEADE，就得出，就得出CE=CB=5CE=CB=5，DE=DA=2DE=DA=2，所以可求，所以可求CD=3CD=33 3、作对角线：即通过作对角线，使梯形转化为三角形。、作对角线：即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例例1 19 9：如图，在直角梯形：如图，在直角梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，
40、ABADABAD，BC=CDBC=CD，BECDBECD于点于点E E，求证：，求证：AD=DEAD=DE。分析：分析：通过通过BC=CDBC=CD，可知连接对，可知连接对角线角线BDBD可构成等腰，再加上可构成等腰，再加上AD/BCAD/BC，就可确定，就可确定BDBD平分平分ADEADE，这样就可证，这样就可证AADBDBEDBEDB，进而证得，进而证得AD=DEAD=DE4 4、作梯形的高：、作梯形的高：（1 1）、作一条高：）、作一条高：例例2 20 0：如图在直角梯形如图在直角梯形ABCDABCD中，中，AB/DCAB/DC，ABC=90ABC=90，AB=2DCAB=2DC，对角线
41、，对角线ACAC与与BDBD交于点交于点F F，过点，过点F F作作EF/ABEF/AB，交，交ADAD于点于点E E，求证：四边形，求证：四边形ABFEABFE是等腰梯形。是等腰梯形。分析：分析：由直角梯形可尝试作一条高，这样由直角梯形可尝试作一条高，这样可产生矩可产生矩BCDGBCDG，再由，再由AB=2DCAB=2DC可得可得CD=BG=AGCD=BG=AG，通过垂直平分线可得，通过垂直平分线可得DA=DBDA=DB，然后得到，然后得到DAB=DAB=DBADBA，再加，再加上上EF/ABEF/AB，就可得到四边形就可得到四边形ABFEABFE是等腰是等腰梯形了。梯形了。（2 2）作两条
42、高：）作两条高：分析：分析：通过特殊角度及等腰梯形可尝通过特殊角度及等腰梯形可尝试作两条高线，将其分成两个全等的试作两条高线，将其分成两个全等的直角三角形和一个矩形。再通过直角三角形和一个矩形。再通过ADAD，BDBD长可得到长可得到BE=CF=1BE=CF=1，这样就可得到，这样就可得到AB=2BE=2AB=2BE=2，进而求得，进而求得AEAE的长，再求的长，再求出面积。出面积。例例2 21 1、在等腰梯形、在等腰梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，AB=CDAB=CD，ABC=60ABC=60AD=3cmAD=3cm，BC=5cmBC=5cm，求：，求：ABAB及梯形的面积
43、及梯形的面积5 5、作中位线、作中位线：（1 1）已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。）已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例例2222：如图在梯形如图在梯形ABCDABCD中，中，AB/DCAB/DC，O O是是BCBC的中点，的中点，AOD=90AOD=90，求证：，求证：ABABCD=ADCD=AD。分析：分析：根据结论是证两底和，所以可尝试作根据结论是证两底和，所以可尝试作梯形中位线，这样可得梯形中位线，这样可得EO=1/2EO=1/2（AB+CDAB+CD），），另外由另外由AOD=90AOD=90可知斜边中线可知斜边中线EO=1/2ADEO=1/2AD，所以可得结论。，所以可得结论。（
44、2 2）在梯形中出现一腰上的中点时，过这点延长线段构）在梯形中出现一腰上的中点时，过这点延长线段构造出两个全等的三角形达到解题的目的。造出两个全等的三角形达到解题的目的。例例2222：如图在梯形如图在梯形ABCDABCD中，中，AB/DCAB/DC，O O是是BCBC的中点，的中点，AOD=90AOD=90，求证：，求证：ABABCD=ADCD=AD。分析：分析：根据结论是证两底和的问题，根据结论是证两底和的问题，所以可尝试将两底合成一条线段，所以所以可尝试将两底合成一条线段，所以可延长可延长AOAO交交BCBC延长线于点延长线于点E E，这样可证，这样可证AABOBOECOECO，这样可得，
45、这样可得AB=CEAO=EOAB=CEAO=EO，又知，又知AOD=90AOD=90，可，可确定确定AD=AEAD=AE，通过等量代换可得结论。，通过等量代换可得结论。3 3）已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对）已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例例2323：如图在梯形如图在梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，E E、F F分别是分别是BDBD、ACAC的中点，求证：的中点，求证：)(21ADBCEF分析：分析：根据结论出现两底差所以可尝试根据结
46、论出现两底差所以可尝试产生这个线段差，另外题中给了两个中产生这个线段差，另外题中给了两个中点，所以也可以尝试三角形中位线。因点，所以也可以尝试三角形中位线。因此可过一个中点构造全等，连接此可过一个中点构造全等，连接DFDF并延并延长交长交BCBC于点于点G G，可得，可得AADFDFCGFCGF，然，然后得到后得到AD=CGAD=CG，DF=FGDF=FG，再使用三角，再使用三角形中位线得到形中位线得到EF=1/2GBEF=1/2GB，进而证得结，进而证得结论论。（六）圆的辅助线：（六）圆的辅助线：1 1、构成、构成RtRt,常连接半径常连接半径 例例1.1.过过OO内一点内一点M,M,最长弦
47、最长弦AB=26cm,AB=26cm,最短弦最短弦CD=CD=10cm,10cm,求求AMAM长长;分析：分析：此题隐含两条弦是互相垂直于点此题隐含两条弦是互相垂直于点MM的，并且最长弦的，并且最长弦就是直径，因此垂径定理可求弦长一半，再连半径，构成就是直径，因此垂径定理可求弦长一半，再连半径，构成直角三角形，使用勾股定理即可。直角三角形，使用勾股定理即可。2 2、遇有直径、遇有直径,常作所对的圆周角：常作所对的圆周角：如果条件中有半圆，那如果条件中有半圆，那么在直径上找圆周角么在直径上找圆周角直角为辅助线。相反，直角为辅助线。相反，如果条件如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是以斜边为直
48、径作辅中有直角三角形，那么作辅助线往往是以斜边为直径作辅助圆，或半圆；即直角与半圆互为辅助线。助圆，或半圆；即直角与半圆互为辅助线。例例2.2.ADAD是是 ABCABC的高，的高，AEAE是是 ABCABC外接圆的直径，外接圆的直径，求证：求证：ABABAC=AEAC=AEA AD D分析：分析：由结论可知此题要证相似，并且其由结论可知此题要证相似，并且其中两边中两边ABAB、ADAD在一个直角三角形中，因在一个直角三角形中，因此由直径可作相对的圆周角，连接此由直径可作相对的圆周角，连接CECE，产，产生直角三角形，再加上同弧所对的圆周角生直角三角形，再加上同弧所对的圆周角相等，证得相等，证
49、得AABDBDAECAEC，进而证得结论。，进而证得结论。3 3、遇有切线、遇有切线,常作过切点的常作过切点的直直径（径（半半径）：径）：如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。径互为辅助线。简单说：有切点，连半径，证垂直；简单说：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径。无切点，作垂直，证半径。例例3 3.已知在已知在OO中
50、，中，ABAB是直径，过点是直径，过点B B作作OO的切线的切线BCBC，连，连接接COCO，若，若ADAD/OCOC交交OO于于点点D D ，求证：，求证：CDCD是是OO的切线。的切线。分析：本题属于第一类相切，分析：本题属于第一类相切，有切点，所以连半径有切点，所以连半径ODOD，只，只需要证垂直即可。由题中需要证垂直即可。由题中ADAD/OCOC加加OD=OAOD=OA可证得可证得DOC=DOC=BOCBOC，进而证得，进而证得 DOCDOCBOCBOC，所以可得所以可得ODC=ODC=OBCOBC，再由，再由BCBC是是切线，即可证得切线，即可证得ODCODC为直为直角，角，最后得到
