1、 1 配方法（一）配方法（一） 北师大版数学九年级上册第二章北师大版数学九年级上册第二章 一元二次方程一元二次方程 广西桂林市第一中学广西桂林市第一中学 褚艳梅褚艳梅 一、教学目标一、教学目标 知识与技能目标知识与技能目标: : 1、 会用直接开平方法解形如： （x+m） 2= n(n0)的一元二次方程； 2、理解配方法的思想，掌握用配方法解形如0 2 qpxx的一元二次方程; 3 3、 能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。 过程与方法目标过程与方法目标: : 通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”的数学思 想方法。 情感与态度目标：情感与态度目标：培养学
2、生主动探究的精神与积极参与的意识。 二、教学重、难点二、教学重、难点 教学重点：教学重点：运用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程。 教学难点：教学难点：发现与理解配方的方法。 三、教学方法：三、教学方法： 启发探究式的教学方法。 四、教学准备：四、教学准备： 多媒体、投影仪 五、教学过程五、教学过程 教师活动教师活动 学生活动学生活动 教学说明教学说明 （一）创设情境，设疑引新（一）创设情境，设疑引新 在实际生活中， 常遇到一些问 题， 需要用一元二次方程来解答。 某小区为了美化环境，将小 区的布局做了如下调整： 例 1、 将一个正方形花园的每 边扩大 2 米后，改造成一个面积 为 25
3、 米 2的大花园，那么原来小 花园的每边长是多少呢？ 提问: (1)、这个方程有什么特点？ (2)、如何求解？ 观看课件，并思考问题 解：设原正方形的边长为 xm，则有： （x+2） 2=25 x+2=5 x1= 5-2=3 x2 =-5-2=-7 （不合题意， 舍去） 答：原正方形的边长为 3 米 它们一边是一个完全平方式，另 一边是一个非负数， 形如： （x+m）2= n (n0) 通过两边开平方， 把一元二次方程转 化为两个一元一次方程来解。 从实际问题出发,让 学生感受到“数学无 处不在” 学生在原有平方根 的基础上能解方程 教师就一元二次方 程的有两个根进行 说明 启发学生观察方程
4、的特点 体会解一元二次方 程的降次思想 2 教师归纳： 形如： （x+m）2= n (n0) 这样的 方程， 我们可以采用两边直接开平方， 求出方程的解，这种方法我们称为直直 接开平方法接开平方法。 （二） 、观察比较，探索新知（二） 、观察比较，探索新知 探究（1）提问： 1 、 这 样 的 方 程 你 能 解 吗 ？ x 2+4x+4=25 2、为什么？ 3、 那能不能把这个方程化为这样 的形式？怎么化？ 探究（2）提问： 1 、 这 样 的 方 程 能 解 吗 ？ x 2+12x-15=0 2、方程与方程、方程有什 么不同？ 3、 那能不能把方程化成方程 的形式呢？ 在学生的充分讨论后，
5、 教师引导： x 2+12x-15=0 a 2 + 2 a b+b2 = (a+b)2 0156662 222 xx (x+6) 2=51 不能 没有（x+m） 2= n (n0) 方程的左边是一个完全平方式， 可化 为： （x+4） 2=25 x 2+4x+4=25 方程可化为： （x+2） 2=25 两边开平方得： x+2=5 x1= 3 x2 = -7 方程、方程的左边是完全平方 式，而方程没有这样的形式。 学生陷入思考 给学生充分讨论交流的时间 方 程 的 具 体 解 答 过 程 是 ： x 2+12x=15 x 2+12x+62=15+62 x 2+12x+62=51 (x+6) 2
6、=51 x+6=51 x1= -6+51 x2 = -6-51 给出直接开平方法 的概念。 激发学生的求知欲， 感受到问题的存在。 在教学中，先让学生 独立解题，感受到解 题的困难。然后引导 学生通过观察上述 方程中的特点,寻找 解一元二次方程的 新解法，培养学生的 探索精神,并体会方 程等价转化的数学 思想. 引导学生观察前后 两方程的联系找到 问题的突破口，依据 完全平方式进行配 方。 给出完整的解法，让 学生理解体会配方 法 3 教师归纳: 配方法： 通过配成完全平方式的方 法,得到一元二次方程的根,这种 解一元二次方程的方法称为配方 法. 配方的依据：完全平方公式， ( (三三) )合
7、作讨论、自主探究合作讨论、自主探究 下面我们来研究对于一般的方 程：0 2 qpxx 怎样配方？ 配方的关键：当方程的二次项系 数为 1 时，在方程的两边加上一 次项系数一半的平方。 ( (四四) ) 随堂练习随堂练习, ,巩固深化巩固深化 练习： 一、用配方法解下列方程 (1) x 2+8x-9=0 (2) x 2-x-1=0 （3）x 2- 2 1 x-3=0 (4) x 2+2x+2=0 （无解） 归纳：归纳： 解一元二次方程的基本思路：将 方程化为（ x+m） 2=n(n0)的形 式，两边开平方，便可求出它的 解。 （注：当 n0 时，左边是一 个完全平方式， 右边是一个负数， 因此，
8、方程在实数范围内无解。 归纳出配方法的一般步骤： 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 0 2 qpxx的 形式。 2.移项整理 得 x 2 +px=-q 3.在方程 x 2 +px= -q 的两边同时加 上一次项系数 p 的一半的平方 x 2+px+( 2 p ) 2 = 2 ) 2 ( p q 4、用直接开平方法解方程 ( 2 p x ) 2 = q p 4 2 X=- 2 p q p 4 2 (q p 4 2 0) 学生独立完成 理解配方法 体现从特殊到一般， 从具体到抽象的思 维过程。 让学生能解一次项 系数分别为偶数、奇 数、和分数时，一元 二次方程的解法，巩 固利用配方
9、法解方 程的基本技能。 注意检查学生的掌 握情况。 通过学生自己归纳， 巩固对配方法的掌 握。 4 ( (四四) ) 拓展延伸、继续探究拓展延伸、继续探究 列方程解应用题 如图， 在一块长 35m、 宽 26m 的矩形地面上，修建同样宽的两 条互相垂直的道路，剩余部分栽 种花草，要使剩余部分的面积为 850m 2,道路的宽应为多少？ （五）课堂总结，提高认识（五）课堂总结，提高认识 教师提问： 今天你学到了什么知识？ 你能用自己的话说说吗 （学生归纳后教师做归纳） （六）课外作业：（六）课外作业： 1 1、基础训练：、基础训练： P50 习题 2.3 2 2、思考题：、思考题： （1） 、当二
10、次项系数不为 1 时的 一元二次方程，例如： 3x 2+8x-3=0 2x 2+6=7x 如何用配方法解呢？ 由学生独立完成 总结：总结： 一元二次方程 是否可以用 直接开平方法 x 2 +px+q=0 配方： （x+m）2= n (n0) 解两个一元 用直接开 二次方程 平方法 用配方法解方程的 应用,提高学生的解 题能力. 通过学生自己的归 纳，巩固对本课知识 的掌握。 通过教师的归纳让 学生体会两个转化： 一是降次的思想；二 是等价转化的思想 基础训练是为巩固 学生对本次课重点 内容的掌握。 思考题是为了检查 学生对知识的灵活 运用，同时也为下一 节课做准备 是 否 5 教教 学学 设设
11、 计计 说说 明明 配方法是数学教学的重要内容和数学学习的主要思想方法。在传统的教学 课型中，基本上是以教师讲解为主，学生练习为辅的教学方式进行，学生的思维 发展受到了一定的限制。在我的教学设计中，打破了这一传统教学方式，在教材 的处理上， 既要注意到新教材、 新理念的实施， 又要考虑到传统教学优势的传承， 使自主探究、合作交流的学习方式与数学知识的牢固掌握、灵活应用有机结合。 新教材从“我们一起走进数学，让数学走进生活”的新视角来领略数学的风 采和魅力，突出数学的实际运用。所以，在教学设计中，力求将解方程的技能训 练与实际问题的解决融为一体，在解决实际问题的过程中提高学生的解题能力。 为此，
12、在知识引入阶段，创设了一个实际问题的情境，通过解决这一实际问题， 既让学生感受到生活处处有数学，又能使学生利用已有的平方根的知识解决问 题，体会到成功的喜悦。通过引导学生观察方程的特点，归纳出形如： （x+m）2= n (n0)的形式的方程，可以利用直接开平方来解。 为了突破本节的教学难点：发现和理解配方的方法，在教学中主要以启发学 生进行探究的形式展开，目的是想通过学生对方程解法的探索，能够体会和联想 到完全平方公式，从而对配方法的完全理解。所以在知识的探索阶段，设计了几 个既有联系又逐步递进的方程：x 2+4x+4=25， x2+12x-15=0 ，x2 +px+q=0，本 课的重点放在探究这几个方程的解法上， 让学生从特殊方程的配方法进而转化到 一般化的一元二次方程的配方，归纳出配方法的基本方法，这也体现了数学教学 中从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程。在教学中，开展自主探究，合作交 流的学习方式，通过学生的主动探究，掌握和理解配方法。 在学习小结阶段，由学生自己小结后，教师还要作补充和强调的总结。在 知识层面上，回顾和理解用配方法解方程的步骤和依据；在方法层面上，回顾配 方中的“等价转化”的数学思想方法和解一元二次方程中的“降次”的思想。在 课后作业的设计中，既注重学生的基础知识的训练，又为下一节课的学习作了铺 垫和准备。
