1、第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质【自主预习自主预习】1.1.两个实数两个实数a,ba,b的大小关系的大小关系a-b0 a-b0 a-b=0 a-b=0 a-b0 a-bb:ab_._.(2)(2)传递性传递性:ab,bc:ab,bc_._.(3)(3)可加性可加性:_:_a+cb+c.a+cb+c.babcacabab(4)(4)可乘性可乘性:如果如果ab,c0,ab,c0,那么那么_;_;如果如果ab,cb,cb0,ab0,那么那么a an n_b_bn n(nN,n2).(nN,n2).(6)(6)开方开方:如果如果ab0,ab0,那么那么 _ (nN,n2)._ (
2、nN,n2).acbcacbcacbcac nanb【即时小测即时小测】1.1.若若ab0,ab0,则下列结论不正确的是则下列结论不正确的是()A.aA.a2 2bb2 2B.abaB.aba2 2【解析解析】选选A.A.因为因为ab0,ab0,所以所以0-b-a,0-b2x(xR).+32x(xR).(2)a(2)a5 5+b+b5 5aa3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3(a,bR).(a,bR).(3)a(3)a2 2+b+b2 22(a-b-1).2(a-b-1).其中正确的个数其中正确的个数()A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析解析】选选C.C.因为因为
3、x x2 2+3-2x=(x-1)+3-2x=(x-1)2 2+20,+20,所以所以(1)(1)正确正确;a;a5 5+b+b5 5-(a-(a3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3)=(a)=(a2 2-b-b2 2)(a)(a3 3-b-b3 3)=(a-b)=(a-b)2 2(a+b)(a(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)正负不确定正负不确定,所以所以(2)(2)不正确不正确;a;a2 2+b+b2 2-2(a-b-1)=(a-1)-2(a-b-1)=(a-1)2 2+(b+1)+(b+1)2 20.0.所以所以(3)(3)正确正确.【知识探究知识探究】探究点探究点
4、不等式的基本性质不等式的基本性质1.1.若若ab,cd,ab,cd,那么那么a-cb-da-cb-d吗吗?提示提示:不一定成立不一定成立,同向不等式具有可加性同向不等式具有可加性,但不具有可但不具有可减性减性.如如21,51,21,51,但但2-51-12-51-1不成立不成立.2.2.若若ab,cd,ab,cd,一定有一定有acbdacbd吗吗?提示提示:不一定不一定,如如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立时就不成立.【归纳总结归纳总结】1.1.符号符号“”和和“”的含义的含义“”与与“”,即推出关系和等价关系即推出关系和等价关系,或者说或
5、者说“不不可逆关系可逆关系”与与“可逆关系可逆关系”,这要求必须熟记和区别不这要求必须熟记和区别不同性质的条件同性质的条件.2.2.性质性质(3)(3)的作用的作用它是移项的依据它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后不等式中任何一项改变符号后,可以可以把它从一边移到另一边把它从一边移到另一边.即即a+bca+bcac-b.ac-b.性质性质(3)(3)是可是可逆的逆的,即即ababa+cb+c.a+cb+c.3.3.不等式的单向性和双向性不等式的单向性和双向性性质性质(1)(1)和和(3)(3)是双向的是双向的,其余的在一般情况下是不可逆其余的在一般情况下是不可逆的的.4.4.注意不等式成
6、立的前提条件注意不等式成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件不可强化或弱化成立的条件.要克服要克服“想当然想当然”“”“显然显然成立成立”的思维定式的思维定式.如传递性是有条件的如传递性是有条件的;可乘性中可乘性中c c的的正负正负,乘方、开方性质中的乘方、开方性质中的“正数正数”及及“nN,nN,且且n2”n2”都需要注意都需要注意.类型一类型一作差法比较大小作差法比较大小【典例典例】设设mn,x=mmn,x=m4 4-m-m3 3n,y=nn,y=n3 3m-nm-n4 4,比较比较x x与与y y的大小的大小.【解题探究解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什比较两个多项式的大小常用
7、的方法是什么么?提示提示:常用作差比较法常用作差比较法.【解析解析】因为因为x-y=(mx-y=(m4 4-m-m3 3n)-(mnn)-(mn3 3-n-n4 4)=(m-n)m=(m-n)m3 3-n-n3 3(m-n)(m-n)=(m-n)(m=(m-n)(m3 3-n-n3 3)=(m-n)=(m-n)2 2(m(m2 2+mn+n+mn+n2 2)222n3m n(m)n,24又又mn,mn,所以所以(m-n)(m-n)2 20,0,因为因为 所以所以x-y0,x-y0,故故xy.xy.22n3(m)n 0,24【方法技巧方法技巧】作差比较法的四个步骤作差比较法的四个步骤【变式训练变
8、式训练】1.1.若若f(x)=3xf(x)=3x2 2-x+1,g(x)=2x-x+1,g(x)=2x2 2+x-1,+x-1,则则f(x)f(x)与与g(x)g(x)的大的大小关系是小关系是_._.【解析解析】f(x)-g(x)=3xf(x)-g(x)=3x2 2-x+1-(2x-x+1-(2x2 2+x-1)+x-1)=x=x2 2-2x+2=(x-1)-2x+2=(x-1)2 2+110,+110,所以所以f(x)g(x).f(x)g(x).答案答案:f(x)g(x)f(x)g(x)2.2.若若x,yx,y均为正实数均为正实数,判断判断x x3 3+y+y3 3与与x x2 2y+xyy
9、+xy2 2的大小关系的大小关系.【解析解析】x x3 3+y+y3 3-x-x2 2y-xyy-xy2 2=x=x2 2(x-y)-y(x-y)-y2 2(x-y)(x-y)=(x=(x2 2-y-y2 2)(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2 2(x+y),(x+y),因为因为x0,y0,x0,y0,所以所以(x-y)(x-y)2 2(x+y)0,(x+y)0,所以所以x x3 3+y+y3 3xx2 2y+xyy+xy2 2.类型二类型二不等式性质的简单应用不等式性质的简单应用【典例典例】判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确,并说明理由并说明理由.(1)ab0,(1)ab0
10、,则则 (2)cab0,(2)cab0,则则 (3)(3)若若 ,则则adbc.adbc.(4)(4)设设a,ba,b为正实数为正实数,若若a-b-,a-b-,则则ab.ab0,ab0,所以所以abab两边同乘以两边同乘以得得 得得 ,故正确故正确.(2)(2)因为因为c-a0,c-b0,c-a0,c-b0,且且c-ac-bc-a0,0,又又ab0,ab0,所以所以 ,正确正确.1ab11ababab，1a1b11c ac babc ac b(3)(3)由由 ,所以所以 0,0,即即adbcadbc且且cd0cd0或或adbcadbc且且cd0,cd0,故不正确故不正确.abcdabcdad
11、bc 0ad bc 0ad bc0cd 0cd 0.cd，即，所以或，(4)(4)因为因为a-b-,a-0,b0,a0,b0,所以所以a a2 2b-babb-bab2 2-a-aa a2 2b-abb-ab2 2-b+a0,-b+a0,ab(a-b)+(a-b)0ab(a-b)+(a-b)0(a-b)(ab+1)0,(a-b)(ab+1)0,所以所以a-b0,a-b0,即即ab,ab0,cd0,ab0,cd0,那么那么 若若a,bR,a,bR,则则a a2 2+b+b2 2+52(2a-b).+52(2a-b).ab;dc【解析解析】因为因为ab0,cd0,ab0,cd0,所以所以 0,0,
12、故故 错误错误.a a2 2+b+b2 2+5-2(2a-b)+5-2(2a-b)=a=a2 2+b+b2 2+5-4a+2b=(a-2)+5-4a+2b=(a-2)2 2+(b+1)+(b+1)2 20,0,所以正确所以正确.答案答案:abdcab.dc2.2.若若ab0,ab0,分别判断下列式子是否成立分别判断下列式子是否成立,并简述理由并简述理由.11111.2.a baa bb【解析解析】(1)(1)成立成立.由由ab0ab0得得aa-b0,aa-b0,所以所以则则 (2)(2)成立成立.因为因为ab0,ab0,所以所以a+bb0,a+bbb0,cdb0,cd0,求证求证:【解题探究解
13、题探究】证明该不等式成立的关键是什么证明该不等式成立的关键是什么?提示提示:证明的关键是由不等式的性质得到证明的关键是由不等式的性质得到a-ca-c与与b-db-d的大的大小关系小关系.ba.a cb d【证明证明】因为因为cd0,cd-d0,-c-d0,又又ab0,ab0,所以所以a-cb-d0,a-cb-d0,所以所以0 ,0 ,再由再由0ba,0ba,所以所以 ba.a cb d11a cb d【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法)本题条件不变本题条件不变,证明证明:33ab.dc【证明证明】因为因为cd0,cd-d0,-c-d0,所以所以 又又ab0,ab0,所以所以 所以
14、所以 同乘以同乘以-1-1得得 110,cd ab0,dc 3333abab.dcdc 即，33ab.dc2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)本题中加上条件本题中加上条件“e0”,e0”,其其他条件不变他条件不变,证明证明:【证明证明】因为因为cd0,cd-d0,-c-d0,又又ab0,ab0,所以所以a-cb-d0,a-cb-d0,所以所以(a-c)(a-c)2 2(b-d)(b-d)2 20,0,所以所以 又又e0,eb0,cd0.ab0,cd0.求证求证:【证明证明】因为因为ab0,ab0,所以所以0 0d0,cd0,所以所以0 00,b0,c0,d0,a0,b0,c0,d
15、0,且且 ,求证求证:【证明证明】因为因为a0,b0,c0,d0a0,b0,c0,d0且且 ,所以所以adbc,adbc,所以所以ad+cdbc+cd,ad+cdbc+cd,即即d(a+c)c(b+d),d(a+c)c(b+d),所以所以 acbda cc.b ddacbda cc.b dd自我纠错自我纠错作差法比较大小作差法比较大小【典例典例】设设a+b0,na+b0,n为偶数为偶数,的大小关系为的大小关系为_._.n 1n 1nnba11abab与【失误案例失误案例】分析解题过程分析解题过程,找出错误之处找出错误之处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:n n为偶数时为偶数时,a,an
16、 n-b-bn n和和a an-1n-1-b-bn-1n-1不一定同号不一定同号,这里忽这里忽略了在题设条件略了在题设条件a+b0a+b0且没有明确字母的具体值的情况且没有明确字母的具体值的情况下下,要考虑分类讨论要考虑分类讨论,即对即对a0,b0a0,b0和和a,ba,b有一个负值的有一个负值的情况加以讨论情况加以讨论.正确解答过程如下正确解答过程如下:【解析解析】(1)(1)当当a0,b0a0,b0时时,(a,(an n-b-bn n)(a)(an-1n-1-b-bn-1n-1)0,(ab)0,(ab)n n0,0,nnn 1n 1n 1n 1nnnababba1 1.ababab nnn
17、 1n 1n 1n 1nnnababba1 10.ababab 所以，故(2)(2)当当a,ba,b有一个为负数时有一个为负数时,不妨设不妨设a0,b0,b0,a+b0,所以所以a|b|.a|b|.又又n n为偶数为偶数,所以所以(a(an n-b-bn n)(a(an-1n-1-b-bn-1n-1)0,)0,且且(ab)(ab)n n0,0,故故 即即 综合综合(1)(2)(1)(2)可知可知,答案答案:nnn 1n 1nabab0,abn 1n 1nnba11.abab n 1n 1nnba11.abab n 1n 1nnba11abab 2.基本不等式【自主预习自主预习】1.1.重要不等
18、式重要不等式定理定理1:1:如果如果a,bR,a,bR,那么那么a a2 2+b+b2 2_2ab,_2ab,当且仅当当且仅当_时时,等号成立等号成立.a=ba=b2.2.基本不等式基本不等式(1)(1)定理定理2:2:如果如果a,b0,a,b0,那么那么_._.当且仅当当且仅当_时时,等号等号成立成立.a=ba=ba bab2(2)(2)定理定理2 2的应用的应用:对两个正实数对两个正实数x,y,x,y,如果它们的和如果它们的和S S是定值是定值,则则当且仅当当且仅当_时时,它们的它们的积积P P取得最取得最_值值;如果它们的积如果它们的积P P是定值是定值,则当且仅当则当且仅当_时时,它们
19、的它们的和和S S取得最取得最_值值.x=yx=y大大x=yx=y小小【即时小测即时小测】1.1.已知已知x3,x3,则则x+x+的最小值为的最小值为()A.2A.2B.4B.4C.5C.5D.7D.7【解析解析】选选D.x3,D.x3,则则 当且仅当当且仅当x=5x=5时等号成立时等号成立.4x 344xx 33x 3x 3 42 x 3()3 7.x 3 2.2.设设x,yRx,yR+且且xy-(x+y)=1,xy-(x+y)=1,则则()A.x+y2(+1)A.x+y2(+1)B.xy +1B.xy +1C.x+y(+1)C.x+y(+1)2 2D.xy2(+1)D.xy2(+1)222
20、2【解析解析】选选A.A.因为因为xy-(x+y)xy-xy-(x+y)xy-所以所以xy-1,xy-1,解得解得xy3+.xy3+.又又xy-(x+y)xy-(x+y)(x+y)(x+y)2 2-(x+y),-(x+y),(x+y)(x+y)2 2-(x+y)1,-(x+y)1,解得解得x+y2(x+y2(+1).+1).2 xy,2 xy2 2141423.3.函数函数f(x)=f(x)=的值域为的值域为_.【解析解析】f(x)=f(x)=答案答案:22xx 1x1 222xx 1x1.x11 x 221x11x3,1.2 1 x221 x2 所以1 3,2 2【知识探究知识探究】探究点探
21、究点基本不等式基本不等式1.1.在基本不等式在基本不等式 中中,为什么要求为什么要求a0,b0?a0,b0?提示提示:因为若因为若a0,b0a0,b0,b0.a0,b0.a bab2ab2.2.若若f(x)=x+,f(x)=x+,则则f(x)f(x)的最小值为的最小值为2 2吗吗?提示提示:f(x)f(x)的最小值不是的最小值不是2,2,只有当只有当x0 x0时时,f(x),f(x)的最小的最小值才是值才是2.2.1x【归纳总结归纳总结】1.1.理解基本不等式的两个关键点理解基本不等式的两个关键点一是定理成立的条件是一是定理成立的条件是a,ba,b都是正数都是正数;二是等号取得的二是等号取得的
22、条件是当且仅当条件是当且仅当a=ba=b时时.2.2.利用利用 求最值的三个条件求最值的三个条件(1)(1)各项或各因式为正各项或各因式为正.(2)(2)和或积为定值和或积为定值.(3)(3)各项或各因式能取得相等的值各项或各因式能取得相等的值.a bab23.3.定理定理1 1与定理与定理2 2的不同点的不同点定理定理1 1的适用范围是的适用范围是a,bR;a,bR;定理定理2 2的适用范围是的适用范围是a0,b0.a0,b0.4.4.两个不等式定理的常见变形两个不等式定理的常见变形(1)ab (2)ab (a0,b0).(1)ab (2)ab (a0,b0).(3)2(ab0).(4)(3
23、)2(ab0).(4)(5)a+b (5)a+b 上述不等式中等号成立的充要条件均为上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b.a=b.2 22 2a ab b2 2()2 2a a b b2 2b ba aa ab b().2 22 22 2a a b ba ab b2 22 2().2 22 22 2 a ab b类型一类型一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值【典例典例】1.(20151.(2015湖南高考湖南高考)若实数若实数a,ba,b满足满足 ,则则abab的最小值为的最小值为()A.A.B.2B.2C.2 C.2 D.4D.42.2.已知已知x0,y0,x0,y0,且且x+2y
24、+xy=30,x+2y+xy=30,求求xyxy的最大值的最大值.12abab22【解题探究解题探究】1.1.如何利用条件如何利用条件?提示提示:根据根据 可得可得a0,b0,a0,b0,然后借助基本不然后借助基本不等式等式 构造关于构造关于 的不等式的不等式.2.2.如何利用如何利用“x+2y+xy=30”x+2y+xy=30”这个条件这个条件?提示提示:由由x+2y+xy=30,x+2y+xy=30,得得y=y=12abab121 22,aba b ab30 x.x 2【解析解析】1.1.选选C.C.因为因为 ,所以所以a0,b0,a0,b0,由由 所以所以ab2 (ab2 (当且仅当当且
25、仅当b=2ab=2a时取等号时取等号),),所以所以abab的最小值为的最小值为2 .2 .12abab121 22aba b ab22ab，222.2.由由x+2y+xy=30,x+2y+xy=30,得得y=y=(0 x30),(0 x0,y0 x0,y0时时,x,x y+(2y)y+(2y)x x的最小值为的最小值为_._.【解题指南解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法最值的基本方法.22xyxy【解析解析】x0,y0 x0,y0时时,x,x y+(2y)y+(2y)x=x=所以所求的最小值为所以所求的最小值为 .答案答案:2222x
26、y4yxxy2yx2222x2y2 2xy2.2xy2xy2.2.为确保巴西世界杯总决赛的顺利为确保巴西世界杯总决赛的顺利进行进行,组委会决定在位于里约热内卢组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区矩形观众候场区,总面积为总面积为72m72m2 2(如图所示如图所示),),要求矩形要求矩形场地的一面利用体育场的外墙场地的一面利用体育场的外墙,其余三面用铁栏杆围其余三面用铁栏杆围,并且要在体育馆外墙对面留一个长度为并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m2m的入口的入口.现已现已知铁栏杆的租用费用为知铁栏杆的租用费用为100100元元/m
27、./m.设该矩形区域的长为设该矩形区域的长为x(x(单位单位:m),:m),租用铁栏杆的总费用为租用铁栏杆的总费用为y(y(单位单位:元元).).(1)(1)将将y y表示为表示为x x的函数的函数.(2)(2)试确定试确定x,x,使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小,并求出最小费用并求出最小费用.【解析解析】(1)(1)依题意有依题意有:y=:y=其中其中x2.x2.(2)(2)由基本不等式可得由基本不等式可得:y=:y=当且仅当当且仅当 =x,=x,即即x=12x=12时取时取“=”.综上综上:当当x=12x=12时时,租用此区域所用铁栏杆所需费用最租用
28、此区域所用铁栏杆所需费用最小小,最小费用为最小费用为22002200元元.72100(2 x 2),x 72100(2 x 2)x 144100(x 2)100 2 144 22 200,x 144x【补偿训练补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间间.一面可利用原有的墙一面可利用原有的墙,其他各面其他各面(不包括上盖和地面不包括上盖和地面)用钢筋网围成用钢筋网围成.(1)(1)现有现有36m36m长的材料长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少每间虎笼的长、宽各设计为多少时时,可使每间虎笼面积最大可使每间虎笼面积最大?(2)(2)若使每间虎笼面积为若使每
29、间虎笼面积为24m24m2 2,则每间虎笼的长、宽各则每间虎笼的长、宽各设计为多少时设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?【解题指南解题指南】设每间虎笼长设每间虎笼长xm,xm,宽宽ym,ym,则问题则问题(1)(1)是在是在4x+6y=364x+6y=36的前提下求的前提下求xyxy的最大值的最大值;而问题而问题(2)(2)则是在则是在xy=24xy=24的前提下求的前提下求4x+6y4x+6y的最小值的最小值,使用基本不等式解决使用基本不等式解决.【解析解析】设每间虎笼长为设每间虎笼长为xm,xm,宽为宽为ym,ym,(1)(1)由条件得由条件得4
30、x+6y=36,4x+6y=36,即即2x+3y=18.2x+3y=18.设每间虎笼面积为设每间虎笼面积为S,S,则则S=xy.S=xy.方法一方法一:由于由于2x+3y 2x+3y 所以所以2 18,2 18,得得xy ,xy ,2 2x 3y2 6xy,6xy272即即S ,S ,当且仅当当且仅当2x=3y2x=3y时时,等号成立等号成立.由由 故每间虎笼长为故每间虎笼长为4.5m,4.5m,宽为宽为3m3m时时,可使面积最大可使面积最大.2722x 3y 18,x 4.5,2x 3y,y 3.解得方法二方法二:由由2x+3y=18,2x+3y=18,得得x=9-y.x=9-y.因为因为x
31、0,x0,所以所以0y6,0y6,S=xy=S=xy=因为因为0y6,0y0,6-y0,所以所以S S 3233(9y)y6 y y.2226 yy327.222当且仅当当且仅当6-y=y,6-y=y,即即y=3y=3时时,等号成立等号成立,此时此时x=4.5.x=4.5.故每间虎笼长为故每间虎笼长为4.5m,4.5m,宽为宽为3m3m时时,可使面积最大可使面积最大.(2)(2)由条件知由条件知S=xy=24.S=xy=24.设钢筋网总长为设钢筋网总长为l,则则l=4x+6y.=4x+6y.方法一方法一:因为因为2x+3y 2x+3y 所以所以l=4x+6y=2(2x+3y)48,=4x+6y
32、=2(2x+3y)48,当且仅当当且仅当2x=3y2x=3y时时,等号成立等号成立.2 2x3y2 6xy24,由由 故每间虎笼长故每间虎笼长6m,6m,宽宽4m4m时时,可使钢筋网总长最小可使钢筋网总长最小.2x 3y,x 6,xy 24,y 4.解得方法二方法二:由由xy=24,xy=24,得得x=x=所以所以l=4x+6y=4x+6y=当且仅当当且仅当 =y,=y,即即y=4(y=-4y=4(y=-4舍去舍去)时时,等号成立等号成立,此时此时x=6.x=6.故每间虎笼长故每间虎笼长6m,6m,宽宽4m4m时时,可使钢筋网总长最小可使钢筋网总长最小.24.y9616166y 6(y)6 2
33、y48.yyy 16y类型二类型二利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式【典例典例】已知已知a0,b0,c0,a0,b0,c0,且且a+b+c=1,a+b+c=1,证明证明:(1)a(1)a2 2+b+b2 2+c+c2 2 .(2)(2)13abc3.【解题探究解题探究】典例中如何建立典例中如何建立a a2 2与与a a的不等关系的不等关系?提示提示:由由 可建立可建立a a2 2与与a a的不等关系的不等关系.22112a2 aa993，【证明证明】(1)(1)由由 相加得相加得:a:a2 2+b+b2 2+c+c2 2+当且仅当当且仅当a=b=c=a=b=c=时取等号时取等号.
34、所以所以a a2 2+b+b2 2+c+c2 2 .22112a2 aa993，2222112b2 bb993112c2 cc993 ，122a b c333 ，1313(2)(2)由由a0,b0,c0,a0,b0,c0,所以所以 相加得相加得:所以所以 当且仅当当且仅当a=b=c=a=b=c=时取等号时取等号.1a13a32，11bc1133bc3232，abca b c 1123 ，abc3.13【方法技巧方法技巧】利用基本不等式证明不等式的方法与技利用基本不等式证明不等式的方法与技巧巧(1)(1)方法方法:用基本不等式证明不等式时用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等应首先依据不等式两
35、边式子的结构特点进行恒等变形式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不使之具备基本不等式的结构和条件等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明形形式进行证明.(2)(2)技巧技巧:对含条件的不等式的证明问题对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结要将条件与结论结合起来论结合起来,寻找出变形的思路寻找出变形的思路,构造出基本不等式构造出基本不等式,切切忌两次使用基本不等式用传递性证明忌两次使用基本不等式用传递性证明,有时等号不能同有时等号不能同时取到时取到.【变式训练变式训练】1.1.已知已知a,ba,b都是正数都是正数,且且a+b=1.a
36、+b=1.求证求证:11(1)(1)9.ab【证明证明】当且仅当当且仅当 即即a=ba=b时时,等号成立等号成立.故故 1a bb112,aaa 1a ba112bbb11ba(1)(1)(2)(2)ababba5 2()5 2 2 9ab ，所以，ba,ab11(1)(1)9.ab2.2.已知已知a,b,ca,b,c都是正数都是正数,且且a+b+c=1.a+b+c=1.求证求证:11 19.abc 【证明证明】因为因为a,b,ca,b,c都是正数都是正数,且且a+b+c=1.a+b+c=1.1 1 1a b ca b ca b c ab cabcbcacab111aabbccbcacab3a
37、abbccb ac bc a3 2229,a bb ca c 所以当且仅当当且仅当 即即a=b=ca=b=c时时,等号成立等号成立.所以所以 bca,abc11 19.abc 拓展类型拓展类型利用基本不等式比较大小利用基本不等式比较大小【典例典例】若若ab1,P=ab1,P=(lga+lgb),R=lg ,(lga+lgb),R=lg ,试比较试比较P,Q,RP,Q,R的大小关系的大小关系.1lg a lg b Qlg a lg b,2，a b2【解析解析】因为因为ab1,ab1,所以所以lga0,lgb0,lga0,lgb0,所以所以P=P=又又Q=(lga+lgb)=lg ,Q=(lga+
38、lgb)=lg ,而而 所以所以 即即QR,QR,所以所以PQR.PQ0,b0.a0,b0.(2)(2)若问题中一端出现若问题中一端出现“和式和式”,而另一端出现而另一端出现“积积式式”,这便是应用基本不等式的这便是应用基本不等式的“题眼题眼”,不妨运用基不妨运用基本不等式试试看本不等式试试看.【变式训练变式训练】1.1.已知已知f(x)=lgx,a,bRf(x)=lgx,a,bR+,判断判断P,G,QP,G,Q的大小关系的大小关系.a bP f()2，2abG fabQ f()a b，【解析解析】因为因为a0,b0,a0,b0,所以所以 当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号.又函数又
39、函数f(x)=lgxf(x)=lgx是增函数是增函数,所以所以PGQ.PGQ.a b22abab1 12a bab，2.2.已知已知abc,abc,比较比较 的大小关系的大小关系.【解题指南解题指南】将将 表示成表示成 ,用基本用基本不等式比较大小不等式比较大小.【解析解析】因为因为abc,abc,所以所以a-b0,b-c0,a-b0,b-c0,所以所以 当且仅当当且仅当a-b=b-ca-b=b-c即即2b=a+c2b=a+c时取等号时取等号.a ca b b c2 与a c2 a bb c2 a bb ca ca b b c.22自我纠错自我纠错正确运用基本不等式正确运用基本不等式【典例典例
40、】给出下面三个推导过程给出下面三个推导过程:(1)(1)因为因为a,b(0,+),a,b(0,+),所以所以 (2)(2)因为因为x,y(0,+),x,y(0,+),所以所以lgx+lgy lgx+lgy (3)(3)因为因为aR,a0,aR,a0,所以所以 其中正确的推导过程的序号其中正确的推导过程的序号为为_._.b ab a22.aba b 2 lg x lg y.44a 2a4.aa【失误案例失误案例】分析解题过程分析解题过程,找出错误之处找出错误之处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:错误的根本原因是忽视了基本不等式成立的条件错误的根本原因是忽视了基本不等式成立的条件,忽视了忽
41、视了(2)(3)(2)(3)中的变量可能为负值而致误中的变量可能为负值而致误.正确解答过正确解答过程如下程如下:【解析解析】从基本不等式成立的条件考虑从基本不等式成立的条件考虑.(1)(1)因为因为a,b(0,+),a,b(0,+),所以所以 (0,+),(0,+),符合基符合基本不等式的条件本不等式的条件,故故(1)(1)的推导过程正确的推导过程正确.(2)(2)虽然虽然x,y(0,+),x,y(0,+),但当但当x(0,1)x(0,1)时时,lgx,lgx是负数是负数,当当y(0,1)y(0,1)时时,lgy,lgy是负数是负数,所以所以(2)(2)的推导过程是错误的推导过程是错误的的.b
42、 aa b，(3)(3)因为因为aR,aR,不符合基本不等式的条件不符合基本不等式的条件,所以所以 是错误的是错误的.答案答案:(1)(1)44a2a4aa 3.三个正数的算术-几何平均不等式【自主预习自主预习】1.1.三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式几何平均不等式(定理定理3)3)如果如果a,b,cRa,b,cR+,那么那么 _,_,当且仅当当且仅当_时时,等号成立等号成立.3abc a b c3a=b=ca=b=c2.2.基本不等式的推广基本不等式的推广对于对于n n个个正数正数a a1 1,a,a2 2,a,an n,它们的算术平均不小于它们它们的算术平均不小于它们的几何平均
43、的几何平均,即即 _ ,_ ,当且当且仅当仅当_时时,等号成立等号成立.12naaann1 2naaaa a1 1=a=a2 2=a=an n【即时小测即时小测】1.1.函数函数y=2xy=2x2 2+(xR+(xR+)的最小值为的最小值为()A.6A.6B.7B.7C.8C.8D.9D.9【解析解析】选选A.A.因为因为xRxR+,所以所以当且仅当当且仅当x=1x=1时等号成立时等号成立.4x22234222 2y 2x2x3 2x6.xxxx x 2.2.若若n0,n0,则则 的最小值为的最小值为()A.2A.2B.4B.4C.6C.6D.8D.8【解析解析】选选C.C.因为因为 所以所以
44、 当且仅当当且仅当n=4n=4时等号成立时等号成立.232nn2232nn32n,n22n 322232nn 32n n 32n36.n22 n2 2 n 3.3.若若ab0,ab0,则则a+a+的最小值为的最小值为_._.【解析解析】因为因为ab0,ab0,所以所以a-b0,a-b0,所以所以 当且仅当当且仅当(a-b)=b=(a-b)=b=时等号成立时等号成立.答案答案:3 31b a b11aa bb3b a bb a b，1b a b【知识探究知识探究】探究点探究点三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式几何平均不等式1.1.不等式不等式 成立时成立时,a,b,c,a,b,c的范围
45、是什么的范围是什么?提示提示:a0,b0,c0.a0,b0,c0.3a b cabc32.2.应用三个正数的算术应用三个正数的算术-几何平均不等式几何平均不等式,求最值应注求最值应注意什么意什么?提示提示:三个正数的和为定值三个正数的和为定值,积有最大值积有最大值;积为定值积为定值,和和有最小值有最小值.求最值时应注意三个条件求最值时应注意三个条件“一正、二定、三一正、二定、三相等相等”同时具备同时具备.【归纳总结归纳总结】1.1.定理定理3 3的变形及结论的变形及结论(1)abc .(1)abc .(2)a(2)a3 3+b+b3 3+c+c3 33abc.3abc.(3)(3)上式中上式中
46、a,b,ca,b,c均为正数均为正数,等号成立的条件均为等号成立的条件均为a=b=c.a=b=c.3a b c()322233a b cabcabc.1 1 133ab c 2.2.利用定理利用定理3 3可确定代数式或函数的最值可确定代数式或函数的最值(1)(1)若若a,b,cRa,b,cR+,且积且积abcabc为定值为定值s s时时,由由a+b+ca+b+c(定值定值),),当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时时,和和a+b+ca+b+c有最小值有最小值3 .3 .(2)(2)若若a,b,cRa,b,cR+,且和且和a+b+ca+b+c为定值为定值p p时时,由由abcabc(定值定值)
47、,),当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时时,积积abcabc有最大值有最大值 p p3 3.33 abc3s 3a b c()3127类型一类型一利用三个正数的算术利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值几何平均不等式求最值【典例典例】1.1.求函数求函数y=(1-3x)y=(1-3x)2 2x x 的最大值的最大值.2.2.求函数求函数y=x+(x1)y=x+(x1)的最小值的最小值.1(0 x)3 24x 1【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中如何构造式子中如何构造式子,使其和为定值使其和为定值?提示提示:可将式子可将式子(1-3x)(1-3x)2 2xx化为化为 (1-3x)
48、(1-3x)6x(1-3x)(1-3x)6x的形式的形式.2.2.典例典例2 2中如何构造式子中如何构造式子,使其积为定值使其积为定值?提示提示:可将式子可将式子x+x+化为化为 则其积则其积 为常数为常数.1624x 12x 1 x 14122x 1，2x 1 x 14122x 1【解析解析】1.1.因为因为0 x ,0 x0,1-3x0,所以所以y=(1-3x)y=(1-3x)2 2x=(1-3x)x=(1-3x)(1-3x)(1-3x)6x6x 当且仅当当且仅当1-3x=1-3x=6x,1-3x=1-3x=6x,即即x=x=时等号成立时等号成立,此时此时y ymaxmax=.=.1316
49、31 1 3x 1 3x 6x4(),6381 194812.2.因为因为x1,x1,所以所以x-10,x-10,当且仅当当且仅当 即即x=3x=3时等号成立时等号成立,即即y yminmin=4.=4.224114y xx 1x 1122x 1x 1 2114x 1x 122x 1，321143x 1x 11 422x 1，【延伸探究延伸探究】1.1.若将典例若将典例1 1中的条件变为中的条件变为“y=x(1-xy=x(1-x2 2)(0 x1)”,(0 x0),=-2py(p0),则则B(1,-1),B(1,-1),代入抛物线方程可得代入抛物线方程可得2p=1,2p=1,所以抛物线方程为所
50、以抛物线方程为x x2 2=-y,=-y,因为因为CD=2x,CD=2x,所以所以D(x,-xD(x,-x2 2),),所以梯形的高为所以梯形的高为1-x1-x2 2,梯形的面积为梯形的面积为S=(x+1)(1-xS=(x+1)(1-x2 2),),x(0,1),x(0,1),S=(x+1)(1-xS=(x+1)(1-x2 2)=(x+1)=(x+1)2 2(2-2x)(2-2x)当且仅当当且仅当x+1=2-2x,x+1=2-2x,即即x=x=时时,S,S的最大值是的最大值是 .答案答案:1231x 1 x 1 2 2x32(),2327 13322732272.2.已知已知x0,x0,求求y
