1、第2课时 基本不等式的应用 应用基本不等式求最值时，要把握几个条件？分应用基本不等式求最值时，要把握几个条件？分别是什么？别是什么？一、正数条件，即一、正数条件，即a,b都是正数；都是正数；二、定值条件，即和是定值或积是定值；二、定值条件，即和是定值或积是定值；三、相等条件，即三、相等条件，即ab时取等号；时取等号；简称简称“一正，二定，三等一正，二定，三等”.11f(x)2x1(x0).x例求的最大值为条应负数转为数1 1x0,所x0,所以以2x0,0,不2x0,0,不符符合合基基本本不不等等式式x x的的件件.故.故把把分分因因化化：正正析析.1.1.化正型化正型探究点探究点1 1 基本不
2、等式在求最大、最小值中的应用基本不等式在求最大、最小值中的应用1212且且-2x=-,即-2x=-,即x=-,取x=-,取等等.x2x2f(x)的f(x)的最最大大值值-2 2-1.-2 2-1.当仅当时号为1 1所所以以f(x)=2x+-1-2 2-1.f(x)=2x+-1-2 2-1.x x1 10,所0,-0.-2x0,-0.x x1111所所以以（-2x)+(-)2 2.所-2x)+(-)2 2.所以以2x+-2 2.2x+-2 2.xxxx解解：因因x x为 特别提醒：特别提醒：如果所求因式都是负数，通常如果所求因式都是负数，通常采用添负号变为正数的处理方法采用添负号变为正数的处理方
3、法.关注因式是关注因式是负数负数例例2 2 求函数求函数 的最小值的最小值.1yx(x3)x3积为变积为1 1与与x的x的不不定定值值，故故需需形形使使定定值值.x x析析：3 3分分-minmin1 1x3,所x3,所以以x-30,0.x-30,0.x-3x-3111111所所以以y=x+=x-3+32(x-3)y=x+=x-3+32(x-3)+3=2+3=5,+3=2+3=5,x-3x-3x-3x-3x-3x-31 1且且x-3=,即x-3=,即x=4x=4解解,y=5,y=5 -:.x x 3 3因因当仅当时为2.2.凑定型凑定型(1)(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值构造积为定值
4、，利用基本不等式求最值.(2)(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值构造和为定值，利用基本不等式求最值130 x,yx(1 3x).3例已知求函数的最大值为x+(1-3x)不x+(1-3x)不是是定定值值，3x+(1-3x)3x+(1-3x)分分析析：定定值值.为2 21 10 x,所0 x0.1-3x0.3 311 3x+1-3x111 3x+1-3x1所所以以y=x(1-3x)=y=x(1-3x)=3x(1-3x)()=.3x(1-3x)()=.3232因因解解：3123123 3x x=1 1-3 3x x1x6m ax1y.12当且仅当当且仅当，即，即时，时，1 11 1所所 以以x
5、 xy y,即即2 22 2.x xy y2 22 2为1 1=2 2x x+y y2 2解解：因因2 2x xy y,1 11 11 1所所以以+2 22 22 2 2 2=4 4 2 2.x xy yx xy y即即 的最小值为的最小值为11xy42.11xy 例例4 4 已知已知x0,y0,x0,y0,且且2x+y=1,2x+y=1,求求 的最小值的最小值.3.3.整体代换型整体代换型这个解法这个解法正确吗？正确吗？不正确不正确.过程中两次运用了基本不等式中取过程中两次运用了基本不等式中取“=”号过号过渡，而这两次取渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果号的条件是不同的，故结果错误
6、错误.21xy 11 xy1=2,xy 11f(x)xy分析：分析：本题给定约束条件本题给定约束条件，来求，来求注意到注意到故可以采用对目标函数故可以采用对目标函数乘乘“1 1”构造使用基本不等式的条件构造使用基本不等式的条件.的最小值的最小值,1 11 12 2x x+y y2 2x x+y y+=+x xy yx xy yy y2 2x x=3 3+3 3+2 2 2 2,x xy y因因f f（x x）解解=:为 正确解答正确解答:当且仅当当且仅当2,yxxy 即即2yx 时取时取“=”号号.1,222,21.2,22xyxxyy 而即此时即此时min11()322.xy 课堂总结课堂总
7、结1.求函数最值问题第一步就是求函数最值问题第一步就是“找找”定值定值,观察、分析、构造观察、分析、构造定值是问题突破口定值是问题突破口.定值找到还要看定值找到还要看“=”是否成立是否成立,不管题目是不管题目是否要求指出等号成立条件否要求指出等号成立条件,都要验证都要验证“=”是否成立是否成立.2.求两数和或两数积的最值时求两数和或两数积的最值时,一般需要知道这两数的积或和一般需要知道这两数的积或和为定值为定值,当条件不满足时当条件不满足时,往往利用题目中的已知条件将两数进往往利用题目中的已知条件将两数进行适当的拆项和添项行适当的拆项和添项.通过变形使转化后的两数积或和为定值通过变形使转化后的
8、两数积或和为定值,再利用基本不等式求最值再利用基本不等式求最值,变形后仍要求满足变形后仍要求满足“一正二定三相一正二定三相等等”.探究点探究点2 2 利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题例：例：阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m2800 m2的矩形的矩形蔬菜温室蔬菜温室.在温室内在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m1 m宽的宽的通道通道,沿前侧内墙保留沿前侧内墙保留3 m3 m宽的空地宽的空地,当矩形温室的边长各为多当矩形温室的边长各为多少时少时,蔬菜的种植面积最大蔬菜的种植面积最大?最大种
9、植面积是多少最大种植面积是多少?思路分析思路分析:解此类应用题的一般方法及操作流程为解此类应用题的一般方法及操作流程为:设出变量设出变量列函数关系式列函数关系式利用函数求最大值利用函数求最大值求平均利润求平均利润利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值写出结论写出结论总结总结 利用基本不等式解应用题的步骤为利用基本不等式解应用题的步骤为:(1)审清题意审清题意,读懂题读懂题;(2)恰当地设未知数恰当地设未知数,通常情况下把欲求最值的变量看成因变量通常情况下把欲求最值的变量看成因变量y;(3)建立数学模型建立数学模型,即从实际问题中抽象出函数的关系式即从实际问题中抽象出函数的关系式,并指明函并指
10、明函数的定义域数的定义域,把实际问题转化为求函数最值的问题把实际问题转化为求函数最值的问题;(4)在函数的定义域内在函数的定义域内,利用基本不等式求出函数的最值利用基本不等式求出函数的最值;(5)根据实际问题写出答案根据实际问题写出答案.把握基本不等式成立的三个条件：把握基本不等式成立的三个条件：1.1.不具备不具备“正值正值”条件时，需将其转化为正值；条件时，需将其转化为正值；2.2.不具备不具备“定值定值”条件时，需构造定值条件；条件时，需构造定值条件；（构造：互为相反数、互为倒数）（构造：互为相反数、互为倒数）3.3.不具备不具备“相等相等”条件时，需进行适当变形或利条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域用函数单调性求值域.
