1、空间向量的空间向量的 数量积运算数量积运算AOBababab4平面向量的夹角：平面向量的夹角：babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向复习：复习：1 1）空间两个向量的夹角的定义空间两个向量的夹角的定义babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向思考思考：1、a，b与与b，a相等吗？相等吗？2、a，b与与a，b相等吗？相等吗？注意：注意：a，bb，a，a，ba，b两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角
2、，即取值范围是围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是其取值范围是0,180.定义：已知向量和轴，是 上与 同方向的单位向量，作点在 上的射影，作点在 上的射影，则叫做向量在轴 上或在方向上的正射影，简称射影ABal ellAlABlBA BABleABABe|cos.A BABa ea e 可以证明：，3 3、射影、射影l2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注：注：两个向量的两个向量的数量积是数量数量积是数量，而不是向量，而不是向量.,cos,cos,a ba ba ba ba ba ba ba b 已知空间两个向量，则叫做向量的数量积，记作：即零向量
3、与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。3)3)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质:对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,ab2(1)cos,(2)0(3)a ba ba baba baa a （求角的依据）（求角的依据）（证明垂直的依据）（证明垂直的依据）（求向量的长度的依据（求向量的长度的依据)高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）4)4)空间向量的数量积满
4、足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 1)()()()2)(3()(aba ba bb aabca ba c 结合律交换律）分配律）下列命题成立吗下列命题成立吗?若 ,则若 ,则a ba c bc kab a bk ()()a bcab c 思考思考:3、空间向量数量积的性质4.空间向量数量积运算律()()()a ba bab a bb a()a b cab ac （数乘结合律）（分配律）（交换律）注意：数量积不满足结合律，)()(cbacba也不满足消去率高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）高中数学（人
5、教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）1.向量a、b之间的夹角为30，且|a|3，|b|4，则ab _，a2_，(a2b)(ab)_.高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）135 高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）高中数学（人
6、教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）题型一题型一利用数量积求夹角利用数量积求夹角 如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值【例例1】高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）如图，在空间四边形如图，在空间四边形OABC中，中，OA8，AB6，AC
7、4，BC5，OAC45，OAB60，求，求OA与与BC所成角的余弦所成角的余弦值值高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）P O A la 分析分析：用向量来证明：用向量来证明两直线垂直，只需证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量明两直线的方向向量的数量积为零即可！的数量积为零即可！题型题型二二利用数量积证明垂直关系利用数量积证明垂直关系【例例2】高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材
8、版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）证明：如图,已知:,POAOllOA射影且求证：lPA 在直线l上取向量 ,只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl即PA.为 P O A la 0,0a POa OA 高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量
9、的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.P O A la 高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）AC 解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAABADABAAADAA|85AC 2.已知在平行六面体 ,求 对角线的长.ABCDA
10、 B C D 4AB 3,5,90,ADAABAD 60BAADAA 巩固练习：DCBDABCA高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）空间向量数量积的定义 空间向量数量积的性质空间向量数量积的运用空间向量的夹角bababa,cos)1(0)2(baba22)3(aaaa(1)cos,a ba ba b用求夹角 (2)0a b用判断垂直 2(3)aa a求求长度 高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）高中数学（人教高中数学（人教B B版）教材版）教材向量的数量积向量的数量积完美课件完美课件1 1（公开课课件）（公开课课件）
