1、数学学科核心素养导向的数学学科核心素养导向的高中数学教材改革高中数学教材改革章建跃（人民教育出版社 课程教材研究所）一、本次课程改革关注的主要问题一、本次课程改革关注的主要问题（一）课程方案和课程标准的变化（一）课程方案和课程标准的变化 为为建立核心素养与课程教学的内在联系，充分建立核心素养与课程教学的内在联系，充分挖掘挖掘各学科课程教各学科课程教学对全面贯彻党的教育方针、落实立德树人根本学对全面贯彻党的教育方针、落实立德树人根本任务任务、发展素质、发展素质教育的教育的独特育人价值独特育人价值，各学科，各学科基于学科本质凝练了本基于学科本质凝练了本学科学科的核心的核心素养素养，明确了学生学习该
2、学科课程后应达成的正确价值，明确了学生学习该学科课程后应达成的正确价值观念观念、必、必备品格和关键备品格和关键能力能力。更新了教学内容。进一步更新了教学内容。进一步精选精选了学科内容，重视以了学科内容，重视以学科大学科大概念概念为为核心，使课程内容核心，使课程内容结构化结构化，以，以主题主题为引领，使课程内容为引领，使课程内容情境化情境化，促进促进学科核心素养的落实。学科核心素养的落实。明确各学科学业评价标准明确各学科学业评价标准 各学科明确学生完成本学科学习任务后，学科核心素养应该达到各学科明确学生完成本学科学习任务后，学科核心素养应该达到的水平，各水平的关键表现构成评价学业质量的标准。的水
3、平，各水平的关键表现构成评价学业质量的标准。引导教学更加关注育人目的，更加注重培养学生核心素养，更加引导教学更加关注育人目的，更加注重培养学生核心素养，更加强调提高学生综合运用知识解决实际问题的能力强调提高学生综合运用知识解决实际问题的能力；帮助教师和学生把握教与学的深度和广度，为阶段性评价、学业帮助教师和学生把握教与学的深度和广度，为阶段性评价、学业水平考试和升学考试命题提供重要依据，水平考试和升学考试命题提供重要依据，促进教、学、考有机衔促进教、学、考有机衔接，形成育人合力接，形成育人合力。课程标准的教学与评价建议课程标准的教学与评价建议 在教学活动中，教师应在教学活动中，教师应准确把握课
4、程目标、课程内容、学业质量准确把握课程目标、课程内容、学业质量的要求，合理设计教学目标，并通过相应的教学实施，在学生掌的要求，合理设计教学目标，并通过相应的教学实施，在学生掌握知识技能的同时，促进数学学科核心素养的提升及水平的达成握知识技能的同时，促进数学学科核心素养的提升及水平的达成。在教学与评价中，要关注学生对具体内容的掌握情况，更要关注在教学与评价中，要关注学生对具体内容的掌握情况，更要关注学生数学学科核心素养水平的表现；要关注数学学科核心素养各学生数学学科核心素养水平的表现；要关注数学学科核心素养各要素的不同特征及要求，更要关注数学学科核心素养的要素的不同特征及要求，更要关注数学学科核
5、心素养的综合性综合性与与整体性整体性。教师应结合相应的教学内容，落实。教师应结合相应的教学内容，落实“四基四基”，培养，培养“四四能能”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展，达到相应水平促进学生数学学科核心素养的形成和发展，达到相应水平的要求，部分学生可以达到更高水平的要求。的要求，部分学生可以达到更高水平的要求。（二）学科知识整体架构图（二）学科知识整体架构图 哲学思考哲学思考 学科学科 应用广泛、统摄性强应用广泛、统摄性强 一般观念一般观念 能揭示学科本质，形成方法论能揭示学科本质，形成方法论 学科视角学科视角 从四基、四能通向核心素养的桥梁从四基、四能通向核心素养的桥梁 核心概念与思想
6、方法核心概念与思想方法 形成数学知识的自我生长能力形成数学知识的自我生长能力 统摄性较低的统摄性较低的 发展数学学科核心素养的载体发展数学学科核心素养的载体 基本事实、概念、定理基本事实、概念、定理（三）当前的教学不能适应这些要求（三）当前的教学不能适应这些要求 长期以来，在长期以来，在考试考试评价评价“唯分数唯分数”指挥棒下的数学教学，以指挥棒下的数学教学，以考试考试分数为目标，分数为目标，将数学内容碎片化为知识点，采用将数学内容碎片化为知识点，采用“灌输记忆灌输记忆”的方式强加给学生，再通过刷题提高解题技巧的方式强加给学生，再通过刷题提高解题技巧“秒杀秒杀”考题，考题，可可以提高分数，但不
7、利于学生获得以提高分数，但不利于学生获得“四基四基”、提升、提升“四能四能”，不利，不利于发展数学学科核心素养于发展数学学科核心素养。（四）教师的专业水平和教学能力还不能适应这些要求“现在的教师缺乏两样东西，一是独立思考，二是学科知识，本现在的教师缺乏两样东西，一是独立思考，二是学科知识，本领不扎实，都是领不扎实，都是一课一练一课一练培养出来的。基础教育与科学研究培养出来的。基础教育与科学研究不是一回事，基础教育是整体的，不是分支的，它更重要的是不是一回事，基础教育是整体的，不是分支的，它更重要的是基础基础，基础是要整体构架的，我们的教师最缺少对自己所教基础是要整体构架的，我们的教师最缺少对自
8、己所教学科知识的整体构架，这样他们就兜不转。学科知识的整体构架，这样他们就兜不转。”余慧娟余慧娟 任国平任国平.办教育要明晰办教育要明晰“根在哪里，走向何方根在哪里，走向何方”访于漪老师访于漪老师J.J.人民教育：人民教育：20182018（2424），），p22p22二、数学学科核心素养导向的教材设计关二、数学学科核心素养导向的教材设计关注的几个主要问题注的几个主要问题（一）明确基本套路，增强教学的整体性（一）明确基本套路，增强教学的整体性1.函数的基本套路函数的基本套路 集合（概念、关系、运算）集合（概念、关系、运算）函数的一般概念与基本性质函数的一般概念与基本性质基本初等函数；基本初等函
9、数；函数的一般概念：背景函数的一般概念：背景概念概念性质性质应用；应用；基本初等函数：背景基本初等函数：背景概念概念图象与性质图象与性质应用；应用；导数：物理背景、几何背景导数：物理背景、几何背景概念概念运算及运算法则运算及运算法则应应用用。2.几何的基本套路几何的基本套路 背景背景概念概念判定、性质判定、性质结构（联系）结构（联系）应用。应用。3.向量向量的基本的基本套路套路 背景背景概念概念运算及其性质（运算的几何性质、运算律）运算及其性质（运算的几何性质、运算律）联系（向量基本定理及坐标表示）联系（向量基本定理及坐标表示）应用。应用。4.概率概率的基本的基本路径路径 预备知识：样本点、样
10、本空间，随机事件，事件的关系和运算预备知识：样本点、样本空间，随机事件，事件的关系和运算 随机现象随机现象概率的定义及表示概率的定义及表示概率的性质、运算法则概率的性质、运算法则古古典概型、频率的稳定性等典概型、频率的稳定性等概率的计算、随机模拟试验概率的计算、随机模拟试验 归纳以上各条主线的研究路径，其基本要点都是：归纳以上各条主线的研究路径，其基本要点都是：背景背景（一类（一类事物的实例事物的实例）概念（研究对象）概念（研究对象）性质（要素、性质（要素、相关要素之间的关系、变化规律等）相关要素之间的关系、变化规律等）结构（相关知识的联结构（相关知识的联系）系）应用应用。（二）加强一般观念的
11、指导发展理性思维（二）加强一般观念的指导发展理性思维 所谓一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提所谓一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题
12、等都具有指路明灯的作用灯的作用。能能自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，是学生学会学自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，是学生学会学习的标志，习的标志，是是实现实现从从“知其然知其然”到到“知其所以然知其所以然”再到再到“知何由知何由以知其所以然以知其所以然”跨越跨越的的表现表现，也是理性思维得到良好发展的表现。也是理性思维得到良好发展的表现。例例“运算运算”是代数学的一般观念是代数学的一般观念“代数学的根源在于代数运算代数学的根源在于代数运算”，因此，因此“运算运算”是一般观念。数是一般观念。数系扩充中的核心问题就是为了解决加法、乘法和乘方逆运算的需系扩充中的核心问题就是为了解决
13、加法、乘法和乘方逆运算的需要。要。“引进一种新的数，就要研究关于它的运算；定义一种运算，引进一种新的数，就要研究关于它的运算；定义一种运算，就要研究运算律就要研究运算律”是代数的核心思想。同时，运算也是解决代数是代数的核心思想。同时，运算也是解决代数问题的基本方法，我们可以通过运算发现和提出问题，通过运算问题的基本方法，我们可以通过运算发现和提出问题，通过运算发现数据中的规律，通过运算归纳出代数定理发现数据中的规律，通过运算归纳出代数定理等式的性质与不等式的性质等式的性质与不等式的性质通过运算研究函数通过运算研究函数指数函数概念的抽象：指数函数概念的抽象：探究：探究：我们我们知道，年增加量是对
14、相邻两年的游客人次作减法得到知道，年增加量是对相邻两年的游客人次作减法得到的的。能否能否通过对通过对B地景区每年的游客人次作其他运算发现游客人地景区每年的游客人次作其他运算发现游客人次的变化规律呢？次的变化规律呢？通过计算年增长率得出规律后，教材在边空中给出了一个总结，通过计算年增长率得出规律后，教材在边空中给出了一个总结，明示了运算在发现规律中的重要作用明示了运算在发现规律中的重要作用：作：作减法可以得到游客人次减法可以得到游客人次的年增加量，作除法可以得到游客人次的年的年增加量，作除法可以得到游客人次的年增长率增长率。增加增加量、增量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。长率是刻画事
15、物变化规律的两个很重要的量。通过运算发现和证明函数性质通过运算发现和证明函数性质：与初中通过图象直观定性描述函数性质比较，高中阶段要在图象与初中通过图象直观定性描述函数性质比较，高中阶段要在图象直观的基础上，通过代数运算研究函数性质。在指数函数的研究直观的基础上，通过代数运算研究函数性质。在指数函数的研究中，中，要要特别注意引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再特别注意引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数函数的运算法则和变化规律；到实数指数幂的拓展过程，掌握指数函数的运算法则和变化规律；而具体函数变化规律的研究则更要借助运算而具体函数变化规律的研究则更
16、要借助运算来来实现实现。以以“运算运算”贯穿贯穿“数列数列”一章的始终一章的始终 在求数列通项公式的过程中，教材在显著位置提示学生：在求数列通项公式的过程中，教材在显著位置提示学生：“当不当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律如逐次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，对差或律如逐次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，对差或商加以观察商加以观察”；通过通过“思考思考”栏目，引导学生通过运算探究等差数列的取值规律：栏目，引导学生通过运算探究等差数列的取值规律：“在代数的学习中，我们总是通过运算来发现规律。例如，
17、在指在代数的学习中，我们总是通过运算来发现规律。例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变两地旅游人数的变化规律。类似的，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？化规律。类似的，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？”在等比数列节引言中提出：在等比数列节引言中提出：“等差数列的特征是等差数列的特征是从第从第2项起，项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数每一项与它的前一项的差等于同一个常数，类比等差数列的研，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得
18、研究的？得研究的？”在分析等比数列的具体实例后，通过在分析等比数列的具体实例后，通过“探究：类比探究：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？值规律？”引导学生抽象等比数列概念。引导学生抽象等比数列概念。（三）加强获得数学对象的过程发展数学（三）加强获得数学对象的过程发展数学抽象抽象、直观想象素养、直观想象素养 抽象研究对象是数学研究的首要任务，是把握数学对象的第一步。抽抽象研究对象是数学研究的首要任务，是把握数学对象的第一步。抽象研究对象的过程就是学生获得数学核心概念的过程，对数学学习具象研究对象的过程就是学
19、生获得数学核心概念的过程，对数学学习具有奠基性作用，也是发展学生数学抽象素养的主要契机有奠基性作用，也是发展学生数学抽象素养的主要契机。抽象抽象过程不充分，数学对象不明确过程不充分，数学对象不明确，后续，后续研究就无法展开研究就无法展开。采取采取“一个定义，三项注意一个定义，三项注意”的的“告诉式告诉式”教学，致使学生对将要研教学，致使学生对将要研究的对象不甚了了究的对象不甚了了，是，是导致学生数学学习困难的导致学生数学学习困难的主因之一。主因之一。获得研究对象的过程就是使学生经历获得研究对象的过程就是使学生经历“从事实到概念从事实到概念”的数学化过程，的数学化过程，即通过数学抽象而明确概念的
20、内涵、要素，并用数学语言予以表征即通过数学抽象而明确概念的内涵、要素，并用数学语言予以表征（下定义），再通过分类（划分）而明确概念的外延。显然，这对发（下定义），再通过分类（划分）而明确概念的外延。显然，这对发展学生的数学素养意义展学生的数学素养意义重大重大。例例 几何对象的抽象过程几何对象的抽象过程 抽象一个（类）几何图形的逻辑顺序是：定义抽象一个（类）几何图形的逻辑顺序是：定义表示表示分类分类。定义定义给出了几何图形本质特征的确切而简要的陈述。一个几何图形的给出了几何图形本质特征的确切而简要的陈述。一个几何图形的本质特征是指其组成要素的形状及位置关系（如相交、平行、垂直本质特征是指其组成要
21、素的形状及位置关系（如相交、平行、垂直等）。以此为指导思想，通过对典型实例的分析、归纳得出共性，再等）。以此为指导思想，通过对典型实例的分析、归纳得出共性，再抽象、概括出几何图形的组成要素的形状及位置关系，然后用严谨的抽象、概括出几何图形的组成要素的形状及位置关系，然后用严谨的数学术语作出表述，就得到了几何图形的定义数学术语作出表述，就得到了几何图形的定义。教学教学中，一定要让学生在明确中，一定要让学生在明确“几何图形的要素、要素之间的关系各几何图形的要素、要素之间的关系各指什么指什么”的基础上，对的基础上，对“这类图形的组成要素是什么这类图形的组成要素是什么”、“要素的形要素的形状如何状如何
22、”、“要素之间有什么位置关系要素之间有什么位置关系”等展开分析、归纳、类比的等展开分析、归纳、类比的思维活动，这样才能做到有的放矢。思维活动，这样才能做到有的放矢。第二，几何对象的表示与众不同，有符号语言、文字语言和图形第二，几何对象的表示与众不同，有符号语言、文字语言和图形语言等多种方式。语言等多种方式。几何教学中，首先要重视作图，在一张纸（二维平面）上画立体几何教学中，首先要重视作图，在一张纸（二维平面）上画立体图形就是在培养学生的空间想象力。图形就是在培养学生的空间想象力。符号语言的使用，使数学表达具有简洁性、明确性、抽象性、逻符号语言的使用，使数学表达具有简洁性、明确性、抽象性、逻辑性
23、等融为一体的特点，可以极大地缩减数学思维过程，减轻大辑性等融为一体的特点，可以极大地缩减数学思维过程，减轻大脑的负担，更有利于我们认识和表达数学对象的本质。所以，在脑的负担，更有利于我们认识和表达数学对象的本质。所以，在抽象研究对象阶段，要重视数学对象的符号表示。抽象研究对象阶段，要重视数学对象的符号表示。第三，以要素的特征与关系为标准对几何图形进行分类。第三，以要素的特征与关系为标准对几何图形进行分类。分类是理解数学对象的重要一环。分类是理解数学对象的重要一环。一个数学对象的具体例子不胜枚举，按某种特征对它们分类，就一个数学对象的具体例子不胜枚举，按某种特征对它们分类，就使这一对象所包含的事
24、物条理化、结构化，并可由此确定一种分使这一对象所包含的事物条理化、结构化，并可由此确定一种分类研究的路径，使后续研究顺序展开。类研究的路径，使后续研究顺序展开。分类就是把研究对象归入一定的系统和级别，形成有内在层级关分类就是把研究对象归入一定的系统和级别，形成有内在层级关系的系的“子类子类”系统结构，从而就进一步明确了数学对象所含事物系统结构，从而就进一步明确了数学对象所含事物之间的逻辑关系，由此可以极大地增强之间的逻辑关系，由此可以极大地增强“子类特征子类特征”的可预见性，的可预见性，从而也就有利于我们发现数学对象的性质。从而也就有利于我们发现数学对象的性质。（四）（四）在探究数学对象性质的
25、过程中发展在探究数学对象性质的过程中发展逻辑推理、数学运算素养逻辑推理、数学运算素养1.数学性质指什么数学性质指什么 探究一个数学对象的性质，一方面是为了更深入地认识这个对象，探究一个数学对象的性质，一方面是为了更深入地认识这个对象，另一方面是为了能更好地解决与其相关的数学与现实问题。这里，另一方面是为了能更好地解决与其相关的数学与现实问题。这里，首先要清楚数学性质的表现方式，明确首先要清楚数学性质的表现方式，明确“性质性质”所要研究的问题所要研究的问题是什么，这样才能使探究活动有的放矢、富有成效，使性质的发是什么，这样才能使探究活动有的放矢、富有成效，使性质的发现成为必然而不是现成为必然而不
26、是“撞大运撞大运”。函数性质函数性质“变化中的规律性变化中的规律性”、“变化中的不变性变化中的不变性”是它们的共性，这是是它们的共性，这是函数性质的基本表现形式。函数性质的基本表现形式。函数性质的研究，更加关键的是对刻画变量关系、变化规律的数函数性质的研究，更加关键的是对刻画变量关系、变化规律的数学方法的研究，即通过直角坐标系建立函数的不同表示之间的联学方法的研究，即通过直角坐标系建立函数的不同表示之间的联系，通过数形结合（代数运算和图像直观相结合）的方法展开研系，通过数形结合（代数运算和图像直观相结合）的方法展开研究，最终结果是用精确的代数语言、微积分的语言表达。事实上，究，最终结果是用精确
27、的代数语言、微积分的语言表达。事实上，要实现对函数性质的精确研究，必须使用导数工具，通过极限运要实现对函数性质的精确研究，必须使用导数工具，通过极限运算才能完成。算才能完成。几何性质几何性质 几何学是研究几何图形的形状、大小和位置关系的科学。由此，几何学是研究几何图形的形状、大小和位置关系的科学。由此，图形的形状特征、大小度量及位置关系就是几何性质的基本问题。图形的形状特征、大小度量及位置关系就是几何性质的基本问题。几何性质所研究的主题是与相应的几何对象相关的几何元素之间几何性质所研究的主题是与相应的几何对象相关的几何元素之间的相互关系的相互关系位置关系、（定性或定量的）大小关系。位置关系、（
28、定性或定量的）大小关系。高中阶段的几何，重点在以向量、直角坐标系为工具，用代数方高中阶段的几何，重点在以向量、直角坐标系为工具，用代数方法研究几何图形的性质。例如，在直角坐标系中，我们利用确定法研究几何图形的性质。例如，在直角坐标系中，我们利用确定椭圆的几何要素（焦距和长轴），建立椭圆的方程，再通过方程椭圆的几何要素（焦距和长轴），建立椭圆的方程，再通过方程研究其性质。因此，熟悉代数工具的性质又是前提。研究其性质。因此，熟悉代数工具的性质又是前提。代数性质代数性质 代数性质比几何性质要庞杂得多。我们知道，代数的研究对象是代数性质比几何性质要庞杂得多。我们知道，代数的研究对象是数量关系。数量关系
29、。“代数学的根源在于代数运算，也即加、减、乘、除、代数学的根源在于代数运算，也即加、减、乘、除、乘方、开方等等乘方、开方等等”，因此代数性质也是与运算紧密关联的。，因此代数性质也是与运算紧密关联的。代数性质总是与运算相关，通过归纳发现和证明代数性质总是与运算相关，通过归纳发现和证明“运算中的规律运算中的规律性，运算中的不变性性，运算中的不变性”是代数性质的研究主题。是代数性质的研究主题。概率的性质概率的性质（五）加强综合实践活动提升数学建模、数据（五）加强综合实践活动提升数学建模、数据分析素养分析素养 新课程特别强调了学生综合实践能力的培养，由此来推动整个育新课程特别强调了学生综合实践能力的培
30、养，由此来推动整个育人模式的改革。人模式的改革。高中专门设置数学建模活动和数学探究活动主线，目的就是加强高中专门设置数学建模活动和数学探究活动主线，目的就是加强综合实践活动。综合实践活动。义务教育阶段数学课标修订中，专门要求增加综合实践活动的课义务教育阶段数学课标修订中，专门要求增加综合实践活动的课程内容设置。程内容设置。中学中学数学课程中的数学对象一般都对应着数学课程中的数学对象一般都对应着明确的现实背景明确的现实背景 线性函数、等差数列与均匀变化现象；线性函数、等差数列与均匀变化现象；二次函数与匀加速变化现象；二次函数与匀加速变化现象；反比例函数与反比例关系；反比例函数与反比例关系；指数函
31、数、等比数列与固定增长率的变化现象（更精确的描述是：指数函数、等比数列与固定增长率的变化现象（更精确的描述是：指数函数刻画了事物的量在每一时刻的变化率与此刻的量的数值指数函数刻画了事物的量在每一时刻的变化率与此刻的量的数值成比例的规律）；成比例的规律）；对数函数与对数函数与“对数增长对数增长”现象（这个描述有点自我循环的味道，现象（这个描述有点自我循环的味道，但明确了指数函数所刻画的现实背景，对数函数其实也就随之确但明确了指数函数所刻画的现实背景，对数函数其实也就随之确定了，因为它们互为反函数）；定了，因为它们互为反函数）；三角函数与周期运动现象；三角函数与周期运动现象；导数与瞬时变化率问题；
32、导数与瞬时变化率问题；向量与物理学中的矢量，向量加法与位移的合成、力的合成，向向量与物理学中的矢量，向量加法与位移的合成、力的合成，向量减法与物体受力平衡，向量的数量积与物体受力做功等；量减法与物体受力平衡，向量的数量积与物体受力做功等；圆锥曲线与行星运动、抛物运动、光学性质等；圆锥曲线与行星运动、抛物运动、光学性质等；概率与随机现象，二项分布与产品质检，正态分布与测量误差等；概率与随机现象，二项分布与产品质检，正态分布与测量误差等；统计与数据分析，独立性检验、回归分析与现实问题等；统计与数据分析，独立性检验、回归分析与现实问题等；（六）（六）创设情境提出问题引导学生开展系创设情境提出问题引导
33、学生开展系列化数学学习活动列化数学学习活动发展理性思维科学精神发展理性思维科学精神“情境与问题情境与问题”专指教材或教学中创设的教学情境及其相伴相随专指教材或教学中创设的教学情境及其相伴相随的数学问题。无论是教材还是教学，情境与问题的设计都具有关的数学问题。无论是教材还是教学，情境与问题的设计都具有关键的意义，如何提高教学情境的质量，使学生能够在情境的引导键的意义，如何提高教学情境的质量，使学生能够在情境的引导下发现和提出问题，是一个值得下大力气研究的问题。下发现和提出问题，是一个值得下大力气研究的问题。衡量情境与问题质量的衡量情境与问题质量的八个八个指标指标（1）目的明确目的明确，围绕当前的
34、教学任务，能将学生的注意力吸引到，围绕当前的教学任务，能将学生的注意力吸引到教学任务上来；教学任务上来；（2）反映本质反映本质，情境中蕴含着新知识的要素，反映所学新知识的，情境中蕴含着新知识的要素，反映所学新知识的本质，能引导学生从情境中提出数学问题、发现数学规律，能有本质，能引导学生从情境中提出数学问题、发现数学规律，能有效促进学生领悟知识所蕴含的数学思想和解决问题的方法；效促进学生领悟知识所蕴含的数学思想和解决问题的方法；（3）系统连贯系统连贯，以数学知识的发生发展过程为基本线索，形成一，以数学知识的发生发展过程为基本线索，形成一个循序渐进、具有内在逻辑关联的个循序渐进、具有内在逻辑关联的
35、“情境与问题链情境与问题链”，其中，第，其中，第一个问题要有统摄性、贯通性，起到先行组织者的作用，随后的一个问题要有统摄性、贯通性，起到先行组织者的作用，随后的一系列问题要能引导学生的思维逐步走向所学知识的本质；一系列问题要能引导学生的思维逐步走向所学知识的本质；（4）自然而然自然而然，从知识的发生发展过程和相互联系中提出问题，从知识的发生发展过程和相互联系中提出问题，使问题具有逻辑的必然性；使问题具有逻辑的必然性；（5）难易适度难易适度，与学生认知水平相适应，在学生思维最近发展区，与学生认知水平相适应，在学生思维最近发展区内提出问题，对学生的思维形成适度的挑战性，为学生创造独立内提出问题，对
36、学生的思维形成适度的挑战性，为学生创造独立思考空间，满足思考空间，满足“导而弗牵，强而弗抑，开而弗达导而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的要求，让的要求，让学生自己学生自己“捅破窗户纸捅破窗户纸”；（6）简明易懂简明易懂，问题清晰、明确且有启发性，语言准确、无歧义，问题清晰、明确且有启发性，语言准确、无歧义且有条理性，学生不会因为情境与问题的字面意思难懂而发生理且有条理性，学生不会因为情境与问题的字面意思难懂而发生理解困难解困难；（7）恰时恰点恰时恰点，与学生的学习进程相协调，准确把握提问的时机，与学生的学习进程相协调，准确把握提问的时机，“想学生所想，问学生所问想学生所想，问学生所问”；（8）启迪
37、创新启迪创新，“看过问题三百个，不会解题也会问看过问题三百个，不会解题也会问”，使学生，使学生逐渐学会自主提问。逐渐学会自主提问。例例 向量的数量积教学设计中的系列化情境与向量的数量积教学设计中的系列化情境与问题问题 问题问题1 前面学习了向量的加、减和数乘运算，我们把这些运算统前面学习了向量的加、减和数乘运算，我们把这些运算统称为向量的线性运算。你能总结一下我们是如何研究这些运算的称为向量的线性运算。你能总结一下我们是如何研究这些运算的吗？吗？追问追问1：类比数的运算，你认为接下来还可以研究向量的什么运：类比数的运算，你认为接下来还可以研究向量的什么运算？算？追问追问2：如果向量能够做乘法运
38、算，那么你认为应按怎样的路径：如果向量能够做乘法运算，那么你认为应按怎样的路径研究这种运算？研究这种运算？问题问题2 向量及其线性运算有明确的物理背景，在你学过的物理知向量及其线性运算有明确的物理背景，在你学过的物理知识中，你认为哪一个概念可以作为识中，你认为哪一个概念可以作为“向量乘法向量乘法”的物理背景？的物理背景？追问追问1：你能分析一下功的定义中所涉及的要素吗？：你能分析一下功的定义中所涉及的要素吗？追问追问2：受此启发，你觉得要定义向量的乘法，我们需要先定义：受此启发，你觉得要定义向量的乘法，我们需要先定义什么？什么？教师引导学生讨论，得出向量夹角的概念教师引导学生讨论，得出向量夹角
39、的概念后，提出后，提出 问题问题3 有了上述准备，你能给出向量乘法的定义吗？有了上述准备，你能给出向量乘法的定义吗？图1图2 问题问题5 接下来我们要研究数量积运算的性质。根据已有的研究经验，接下来我们要研究数量积运算的性质。根据已有的研究经验，你认为可以从哪些角度研究数量积的性质？你认为可以从哪些角度研究数量积的性质？追问追问1：因为向量既是几何对象也是代数对象，所以向量运算的性质：因为向量既是几何对象也是代数对象，所以向量运算的性质一定既有几何性质也有代数性质。你认为应该怎样入手研究几何性质？一定既有几何性质也有代数性质。你认为应该怎样入手研究几何性质？在学生思考的基础上，提出如下在学生思
40、考的基础上，提出如下“探究探究”任务：任务：从投影向量的探究中我们看到，两个非零向量从投影向量的探究中我们看到，两个非零向量a与与b相互平行或垂直时相互平行或垂直时的投影具有特殊性。这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？的投影具有特殊性。这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？追问追问2：回顾上面研究性质的过程，你能说说研究一种向量运算的几：回顾上面研究性质的过程，你能说说研究一种向量运算的几何性质时所采用的思想方法吗？何性质时所采用的思想方法吗？问题问题6前面从特殊向量及两个向量的特殊几何关系入手研究了数前面从特殊向量及两个向量的特殊几何关系入手研究了数量积的性质，你认为从代数角度应研究数量积的什
41、么性质？量积的性质，你认为从代数角度应研究数量积的什么性质？追问：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你追问：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？问题问题7（课堂小结课堂小结）：（1）你能归纳一下本节课我们是如何研究向量的数量积运算的吗？）你能归纳一下本节课我们是如何研究向量的数量积运算的吗？（2）你认为定义向量的数量积时，应注意哪些问题？）你认为定义向量的数量积时，应注意哪些问题？（3）你认为我们可以利用投影向量解决怎样的问题？）你认为我们可以利用投影向量解决怎样的问题？（4）向量数
42、量积的性质要研究的问题是什么？我们是如何发现这）向量数量积的性质要研究的问题是什么？我们是如何发现这些性质的些性质的？三、基于数学整体性的单元三、基于数学整体性的单元-课时教学设课时教学设计计（一）数学学科核心素养的阶段性、连续性、整体性（一）数学学科核心素养的阶段性、连续性、整体性 学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的，具有学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的，具有阶段性、阶段性、连续性、整合性连续性、整合性等特点。教师应理解不同数学学科核心素养水平等特点。教师应理解不同数学学科核心素养水平的具体要求，不仅关注每一节课的教学目标，更要关注主题、单的具体要求，不仅关注每一节课的
43、教学目标，更要关注主题、单元的教学目标元的教学目标。所以，。所以，整体把握教学内容整体把握教学内容对对促进数学学科核心素促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展养连续性和阶段性发展具有重要意义。这就是提倡具有重要意义。这就是提倡单元整体单元整体设计设计教学的理由。教学的理由。防止碎片化教学现象的延续防止碎片化教学现象的延续 老师的困惑：单元设计会出现课的容量过大问题，知识不巩固、老师的困惑：单元设计会出现课的容量过大问题，知识不巩固、解题能力不过关。解题能力不过关。受应试的困扰，大家习惯于受应试的困扰，大家习惯于“当堂巩固当堂巩固”，学一个知识点就要进，学一个知识点就要进行大量巩固性练习。这样的
44、教学，结果必然是：知识碎片化，而行大量巩固性练习。这样的教学，结果必然是：知识碎片化，而孤立的、缺乏知识系统性的知识点训练也导致了训练效果不佳，孤立的、缺乏知识系统性的知识点训练也导致了训练效果不佳，学生综合运用知识的能力不强。学生综合运用知识的能力不强。（二）对数学的整体性的认识（二）对数学的整体性的认识1.同一主题内容中体现的数学整体性同一主题内容中体现的数学整体性主要包括一个内容的不同认识层次、不同角度的认识之间内在的主要包括一个内容的不同认识层次、不同角度的认识之间内在的一致性、关联性，以及认识不同方面内容所采用的类似过程与思一致性、关联性，以及认识不同方面内容所采用的类似过程与思想方
45、法。例如，想方法。例如，“变量说变量说”、“集合与对应说集合与对应说”、图像所呈现的、图像所呈现的自变量与因变量之间的对应关系（依赖关系），它们从不同角度自变量与因变量之间的对应关系（依赖关系），它们从不同角度描述了函数概念，具有内在的一致性，由此构成了函数的内涵与描述了函数概念，具有内在的一致性，由此构成了函数的内涵与外延的整体性；对各种函数性质的认识，具有类似的主题、过程外延的整体性；对各种函数性质的认识，具有类似的主题、过程与思想方法，与思想方法，“变化中的规律性、不变性变化中的规律性、不变性”就是它们的共性。就是它们的共性。2.整合具有内在联系的不同内容所体现的整合具有内在联系的不同内
46、容所体现的数学整体性数学整体性 例如例如一元一次方程、不等式与一次函数，一元一次方程、不等式与一次函数，一元二次方程、不等式一元二次方程、不等式与与二次二次函数中，以函数为主线函数中，以函数为主线，分别，分别把三者把三者“编织编织”成一个整体，成一个整体，把方程、不等式看成函数的某种（类）特定状态下特性；又如，把方程、不等式看成函数的某种（类）特定状态下特性；又如，等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，其实是等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，其实是同一种数量关系分别在离散和连续下的两种状态。同一种数量关系分别在离散和连续下的两种状态。3.不同领域之间的融合所体现的整
47、体性不同领域之间的融合所体现的整体性 主要是几何与代数之间的融合，体现了主要是几何与代数之间的融合，体现了不同数学思想与方法之间不同数学思想与方法之间相互融合，形成具有统一性、内在一致性的数学一般观念，这是相互融合，形成具有统一性、内在一致性的数学一般观念，这是在最高层面上体现的数学整体性，其统摄性最强、适用性最广。在最高层面上体现的数学整体性，其统摄性最强、适用性最广。几何直观与代数运算的融合，形成解析几何、向量代数、向量几几何直观与代数运算的融合，形成解析几何、向量代数、向量几何等具有综合性的新学科与新思想，其结果是在更高层次上体现何等具有综合性的新学科与新思想，其结果是在更高层次上体现了
48、数学的整体性。了数学的整体性。（三）单元整体设计追求什么？（三）单元整体设计追求什么？数学的整体性数学的整体性 逻辑的连贯性逻辑的连贯性 思想的一致性思想的一致性 方法的普适性方法的普适性 思维的系统性思维的系统性单元单元-课时教学设计的要素课时教学设计的要素 研究对象；研究对象；逻辑连贯的学习内容；逻辑连贯的学习内容；连续的、环环相扣的问题链；连续的、环环相扣的问题链；教学过程：系列化数学活动，教学过程：系列化数学活动，基于情境、问题导向的互动式、启基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式发式、探究式、体验式；结果诉求：结果诉求：核心知识核心知识、思想方法、思维、思想方法、思维能力
49、能力、问题解决能力；注、问题解决能力；注重学习结果的可迁移性，举一反三、触类旁通。重学习结果的可迁移性，举一反三、触类旁通。四、单元四、单元-课时教学设计框架课时教学设计框架第第n单元（单元（k课时）课时）一、单元内容及其解析（含单元教学重点）一、单元内容及其解析（含单元教学重点）二、单元目标及其解析二、单元目标及其解析三、单元教学问题诊断（含单元教学难点）三、单元教学问题诊断（含单元教学难点）四、单元教学支持条件四、单元教学支持条件第第1课时课时第第k课时课时1.课时教学内容课时教学内容2.课时教学目标课时教学目标3.课时重点、难点课时重点、难点4.教学过程设计教学过程设计 课时教学设计前先
50、进行单元教学设计，对本单元内容及其蕴含的课时教学设计前先进行单元教学设计，对本单元内容及其蕴含的数学思想和方法、本单元着重培养的数学学科核心素养、本单元数学思想和方法、本单元着重培养的数学学科核心素养、本单元的主要学习难点等作出全面分析，并将课标规定的本单元内容按的主要学习难点等作出全面分析，并将课标规定的本单元内容按知识的发生发展过程、学生的认知过程（从概念、原理等的学习知识的发生发展过程、学生的认知过程（从概念、原理等的学习到练习再到目标检测等）分解到课时，同时将相应的到练习再到目标检测等）分解到课时，同时将相应的“内容要求内容要求”（即单元目标）分解为课时目标（即单元目标）分解为课时目标
