1、第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 第五章第五章 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 不定积分不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法2022-11-301一、一、定积分的换元法定积分的换元法 定理定理1 设函数,)(baCxf单值函数)(tx满足:1),)(1Ct 2)在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数,因
2、此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t则2022-11-3021)当 ,即区间换为，时,定理 1 仍成立.2)必需注意换元必换限换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即)(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限配元不换限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t说明说明:2022-11-303).0(d022axxaa解解:令,sintax 则,dcosdttax;0,0tx时当.,2tax时 原式=2attad)2cos1(2202)2sin21(22tta0242a20
3、ttdcos222xayxoyaS且例例1（补充题）（补充题）计算2022-11-304.d12240 xxx解解:令,12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322;1t且 例例2（补充题）（补充题）计算2022-11-305例例3（补充题）（补充题）计算350sinsin.xxdx解解:35()sinsinf xxx32scosinxx350sinsinxxdx320ossincxxdx2320ssincoxdxx322sin(cos)xxxd3202sinsinxxd322sinsinxxd
4、20522sin5x2522sin5x.54 2022-11-306,)(aaCxf设证证:(1)若,)()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2)若,)()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad)()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令例例42022-11-307奇函数奇函数偶函数偶函数2022-11-308()da TTf xx0()daf tTt 0()dattf 0()daxxf 0()d()dTa Taf xxf xxT2022-1
5、1-309二、二、定积分的分部积分法定积分的分部积分法 定理定理2 ,)(,)(1baCxvxu设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()()()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba2022-11-3010答案为答案为:2答案为答案为:42133244ee答案为答案为:1ln242答案为答案为:2答案为答案为:72022-11-301120dcosttn20dcosxxn20dsinxxInn证证:令2
6、0dcosxxn,22143231nnnn n 为偶数,3254231nnnn n 为奇数,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 则,cossin)1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin)1(xxxnn0例例12 证明2022-11-30122022dcossin)1(xxxnInn2022d)sin1(sin)1(xxxnn2)1(nInnIn)1(由此得递推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所证结论成立.0I1I22mI
7、2232mm42mI 214312mI1222mm32mI 32542022-11-3013内容小结内容小结 基本积分法基本积分法换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法换元换元必必换限换限配元配元不不换限换限边积边代限边积边代限课后练习课后练习习题习题53 2（偶数题）；（偶数题）；3（奇数题）；（奇数题）；4；5；7；82022-11-3014思考与练习思考与练习1.提示提示:令令,txu_d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin,1,0)(连续在xf ,3)2(,1)0(ff且,5)2(f求.d)2(10 xxfx 2.设解解
8、:xxfxd)2(10)2(d2110 xfx(分部积分分部积分)10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf22022-11-3015,0)1(,)(1fCtf,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx)1()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 对已知等式两边求导,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得)1(d)()(1fuufefeeuu1131d31思考思考:若改题为xttfxlnd)(313?)(ef提示提示:两边求导,得331)(xxfexxfef1d)()(得3.设2022-1
9、1-3016证：证：2dsin)(xxxxxf是以是以 为为周期的函数周期的函数.2dsin)(xxuuxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.4.证明证明2022-11-3017解：解：右端右端,)(上有连续的二阶导数在设baxf)(af且试证试证 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)(baxfbxax)(d)(21abxfbxax)()(21xbaxxfbad)2)(21分部积分积分分部积分积分)(d)2(21xfbaxba再次分部积分再次分部积分xxfbad)(abxfbax)()2(21=左端左端,0)(bf5.2022-11-3018
