1、3.4 3.4 基本不等式基本不等式(1)(1)ICM2002会标会标如图，这是在北如图，这是在北京召开的第京召开的第22届届国际数学家大会国际数学家大会会标会标根据会标会标根据中国古代数学家中国古代数学家赵爽的弦图设计赵爽的弦图设计的，颜色的明暗的，颜色的明暗使它看上去象一使它看上去象一个风车，代表中个风车，代表中国人民热情好客。国人民热情好客。22ba 22ba ab21、正方形、正方形ABCD的面积的面积S=_四个直角三角形的面积和四个直角三角形的面积和S=_=_S与与S有什么样的大小关系？有什么样的大小关系？问题组一问题组一S Sab222baab（2）该结论成立的条件是什么？（3）式
2、中等号成立的条件是什么？（当且仅当（当且仅当a=b时，取时，取“=”号）号）222,baabRba则若问题组一问题组一1.用用 ,去替换上述结论中的去替换上述结论中的 ,能得到能得到什么结论？此时什么结论？此时,需要满足什么条件？需要满足什么条件？问题组二问题组二ba,ba,ba,)0,0(2babaab基本不等式基本不等式2.你能给出代数证明吗？你能给出代数证明吗？ABCDE3 3、如图、如图,AB,AB是圆的直径，是圆的直径，C C是是ABAB上与上与A A、B B不重合的一不重合的一点，点，AC=a,CB=b,AC=a,CB=b,过点过点C C作垂作垂直于直于ABAB的弦的弦DEDE，连
3、，连AD,BD,AD,BD,则则CD=CD=,半径半径=abab2ba半弦不大于半径半弦不大于半径你能用这个图形得出基本你能用这个图形得出基本不等式不等式的几何解释吗的几何解释吗?(a0,b0)2ababO问题组二问题组二基本不等式)0,0(2babaab几何解释几何解释中项解释中项解释几何解释几何解释两个正数的正的等比中项不大于它两个正数的正的等比中项不大于它们的等差中项们的等差中项)0,0(2babaab基本不等式几何解释几何解释均值解释均值解释几何解释几何解释两个正数的几何平均数不大于它们两个正数的几何平均数不大于它们的算数平均数的算数平均数)0,0(2babaab基本不等式的解析基本不
4、等式的解析l1、换元法；、换元法；l2、作差比较法；、作差比较法；l3、几何解释法、几何解释法l4、中项解释中项解释l5、均值解释；、均值解释；)0,0(2babaab1、基本不等式中等号成立的条件是什么？、基本不等式中等号成立的条件是什么？问题组三问题组三ba 当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立2、如何理解、如何理解“当且仅当当且仅当”？3、这一特征可以帮助我们解决什么问题？、这一特征可以帮助我们解决什么问题？)0,0(2babaab【试一试】【试一试】的最大值为则且若abbaba,2,0,0.1xxxx，此时的最小值为若16,0.2184【试一试】【试一试】3.判判断断下下列列推推理理
5、是是否否正正确确：（1）、若若aR，则则aa1 的的最最小小值值为为2 2 （）（2）、若若,0a则则aa12 的的最最小小值值为为a2 （）(3 3)、当当0 x时时，由由于于xx212，当当且且仅仅当当21x时时，即即x=1 1 时时，等等号号成成立立.所所以以函函数数)0(12xx的的最最小小值值为为2 2；()（4 4）、若若)2,0(x，则则xxsin1sin 的的最最小小值值为为2 2 （）小结：)0,0(2babaab几何解释几何解释应用基本不等式求最值条件应用基本不等式求最值条件几何解释几何解释一正，二定，三相等一正，二定，三相等小结：)0,0(2babaab几何解释几何解释基
6、本不等式的常用变形基本不等式的常用变形)0,0(2;0,022babaabbaabba例：打算用篱笆围一个面积为例：打算用篱笆围一个面积为100平平方米的矩形花园，问这个矩形的长、方米的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？短篱笆是多少？【归纳小结】【归纳小结】1.本节学习了什么知识本节学习了什么知识?2.该知识有哪些应用该知识有哪些应用?3.应用时应注意什么问题应用时应注意什么问题?不等式的推导不等式的推导不等式的应用不等式的应用三个应用条件三个应用条件积定和最小；和定积最大积定和最小；和定积最大一正、二定、三相等一正、二定、三相等换元、作差、几何、换元、作差、几何、中项、均值中项、均值 谢谢！谢谢！发挥发挥正正能量能量定定能和能和最最优秀优秀相等相等
