1、第二节 常数项级数敛散性判别法一.正项级数敛散性判别法三.任意项级数及其敛散性判别法二.交错级数及其敛散性判别法常数项级数 正项级数 交错级数任意项级数一.正项级数敛散性判别法正项级数收敛的充要条件比较判别法达朗贝尔比值判别法柯西根值判别法1.正项级数的定义若级数1nnu则称之为正项级数.满足,),2 ,1(0nun 实质上应是非负项级数收敛 1nnu2.正项级数收敛的充要条件正项级数Sn 有界.它的部分和数列 正项级数的部分和数列是单调增加的 单调有界的数列必有极限 在某极限过程中有极限的量必有界级数是否收敛？1121nn该级数为正项级数,又有nn21121(n=1,2,)故 当n 1 时,
2、有nkknkknS1121121即其部分和数列 Sn 有界,从而,级数.1211收敛nn解解21121121n1211n 例13.正项级数敛散性的比较判别法且 0 un vn (n=1,2,),11nnnnvu 与设有正项级数 .,(1)11收敛则收敛若nnnnuv .,(2)11发散则发散若nnnnvu大收小收,小发大发.记,1nkknuS,1nkknvG 0 un vn (n=1,2,)0 Sn Gn证证 (1),1有界则部分和收敛若nnnGv ,1也有界的部分和从而nnnSu .1收敛故级数nnu记,1nkknuS,1nkknvG 0 un vn (n=1,2,)0 Sn Gn ,11n
3、nnnnvSu从而无界则部分和发散若 .,1发散故级数也无界的部分和nnnvG证证 (2)判断级数13sin2nnnx的敛散性.(0 x 0)的敛散性.当 p1时,P 级数为调和级数:,11nn它是发散的.当 0 p 1 时,按 1,2,22,23,2n,项 7151413121111pppppnpn而12121213121ppppp对 P 级数加括号,不影响其敛散性：ppp1519181 pppp41414141ppp715141ppp1519181ppp818181 2112141pp3 112181pp故当 p 1 时,P 级数收敛.综上所述:当 p 1 时,P 级数收敛.当 p 1 时
4、,P 级数发散.,数的每一项均级数加括号后生成的级于是 P ,121 1应项为公比的等比级数的相小于以pr4.比较判别法的极限形式;,2 ,1(0 ,11nvvunnnnn且为两个正项级数和设 ,lim ).0则若开始或从某一项nnnvuN .,0 )1(11具有相同的敛散性与时nnnnvu.,0 )2(11收敛收敛时nnnnuv.,)3(11发散发散时nnnnuv 由于nnnvulim(0 0,N 0,当 n N 时,成立，即 nnvunnnvuv)()(不妨取，2nnnvuv232运用比较判别法可知,11 nnnnvu 与具有相同的敛散性.证证(1),00时当则NnN当 0 0,当 n N
5、 时,1 即nnvu故由比较判别法,当 =0 时,.11收敛收敛nnnnuv证证(2),0 nnvu 由于nnnvulim(=)M 0 (不妨取 M 1),1 Mvunn即由比较判别法,发散 1nnv证证(3)故发散 1nnu N 0,当 n N 时,当=时,0 vn 0 为常数).因为111lim22nann(即 =1 为常数)又11nn是调和级数,它是发散的,1221nan发散.解解原级数故 例4.!)2(!2!1 1的敛散性判别级数nnn解解!)2()!(!)2(!2!1 nnnnnun)12()2)(1(21nnnnvnn)2)(1(21,211)2)(1(21lim 2nnnn而,2
6、10 即由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：.,)2)(1(2111从而原级数收敛收敛nnnvnn 例55.达朗贝尔比值判别法 ,lim ,11则存在极限为正项级数设nnnnnuuu(1)1(包括 =)时,级数发散；(3)=1 时,不能由此断定级数的敛散性.判别级数122nnnx的敛散性,其中,x 0 为常数.222)1(21)1(limlimnxnxuunnnnnn即 =x2,由达朗贝尔判别法：解解记，22nxunn则2222)1(limxnxnn 需要讨论 x 的取值范围 例6当 0|x|1 时,1 时,1,级数发散.当|x|=1 时,=1,但原级数此时为121221nnnnnx这是 n
7、=2 的 P 级数,是收敛的.综上所述,当 0 1 时,原级数发散.)0(.!1xnnxnnn的敛散性判别级数解解这是一个正项级数:),0(!xnnxunnn!)1(!)1(limlim111nxnnnxuunnnnnnnn,11limexnxnn1)(;,0 原级数收敛时当ex1)(;,原级数发散时当xe,1)(时当ex ,1euun 又故.,0lim ,原级数发散从而nnu 单调增加有上界,以 e 为极限.1,11e1nnnnuu 例7 .2lim nnn求 ,2 ,2 1而为正项级数则级数令nnnnnnu 1),21 (212 2 )1(limlim11即nnnnnnnnuu由达朗贝尔比
8、值判别法知该正项级数收敛.由级数收敛的必要条件得 .02lim nnn 例8解解 达朗贝尔(DAiember Jean Le Rond)是法国物理学家、数学家。1717年11月生于巴黎，1783年10月卒于巴黎。达朗贝尔是私生子，出生后被母亲遗弃在巴黎一教堂附近，被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的名字。后被生父找回，寄养在一工匠家里。达朗贝尔少年时就读于一个教会学校，对数学特别感兴趣。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿等大科学家的著作。1741年24岁的达朗贝尔因研究工作出色进入法国科学院工作。1754年成为法国科学院终身院士。达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的
9、建树。达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达朗贝尔原理的 “作用于一个物体的外力与动力的反作用之和为零”的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。1752年首先用微分方程表示场。达朗贝尔终身未婚。1776年由于工作不顺利，加之好友勒皮纳斯小姐去世，使他陷入极度悲伤和失望中。达朗贝尔去世后，由于他反宗教的表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。6.柯西根值判别法 ,lim ,1则存在极限为正项级数设nnnnnuu(1)1 (包括 =)时,级数发散；(3)=1 时,不能由此断定级数的敛散性.
10、时,级数可能收敛也可能发散.1例如,p 级数:11pnnpnnnnu1)(1n说明说明:,1pnnu 但,1p级数收敛;,1p级数发散.)0(.1 12aaannn的敛散性判别级数解解.,21 ,1 1显然是发散的原级数为时当na,11lim1lim ,10 22aaaaaannnnnnn时当,11111lim1lim ,1 22aaaaaannnnnnnn时当.,1 0 原级数收敛时且故aa例10 判别1nnax的敛散性.(x 0,a 0 为常数)记则 ,nnaxunnnnnnaxulimlim解解axaxnlim即:,由柯西根值判别法ax当 x a 时,当 0 x a 时,当 x=a 时,
11、=1,但axnnnnaxu limlim11lim n故此时原级数发散.（级数收敛的必要条件）例11级数发散.,1ax级数收敛.,1ax当 0 x a 时,原级数收敛;当 x a 时,原级数发散.综上所述,交错级数及其敛散性判别法交错级数是各项正负相间的一种级数,nnuuuuu14321)1(或nnuuuuu)1(4321其中,un 0 (n=1,2,).它的一般形式为(莱布尼兹判别法)11)1(nnnu满足条件:(1)(2)un un+1 (n=1,2,)则交错级数收敛,且其和 S 的值小于 u1.0limnnu(级数收敛的必要条件)若交错级数(单调减少)12212432112mmmmuuu
12、uuuuS122mmuS0 (由已知条件)证明的关键在于它的极限是否存在？只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在.mS2证证1)取交错级前 2m 项之和mmmuuuuuuS21243212)()()(2124321mmuuuuuu由条件(2)：得 S2m 及)()(543212uuuuuSm121222)(uuuummm由极限存在准则：.,lim12uSSSmm且存在un un+1,un 0,2)取交错级数的前 2m+1 项之和12212432112mmmmuuuuuuuS由条件1):故 ,0limnnu)(limlim12212mmmmmuSS综上所述,有。，且 lim1uSSSnn12
13、2mmuSSuSmmmm122limlim讨论级数1)1(nnn的敛散性.这是一个交错级数：nun1又01limlimnunnn1111nnunnu由莱布尼兹判别法,该级数是收敛.解解例12.!)2(!)12()1(11的敛散性判别级数nnnn解解!)2)(22(!)12)(12(!)22(!)12(1nnnnnnun,!)2(!)12(nunn:)0(11 可得又由不等式abbaba214365 2232212nnnnun122nn325476 1222nn!)1(2!)2(nn)12(1nun,0121lim ,1210 nnunn且从而由莱布尼茨判别法,原级数收敛.,0lim nnu故例
14、13 莱布尼茨莱布尼茨Friedrich.Leibniz (16461716年)莱布尼茨(16461716年)是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年以论文论组合的艺术获得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同时获得该校的教授席位。1671年，他制造了他的计算机。1672 年 3月作为梅因兹的选帝侯大使，政治出差导巴黎。这次访问使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学的兴趣。可以说，在此之前（1672年前）莱布尼茨基本上不懂数学。1673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学家，促使他更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠做外交官生活，
15、卷入各种政治活动，但他的科学研究工作领域是广泛的，他的业余生活的活动范围是庞大的。除了是外交官外，莱布尼茨还是哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家，他在逻辑学、力学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要工作。虽然他的教授席位是法学的，但他在数学和哲学方面的著作被列于世界上曾产生过的最优秀的著作中。他用通信保持和人们的接触，最远的到锡兰（Ceylon）和中国。他于1669年提议建立德国科学院，从事对人类有益的力学中的发明和化学、生理学方面的发现（1700 年柏林科学院成立）。莱布尼茨从1684年开始发表论文，但他的许多成果以及他的思想的发展，实际上都包含在他从167
16、3年起写的，但从未发表过的成百的笔记本中。从这些笔记本中人们可以看到，他从一个课题跳到另一个课题，并随着他的思想的发展而改变他所用的记号。有些是它在研究格雷戈里、费马、帕斯卡、巴罗的书和文章时，或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方式时所出现的简单思想。1714年莱布尼茨写了微分学的历史和起源，在这本书中，他给出了一些关于自己思想发展的记载，由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名，所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载。不管他的笔记本多么混乱，都揭示了一个最伟大的才智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到，微分与积分（看作是和）必定是相反的过
17、程；1676 年 6月 23日的手稿中，他意识到求切线的最好方法是求 dy/dx，其中 dy，dx 是变量的差，dy/dx 是差的商。莱布尼茨的工作，虽然富于启发性而且意义深远，但它是十分零乱不全的，以致几乎不能理解。幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工作。1716年，他无声无息地死去。三.任意项级数及其敛散性判别法(1)级数的绝对敛和条件收敛 .,|11是绝对收敛的则称原级数收敛若级数nnnnuu .,|,111是条件收敛的则称原级数发散但收敛若级数nnnnnnuuu (即绝对收敛的级数必定收敛)证证 un|un|2|0nnnuuu,|1收敛已知nnu,)|(1收敛故nnnu
18、u从而.|)|(11收敛nnnnnnuuuu .,|11必收敛则级数收敛若nnnnuu(1)1(包括 =)时,级数发散.(3)=1 时,不能由此断定级数的敛散性.(达朗贝尔判别法)则存在若设有级数 ,|lim ,11nnnnnuuu解解331cos|nnxun由 P 级数的敛散性：.113收敛nn,|1收敛故nnu即原级数绝对收敛.判别级数13cosnnx的敛散性.为常数）（x例14记nnnxxu1|)1(|)1(|lim|lim111nnnnnnnnxxxxuu1|,11|,|1lim11xxxxxxnnn解解判别11nnnxx的敛散性,其中,x 1为常数.例15当|x|1 时,=|x|1
19、时,=1,此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但|x|1 时,011lim|limnnnnnxxu原级数发散.级数1111)1(nnn是否绝对收敛?1111)1(1nnn解解由调和级数的发散性可知,111发散nn故1111)1(nnn发散.11n例16但原级数是一个交错级数,且满足：,1)1(121111nnunnnu故原级数是条件收敛,不是绝对收敛的.由莱布尼兹判别法可知,该交错级数收敛.,0limnnu(2)绝对收敛级数的性质性质1.任意交换绝对收敛级数中各项的位 置,其敛散性不变,其和也不变.性质2.两个绝对收敛的级数的积仍是一 个绝对收敛的级数,且其和等于 原来两个级数的和之积.(
20、3)任意项级数敛散性的一个判别法(狄利克雷判别法)其中,M 0 为与 n 无关的常数,单调递减趋于零 部分和有界 ,1 .1有若对任意的设有级数nvunnn ;0lim 1nnnnuuu且,2 ,1 ,|1nMvnkk又 .1收敛则级数nnnvu 判别级数1cosnnnx的敛散性,其中,x 2k,kZ.1111nnunnu01limlimnunnn解解则记 ,cos ,1 nxvnunn,2 ,1n 单调递减趋于零例17又 cos2sin2)21sin()21sin(kxxxkxkxxxxcos2sin2)211sin()211sin(xxxx2cos2sin2)212sin()212sin(xxxx3cos2sin2)213sin()213sin(nxxxnxncos2sin2)21sin()21sin(而 x 2k,kZ,于是,02sinx且，2sin221sin)21sin(cos1xxxnkxnk故|cos|11nknkkkxv由狄利克雷判别法,1cosnnnx(x 2k,kZ)收敛.,|2sin|1 Mx
