1、 4.1.1圆的标准方程 4.1.1圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合。集合。xOyA(a,b)Mr(x,y)如图，在直角坐标系中，圆心（点）如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐的位置用坐标标(a,b)表示，半径表示，半径r的大小等于圆上任意点的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆与圆心心A(a,b)的距离的距离圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合。x O y A 那么圆心为那么圆心为A A（a a，b b）的圆就是集合：）的圆就是集合：rM|MA|pxOyA(a,b)Mr(x,y).b22aryx根据两点间距离
2、公式：根据两点间距离公式：两边平方得：两边平方得：222)()(rbyax 那么圆心为A（a，b）的圆就是集合：圆的方程x O y222)()(rbyax 若若点点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点在圆上，由前面讨论可知，点M的坐的坐标适合方程；反之，若点标适合方程；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程，这的坐标适合方程，这就说明点就说明点 M与圆心的距离是与圆心的距离是 r，即点，即点M在圆心为在圆心为A(a,b)，半径为，半径为r的圆上的圆上 把这个方程称为圆心为把这个方程称为圆心为A(a,b)，半径长为，半径长为r 的圆的的圆的方程，把它叫做方程，把它叫做圆的标准方程圆的标准方程。圆
3、的标准方程 若点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知注意以下三点：注意以下三点：1已知圆心已知圆心C(a，b)，半径为，半径为r，则圆的标，则圆的标准方程为准方程为(xa)2+(yb)2=r2.2当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2+y2=r2.3圆的标准方程的圆的标准方程的优点优点在于明确地指出了在于明确地指出了圆心和半径圆心和半径.注意以下三点：1 已知圆心C(a，b)，半径为r，则圆的标准 解：解：圆心是圆心是 ，半径长等于，半径长等于5的圆的标准的圆的标准方程是：方程是：)3,2(A25)3()2(22yx 把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边
4、相等，点左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；在这个圆上；)7,5(1M25)3()2(22yx1M1M例1.写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ，是否在这个圆上)1,5(2M)3,2(A 把点把点 的坐标代入此方程，左右两边不相的坐标代入此方程，左右两边不相等，点等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上不在这个圆上)1,5(2M2M)7,5(1M2M 解：圆心是 ，半径长等于 点点MM0 0(x(x0 0,y,y0 0)在圆在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上上、内内、外外的条件是什么？的条件是
5、什么？通过比较通过比较点到圆心的距离点到圆心的距离和和半径半径r的大小关系的大小关系点点MM0 0在圆上在圆上点点MM0 0在圆内在圆内(x0 0-a)2+(y0 0-b)2=r2(x0 0-a)2+(y0 0-b)2r2点点MM0 0在圆外在圆外 点M0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b 例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1),(5,1),B B(7,(7,3)3)，C C(2,(2,8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程ABC 分析分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接
6、圆形有唯一的外接圆 解解：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 （1）222)()(rbyax 因为因为A(5,1),B(7,3)，C(2,8)都在圆上，所以它们的坐都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（标都满足方程（1）于是）于是222222222)8()2()3()7()1()5(rbarbarba 例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1)22,3,2 5.abr所以，所以，的外接圆的方程的外接圆的方程 ABC25)3()2(22yx解此方程组，得：解此方程组，得：分析分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆形有唯一的外接圆
7、 解解：例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1),(5,1),B B(7,(7,3)3)，C C(2,(2,8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程ABC所以，的外接圆的方程 求圆的标准方程的一般步骤为：求圆的标准方程的一般步骤为：（1 1）根据题意，设所求的圆的标准方程为）根据题意，设所求的圆的标准方程为 (x xa a)2 2+(+(y yb b)2 2=r r2 2；（2 2）根据已知条件，建立关于）根据已知条件，建立关于a a、b b、r r的方程组；的方程组；（3 3）解此方程组，求出）解此方程组，求出a a、b b、r r的值；的值；（4 4）将
8、所得的）将所得的a a、b b、r r的值代回所设的圆的方程中，的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程就得到所求的圆的标准方程.这种方法叫做待定系数法。这种方法叫做待定系数法。求圆的标准方程的一般步骤为：（2）根据已知条件，建立关于a、补补充充练练习习：写写出出圆圆的的圆圆心心坐坐标标和和半半径径：(1)(x+1)2+(y-2)2=9(2)(x+a)2+y2=a2(x-3)2+(y-4)2=5(x-8)2+(y+3)2=25(-1,2)3(-a,0)|a|练练习习：1、写写出出下下列列各各圆圆的的方方程程：(1)圆圆心心在在点点C(3,4)，半半径径是是(2)经经过过点点P(5,1),圆圆心心在在点点C(8,-3)5高中数学必修2 第四章圆与方程圆标准方程课件课堂小结课堂小结 (1)圆心为圆心为C(a,b)，半径为，半径为r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2 =r2 当圆心在原点时当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：，圆的标准方程为：x2+y2 =r2 (2)会判断点与圆的位置关系及待定系数法求圆的标会判断点与圆的位置关系及待定系数法求圆的标准方程。准方程。课堂小结作业：课本P124 习题4.1 A组 1、2、3、4 作业：谢谢观看
