1、1.2.3充分条件、必要条件激趣诱思知识点拨著名童话爱丽丝漫游奇境记的作者,英国剑桥大学数学讲师卡洛尔曾提出如下趣题:如果已经知道以下信息:室内所有有日期的信都是用蓝纸写的;玛丽写的信都是以“亲爱的”开头的;除了查理以外没有人用黑墨水写信;我可以看到的信都没有收藏起来;只有一页信纸的信中,没有一封没注明日期;未作记号的信都是用黑墨水写的;用蓝纸写的信都收藏起来了;一页以上信纸的信中,没有一封是做记号的;以“亲爱的”开头的信,没有一封是查理写的.请判断:我是否可以看玛丽的信?结论是什么呢?学习了本节内容后,运用充分、必要条件的知识进行逻辑推理就容易判断结果了.激趣诱思知识点拨知识点一、充分条件与
2、必要条件 激趣诱思知识点拨名师点析1.在逻辑推理中“pq”的几种说法(1)“如果p,那么q”为真命题.(2)p是q的充分条件.(3)q是p的必要条件.(4)p的必要条件是q.(5)q的充分条件是p.这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.2.对充分条件的理解(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立.(2)只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立,例如x=6x2=36,但是,当x6时,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件.激趣诱思知识点拨3.对必要条件的理解(1)必要条件是在充分条件
3、的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.(2)“p是q的必要条件”的理解若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.激趣诱思知识点拨微思考用恰当的语言表示下列语句的意义.一个人如果骄傲自满,那么就必然落后;只有同心协力,才能把事情办好.提示:如果不骄傲自满,那就可能不落后,也可能落后,骄傲自满是落后的充分条件;同心协力是办好事情的必要条件.激趣诱思知识点拨微练习下列命题中是真命题的是()“x3”是“x4”的必要条件;“x=1”是“x2=1”的必要条件;“a=0”是“ab=0”的必要条件.
4、A.B.C.D.解析:x4x3,故是真命题;x=1x2=1,x2=1 x=1,故是假命题;a=0ab=0,ab=0 a=0,故是假命题.答案:D激趣诱思知识点拨知识点二、充要条件如果“若p,则q”和“若q,则p”均是真命题,即既有pq,又有qp,就记作pq,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.激趣诱思知识点拨名师点析1.对充要条件的两点说明(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.(2)p是q的充要条件,则q也
5、是p的充要条件.2.常见的四种条件与命题真假的关系如果有命题“若p,则q”和“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:激趣诱思知识点拨微思考用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤是什么?提示:(1)判定“若p,则q”的真假.(2)尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.(3)尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.激趣诱思知识点拨微练习“x=0”是“x2=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件解析:因为x=0时,x2=0,当x2=0时,x=0,所以“x=0”是“x2=0”的充
6、要条件.答案:D探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断例1判断下列各题中,p是否是q的充分条件:(1)p:aQ,q:aR.(3)p:x1,q:x21.(4)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.(5)在ABC中,p:AB,q:BCAC.(6)已知a,bR,p:a2+b2=0,q:a=b=0.分析逐个判断“若p,则q”是否为真命题.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:(1)由于QR,所以pq,所以p是q的充分条件.所以p不是q的充分条件.(3)由x1可以推出x21.因此pq,所以p是q的充分条件.(4)设A=a|(a-2)
7、(a-3)=0,B=3,则BA.因此p q,所以p不是q的充分条件.(5)由三角形中大角对大边可知,若AB,则BCAC.因此,pq,所以p是q的充分条件.(6)因为a,bR,所以a20,b20,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即pq,所以p是q的充分条件.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测例2判断下列各题中,q是否是p的必要条件:(1)p:|x|=|y|,q:x=y.(2)p:ABC是直角三角形,q:ABC是等腰三角形.(4)p:-2x5,q:-1x5.(5)p:a是自然数,q:a是正整数.(6)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.分析逐个判断“若p,则q”是否为真
8、命题.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:(1)若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p q,所以q不是p的必要条件.(2)直角三角形不一定是等腰三角形.因此p q,所以q不是p的必要条件.所以pq,所以q是p的必要条件.(4)设A=-2,5,B=-1,5,则BA,所以p q,所以q不是p的必要条件.(5)0是自然数,但是0不是正整数,所以p q,所以q不是p的必要条件.(6)等边三角形一定是等腰三角形.所以pq,所以q是p的必要条件.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法:确定谁是条件,谁是结论.尝试从条件推结论,
9、若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.(2)命题判断法:如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练1对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是()A.“acbc”是“ab”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“acbc”是“ab”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件答案:B 探究一探究二探究三探究四
10、探究五素养形成当堂检测充分不必要条件、必要不充分条件的判断充分不必要条件、必要不充分条件的判断例3用“充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要”填空.分析从集合观点“小范围大范围”进行理解判断注意特殊值的使用探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:(1)充分不必要(2)既不充分也不必要 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟充分不必要条件、必要不充分条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件,实际上是判断“若p,则q”和“若q,则p”的真假,若“若p,则q”为真,“若q,则p”为假,则p为q的充分不必要条件;若“若p,则q”为假,“若q,则p”为真,则p为q的必
11、要不充分条件;若“若p,则q”为真,“若q,则p”为真,则p为q的充要条件;若“若p,则q”,“若q,则p”均为假,则p为q的既不充分也不必要条件.(2)在判断时注意反例法的应用.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练2判断下列各题中,p是否为q的充要条件:(1)若a,bR,p:a2+b2=0,q:a=b=0;(2)p:|x|3,q:x29.解:(1)若a2+b2=0,则a=b=0,即pq;若a=b=0,则a2+b2=0,即qp,故pq,所以p是q的充要条件.(2)由于p:|x|3q:x29,所以p是q的充要条件.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测充分条件与必要条件
12、的应用充分条件与必要条件的应用例4已知p:-2x10,q:1-mx1+m(m0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.分析根据条件的充分必要性构建不等式组,解不等式组可得实数m的范围.解:因为p是q的必要不充分条件,所以00,B=(x,y)|x+y-n0,那么点P(2,3)A(UB)的充要条件是()A.m-1,n5B.m-1,n-1,n5D.m5答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测充要条件的证明充要条件的证明例6(1)证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.(2)一般地,证明:方程f(x)=0有一根为1的充要条件是f(1)=0
13、.分析从充分性和必要性两个方面证明.证明:(1)先证充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0()中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程()有一个根为1,所以a+b+c=0方程()有一个根为1.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测再证必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以有a12+b1+c=0,即a+b+c=0.所以方程()有一个根为1a+b+c=0,从而a+b+c=0方程()有一个根为1,因此方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.(2
14、)充分性:当f(1)=0时,即x=1代入f(x)=0,等式成立,f(1)=0是f(x)=0的充分条件;必要性:当f(x)=0有一根为1时,即(1,0)为y=f(x)与x轴的一个交点,f(1)=0,f(1)=0是f(x)=0的必要条件.综上所述,方程f(x)=0有一根为1的充要条件是f(1)=0.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必
15、要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测延伸探究将本例(1)的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”,“a+b+c=0”改为“ac0”,如何判断?证明:充分性:因为ac0,方程ax2+bx+c=0()中有两个不等实根,由根与系数关系可知这两个根的积为 0,所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,所以ac0方程()有一个正根和一个负根.必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,由根与系数关系可知这两个根的积为 0,所以ac0,所以方程()有一个正根和一个负根ac0,因此方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的
16、充要条件是ac0.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测数形结合思想的应用数形结合思想的应用在解答有关充分必要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求参数的取值范围时,有时要借助于维恩图或数轴求解,可以比较形象、直观地解决问题,培养我们直观想象的核心素养.1.维恩图的应用(1)用列举法表示集合,可以很清晰地判断条件间的关系.(2)把条件用集合来表示,将抽象的条件具体化、形象化,方便判断.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测典例1 已知集合A=1,2,3,4,5,B=3,4,5,则xA是xB的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件分析作
17、出维恩图,判断集合A和集合B之间的关系,进而做出判断.解析:作出维恩图,如图所示,可知xBxA,但xA xB,所以xA是xB的必要不充分条件.答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测2.数轴的应用(1)判断涉及集合的条件间的充分性、必要性时,如果集合中的实数为连续性的,则可用数轴表示集合做出判断.(2)在根据条件间的关系求参数的取值范围时,一般转化为集合间的关系,用数轴法解决,这种解法更加的直观形象,不易出错.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测典例2 已知命题p:-1x3,命题q:-mx0),若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.分析 把条件间的充分性、必要性转化
18、为集合间的包含关系,在数轴上表示出来,列出不等式组,解不等式组可得参数的取值范围.解:设A=x|-1x3,B=x|-mxm,因为p是q的必要条件,所以BA,在数轴上标出两集合,如图,所以m的取值范围是(0,1.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测1.(2020北京高一期中)“x=2”是“x2=4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:由x2=4,解得x=2.x=2是x2=4的充分不必要条件.答案:A探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测2.“角A=60”是“三角形ABC是等边三角形”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:角A=60 三角形ABC是等边三角形,但三角形ABC是等边三角形角A=60,所以“角A=60”是“三角形ABC是等边三角形”的必要不充分条件.答案:C探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测3.(2020重庆高一检测)已知p:-1x3,q:-1x3,解得m2,即实数m的取值范围是(2,+).答案:(2,+)
