1、 2019-2020 学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（实验班）学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（实验班） 上学期第三次月考数学（理）试题上学期第三次月考数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1“ab”是是“直线直线2yx与圆与圆 22 2xayb相切相切”的（的（ ） ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 【答案】【答案】A 【 解 析 】【 解 析 】 试 题 分 析 ： 直 线2yx与 圆 22 2xayb相 切 或，故为充分不必要条件，选 A. 【考点】充分条件；必要条件 【易错点睛】判断
2、充分、必要条件时应注意的问题： （1）要弄清先后顺序：“的充分 不必要条件是”是指能推出，且不能推出；而“是的充分不必要条件” 则是指能推出，且不能推出； （2）要善于举出反例：如果从正面判断或证明 一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明 2 已知过点 已知过点 P(2,2) 的直线与圆的直线与圆 22 (1)5xy相切相切, 且与直线且与直线 10axy 垂直垂直, 则则 a（ （ ） A 1 2 B1 C2 D 1 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【详解】试题分析：设过点 (2,2)P 的直线的斜率为k，则直线方程 (22)yk x ，即220kxyk，由
3、于和圆相切，故 2 |22 | 5 1 kk k ，得 1 2 k ，由于直线220kxyk与直线10axy ，因此 1 1 2 a ，解得 2a，故答案为 C. 【考点】1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用. 3已知四棱锥已知四棱锥SABCD的底面是边长为的底面是边长为 2 的正方形，的正方形， SDABCDSDAB平面，且，则四棱锥，则四棱锥SABCD的外接球的表面积为（的外接球的表面积为（ ） ） A9 B4 3 C12 D10 【答案】答案】C 【解析】【解析】由题意，将四棱锥SABCD扩充为正方体，体对角线长为2 3，所 以四棱锥外接球的直径为2 3，半径为3，所以四棱锥外
4、接球的表面积为 2 4312，故选 C. 4设直线设直线l的斜率为的斜率为k，且，且13k ，求直线，求直线l的倾斜角的倾斜角的取值范围（的取值范围（ ） A 3 0 34 ， B 3 0 64 ， C 3 64 ， D 3 0 34 ， 【答案】【答案】D 【解析】【解析】直线的倾斜角为，则0,，由13k ，即 3 1tan3,0, 34 ，故选 D. 5光线沿直线光线沿直线:345 0lxy 射入，遇直线射入，遇直线: l ym后反射，且反射光线所在的直后反射，且反射光线所在的直 线经过抛物线线经过抛物线 2 25yxx的顶点，则的顶点，则m（ ） A3 B3 C4 D4 【答案】【答案】
5、A 【解析】【解析】易知 1:3 450lxy 与: l ym都经过点 45 , 3 m m ，根据对称性可 得反射光线所在直线的斜率与 1 l互为相反数，则可设反射光线所在直线的方程为 340xyt ，代入点 45 , 3 m m ，得34580xym，又抛物线 2 25yxx的顶点为4,1 ，得 3 14 4580,3mm 选 A 6如图，在长方体如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，中，2ABBC, 1 1AA 则则 1 BC与平面与平面 11 BB D D所成角的正弦值为（所成角的正弦值为（ ） A 6 6 B 2 5 5 C 15 5 D 10 5 【答案】【答案】D 【解
6、析】【解析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的 方法求解直线与平面所成的夹角 【详解】 解：以D点为坐标原点，以DA、DC、 1 DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空 间直角坐标系， 则2,0,0A， 2,2,0B，0,2,0C， 1 0,2,1C， 1 2,0,1BC ， 2,2,0AC ， AC且为平面11 BB D D的一个法向量 1 cosBC， 410 558 AC 1 BC与平面 11 BB D D所成角的正弦值为 10 5 故选：D 【点睛】 此题重点考查了利用空间向量， 抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的 法向量的夹角之间的关
7、系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题 7已知点已知点A、B在半径为在半径为3的球的球O表面上运动，且表面上运动，且2AB ，过，过AB作相互垂直的作相互垂直的 平面平面、，若平面，若平面、截球截球O所得的截面分别为圆所得的截面分别为圆M、圆、圆N，则（，则（ ） AMN长度的最小值是长度的最小值是 2 BMN的长度是定值的长度是定值2 C圆圆M面积的最小值是面积的最小值是2 D圆圆M、N的面积和是定值的面积和是定值8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 如图所示，过AB 作互相垂直的平面ABD 、平面 ABC，则BDBC ， 22 412BCBD ， 222 8,2 2CDBCBDCD
8、 ，因为 ,M N 分别是 ,AC AD 的中点，所以 2MN ，故选 B. 8 在四棱锥 在四棱锥PABCD中，中，PA 平面平面ABCD， 底面， 底面ABCD为矩形，为矩形，ABPA 若 若 BC边上有且只有一个点边上有且只有一个点Q，使得，使得PQ QD ，求此时二面角，求此时二面角APDQ的余弦值的余弦值 （ ） A 3 3 B 30 6 C 6 6 D 2 6 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 因为在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD， 底面ABCD为矩形， 由BC边 上有且只有一个点Q，使得PQ QD ，可得C边上有且只有一个点Q，使得 AQQD ，则以AD 为直径的圆与
9、直线BC 相切，设AD中点为O ，则 QOAD ，可得QO 平面PAD ，作OHPD 于H ，连接QH ，则 OHQ 是二面角APDQ 的平面角，设ABPAa ,则2ADa ，直角 三角形QOH 中，可得OH 2 5 ， 33 =,cos 35 OH QHQHO QH ，二面角 APDQ 的余弦值为 3 3 ，故选 A. 9已知已知m，n表示两条不同的直线，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四表示三个不同的平面，给出下列四 个命题：个命题： m，n，nm，则，则； ， m ，n，则，则mn； ，m，则，则m； m，n，mn，则，则 其中正确命题的序号为（其中正确命题的序号为（ ）
10、 A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】m，n，nm，则, 可以垂直,也可以相交不垂直，故 不正确； ,mn ，则n与m相交、平行或异面，故不正确；若 ,m ，则m，正确；mn， ,mn，可知与 m n， 共线的向量分别是与的法向量，所以与所成二面角的平面为直角， ，故正确，故选 C. 【方法点晴】 本题主要考查线面平行的判定与性质、 面面垂直的性质及线面垂直的判定， 属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其 是画长方体） 、现实实物判断法（如墙角、桌面等） 、排除筛选法等；另外，若原命题不 太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命
11、题真假，原命题与逆否命题 等价. 10已知圆已知圆 22 :2C xy，直线，直线: 240l xy，点，点 00 (,)P x y在直线在直线l上若存在上若存在 圆圆C上的点上的点Q，使得，使得45OPQ（O为坐标原点） ，则为坐标原点） ，则 0 x的取值范围是的取值范围是 A0,1 B 8 0, 5 C 1 ,1 2 D 1 8 , 2 5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据条件若存在圆 C 上的点 Q,使得为坐标原点),等价 即可,求出不等式的解集即可得到的范围 【详解】 圆 O 外有一点 P,圆上有一动点 Q,在 PQ 与圆相切时取得最大值. 如果 OP 变长,那么可以获得的最
12、大值将变小.可以得知,当,且 PQ 与圆相切时, 而当时,Q 在圆上任意移动,存在恒成立. 因此满足,就能保证一定存在点 Q,使得, 否则,这样的点 Q 是不存在的， 点在直线上, ,即 , , 计算得出, 的取值范围是， 故选 B. 【考点】正弦定理、直线与圆的位置关系. 11设设, 表示平面，表示平面， l表示直线，表示直线，则下列命题中，错误的是则下列命题中，错误的是( ) A如果如果，那么，那么内一定存在直线平行于内一定存在直线平行于 B如果如果， ， l，那么，那么l C如果如果不垂直于不垂直于，那么，那么内一定不存在直线垂直于内一定不存在直线垂直于 D如果如果，那么，那么内所有直线
13、都垂直于内所有直线都垂直于 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 由上图可得选项 A 中： 内存在直线 1 CC ,故 A 正确；选项 B 中：直线l 即为 直线 1 BB ,故 B 正确；选项 C 中：可用反证法假设存在直线,aa ，与已知矛盾，故 C 正确；选项 D 中: 11 ,CCCC ,故 D 错误.综上应选 D. 12如图，四棱锥如图，四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形， PD 平面平面ABCD，且，且 1,2PDADAB，点，点E是是AB上一点，当二面角上一点，当二面角PECD为为 4 时，时， AE （ ） A23 B 1 2 C22 D1 【答案】【答案】
14、A 【解析】【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则 1,0,0 ,1,2,0 ,0,2,0 ,0,0,1 ,1, ,0ABCDEt，设平面PEC的一个法向量为 , ,nx y z，由于1,1,0,2,1PEtPC，所以 2 0 1 20 2 xt xtyz y yz z ，即2,1,2nt，又平面ABCD的一个法向量是 1 0,0,1n 且 2 1 2 224 12 2 n nt ，解之得23t ，应选答案 A。 二、填空题二、填空题 13 若圆 若圆 22 :()(2)4(0)Cxaya被直线被直线 :30l xy 截得的弦长为截得的弦长为2 3， 则， 则 a_ 【答案】【答案】 2-1
15、【解析】【解析】由题意利用弦长公式可得弦心距431d ，再由点到直线的距离公式可 得 2323 1 22 aa d ， 解得 2-1a ，或 2 1a （舍去） ， 故选 A 14已知某三棱锥的三视图如图所示，则已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是该三棱锥的最长棱的长是_ 【答案】【答案】6 【解析】【解析】由三视图可以知道：该几何体是一个三棱锥其中PA 底面ABC， 1PAACCB， 则该三棱锥的最长棱的长是PB， 22222 1216PBPAAB ，故答案为 6 15已知直线已知直线 1: 0lxy，直线，直线 2: 20lxy，点，点 1 1, 2A关于关于 1 l的对
16、称点为的对称点为 2 A， ， 点点 2 A关于直线 关于直线 2 l的对称点为的对称点为 3 A，则过点，则过点 123 ,A A A的圆的方程为的圆的方程为_ 【答案】【答案】 22 22110xyxy 【解析】【解析】 2 2, 1A，设 3 ,A m n，则 1 1 2 21 20 22 n m mn ，解得 3 4 m n ，注意到 12 ll， 123 A A A为直角三角形，过点 123 ,A A A的圆的直径为 13 A A， 所求圆的方程为 13240xxyy，也就是 22 22110xyxy 16在正方体在正方体中，给出以下四个结论：中，给出以下四个结论： （1）直线）直线
17、平面平面； （； （2）直线）直线与平面与平面相交；相交； （3）直线）直线平面平面； （4）平面）平面平面平面. 上述结论中，所有正确结论的序号为上述结论中，所有正确结论的序号为_ 【答案】【答案】 【解析】【解析】面面平行的性质判断；由直线在平面内判断；反证法，由直 线不垂直于直线判断；可由面面垂直的判定定理判断. 【详解】 因为平面平面，在平面内， 所以直线平面， 对； 因为直线在平面内，所以错； 显然直线不垂直于直线，所以直线不垂直于平面，错； 因为平面，所以平面平面，对，故答案为. 【点睛】 本题主要考查正方体的性质，考查了面面平行的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直 的判定定理的应
18、用，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属 于中档题. 三、解答题三、解答题 17设直线设直线l的方程为的方程为( 1)20axya ，aR . （1）若）若l在两坐标轴上的截距相等，求在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；的方程； （2）若）若l与两坐标轴围成的三角形的面积为与两坐标轴围成的三角形的面积为 6，求，求a的值的值. 【答案】【答案】(1) 直线l的方程为30xy或20xy;(2) 86 2a 或4a . 【解析】【解析】试题分析： （）分类讨论：当直线过原点时，a=2；当直线 l 不过原点时，a=0， 从而求出直线 l 的方程 （）由题意知 l 在 x 轴，y
19、 轴上的截距分别为 2 1 a a ，2a，由三角形面积构建方程， 求出 a 的值 试题解析： （1）由题意知，10a ，即1a 当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为 0，此时2a，直线l的方程为 30xy ； 当直线l不过原点时，即2a时，由截距相等，得 2 2 1 a a a ，即0a， 直线l的方程为20xy， 综上所述，所求直线l的方程为30xy或20xy. （2）由题意知，10a ，20a， 且l在x轴，y轴上的截距分别为 2 1 a a ，2a， 由题意知， 12 26 21 a a a ，即 2 2121aa 当10a 时，解得 86 2a 当10a 时，解得4a ，
20、综上所述， 86 2a 或4a . 18已知过点已知过点 A(0，1)且斜率为且斜率为 k 的直线的直线 l 与圆与圆 C：(x2)2(y3)21 交于交于 M，N 两两 点点 (1)求求 k 的取值范围；的取值范围； (2)若若OM ON 12，其中，其中 O 为坐标原点，求为坐标原点，求|MN|. 【答案】【答案】 （1） 47 47 (,) 33 ； （2）2 【解析】【解析】试题分析： （1）由题意可得，直线 l 的斜率存在，用点斜式求得直线 l 的方程， 根据圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值，可得满足条件的 k 的范围 （2）由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=k
21、x+1，根据直线和圆相交的弦长 公式进行求解 试题解析： （1）由题意可得，直线 l 的斜率存在， 设过点 A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0 由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标（2，3） ，半径 R=1 故由 2 23 1 1 1 k k ，解得： 12 4747 , 33 kk 故当 4747 33 k ，过点 A（0，1）的直线与圆 C： 22 231xy相 交于 M，N 两点 （2）设 M 11 ,x y；N 22 ,x y， 由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1，代入圆 C 的方程 22 231xy， 可得 22 14170kxkx ，
22、 1212 22 4 17 , 11 k xxx x kk ， 2 2 12121212 2 1241 111 1 kk y ykxkxk x xk xx k ， 由 2 1212 2 1248 12 1 kk OM ONx xy y k ，解得 k=1， 故直线 l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0圆心 C 在直线 l 上，MN 长即为圆的直径所 以|MN|=2 【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 19 已知： 三棱柱 已知： 三棱柱 111 ABCABC中， 底面是正三中， 底面是正三角形， 侧棱角形， 侧棱 1 BB 面面ABC，D是棱是棱BC 的中点，点的中点，点
23、M在棱在棱 1 BB上，且上，且 1 CMAC （1）求证：）求证： 1 AB平面平面 1 AC D （2）求证：）求证： 1 CMC D 【答案】【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】【解析】 试题分析：（1） 设 1 AC与 1 AC交点为O， 则根据三角形中位线性质得 1 ODAB， 再利用线面平行判定定理得结论（2） 1 BB 由面ABC得 1 B BAD，再由正三角形性 质得ADBC，因此由线面垂直判定定理得AD 平面 11 BCC B，即CMAD，再 结合条件 1 CMAC， 利用线面垂直判定定理得CM 平面 1 AC D， 即得 1 CMC D 试题解析： （1）证明：连接
24、 1 AC， 设 1 AC与 1 AC交点为O，连接OD， 在 1 ACB中， O，D分别为 1 AC，BC中点， 1 ODAB， OD平面 1 AC D， 1 AB 平面 1 AC D， 1 AB平面 1 AC D （2） 1 B B 平面ABC， AD 平面ABC， 1 B BAD， 在正ABC中， D是棱BC中点， ADBC， 1 BCB BB点， BC， 1 B B 平面 11 BCC B， AD 平面 11 BCC B， CM 平面 11 BCC B， CMAD， 又 1 CMAC， 1 ACADA点， 1 AC、AD 平面 1 AC D， CM 平面 1 AC D， 1 C D 平
25、面 1 AC D， 1 CMC D 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 20已知圆已知圆C过两点过两点3,3M ， 1, 5N，且圆心，且圆心C在直线在直线220xy上上 （）求圆）求圆C的标准方程；的标准方程； （）直线）直线l过点过点2,5且与圆且与圆C有两个不同的交点有两个不同的交点A， B，若直线，若直线l的斜率的斜率k大于大于 0，求，求k的取值范围；的取值范围； （）在（）在（）的条件下，是否存在直线）的条件下，是否存在直线
26、l使得弦使得弦AB的垂直平分线过点的垂直平分线过点3, 1P，若，若 存在，求出直线存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由的方程；若不存在，请说明理由 【答案】【答案】 （） （x1）2+y2=25； （） 15 , 8 ； （）x+2y1=0. 【解析】【解析】试题分析： （）圆心 C 是 MN 的垂直平分线与直线 2x-y-2=0 的交点，CM 长 为半径，进而可得圆的方程； （）直线 l 过点（-2，5）且与圆 C 有两个不同的交点，则 C 到 l 的距离小于半径， 进而得到 k 的取值范围； （）求出 AB 的垂直平分线方程，将圆心坐标代入求出斜率，进而可得答案 试题解析： （I
27、）MN 的垂直平分线方程为：x2y1=0 与 2xy2=0 联立解得圆心坐标为 C（1， 0） R2=|CM|2=（31）2+（30）2=25 圆 C 的标准方程为： （x1）2+y2=25 （II）设直线l的方程为：y5=k（x+2）即 kxy+2k+5=0，设 C 到直线 l 的距离为 d， 则 d= 由题意：d5 即：8k215k0 k0 或 k 又因为 k0 k 的取值范围是（，+） （III）设符合条件的直线l存在，则 AB 的垂直平分线方程为：y+1=（x3）即： x+ky+k3=0 弦的垂直平分线过圆心（1，0）k2=0 即 k=2 k=2 故符合条件的直线存在，l 的方程：x+
28、2y1=0. 21如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥PABCD中，中，PA 平面平面ABCD，底面，底面ABCD是直角梯形，是直角梯形， 且且90 ,45 ,2,2,1DABABCCBABPA （1）求证：）求证：BC平面平面PAC； （2）若）若M是是PC的中点，求三棱锥的中点，求三棱锥CMAD的体积的体积 【答案】【答案】 （1）证明见解析（2） 1 12 【解析】【解析】 （1）利用勾股定理证明BCAC，由PA 平面ABCD，可得PABC从 而可证得BC平面:PAC （2）在直角梯形ABCD中，过C作CEAB于点E，则四边形ADCE为矩形， AEDC，ADEC求得CE，计算ACD的面积，根
29、据M到平面ADC的距离 是P到平面ADC距离的一半，求得棱锥的高，代入体积公式计算 【详解】 解： （1）证明：PA 平面ABCD，PABC 在ABC中，2,2,45ABBCABC 依余弦定理有： 222 2( 2)2 22cos452AC ， 2AC 又 222 224ACBCAB，90ACB ，即AC BC 又PAACA，BC平面PAC （2）在直角梯形ABCD中，过C作CEAB于点E， 则四边形ADCE为矩形，AEDC，ADEC 在Rt CEB中，可得 2 cos4521 2 BEBC ， 2 sin4521 2 CEBC ，2 1 1AEABBE 111 1 1 222 ADC SDC
30、 CE ， M是PC的中点，M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半， 111111 () 3232212 C MADMACDACD VVSPA 【点睛】 本题考查了线面垂直的判定， 考查了三棱锥的换底性及棱锥的体积公式， 涉及知识较多， 对学生的推理论证能力有一定的要求，属于中档题 22如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中， 90 ,60ABCACDBACCAD ， PA 平面平面ABCD， 2,1PAAB. (1)设点设点E为为PD的中点，求证：的中点，求证： /CE平面平面PAB； (2)线段线段PD上是否存在一点上是否存在一点N，使得直线，使得直线CN与平面与平面PAC所
31、成的角所成的角的正弦值为的正弦值为 15 5 ？若存在，试确定点？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】【答案】 （1）见解析（2）N为PD中点 【解析】【解析】试题分析： （1）先取AD的中点M，利用三角形中位线性质得/EMPA， 再根据线面平行判定定理得/EM平面PAB.根据计算，利用平几知识得/MCAB， 再根据线面平行判定定理得/MC平面PAB.从而利用面面平行判定定理得平面 /EMC平面PAB.最后根据面面平行性质得/ /EC平面PAB. （2）一般利用空间直 角坐标系研究线面角，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求
32、 出平面法向量， 根据向量数量积求出向量夹角， 最后利用线面角与向量夹角关系列方程， 解出点N坐标，确定其位置. 试题解析：(1)证明 取AD的中点M，连接,EM CM，则/EMPA. 因为EM 平面PAB， PA平面PAB，所以/EM平面PAB. 在Rt ACD中， 60 ,CADCMAM，所以60ACM. 而60BAC，所以/MCAB. 因为MC 平面PAB， AB 平面PAB， 所以/MC平面PAB. 又因为EMMCM， 所以平面/EMC平面PAB. 因为EC 平面EMC， 所以/ /EC平面PAB. （注： （1）问也可建系来证明） (2) 过A作AFAD， 交BC于F， 又PA 平 面ABCD知 以A为 原 点 ， AFADAP、分别为xyz、 、轴建系如图： 则 31 0,0,0 ,0 ,3,1,0 ,0,4,0 ,0,0,2 , 22 ABCDP 设平面 PAC 的法向量, ,nx y z， 由 0 0 n AP n AC 有 20 30 z xy 取 3, 3,0n 设01PNPD，则0,4, 20,4 , 2PN， 3, 1,20,4 , 23,41,22CNCPPN 22 1215 sincos, 5 , 3412212 CN n CN n CNn 1680 , 1 2 线段PD上存在一点N， N为PD中点
