1、xyo3.3.2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 某工厂用某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用每生产一件甲产品使用4个个A配件耗时配件耗时1h，每生产一每生产一件乙产品使用件乙产品使用4个个B配件耗时配件耗时2h，该厂每天最多可从该厂每天最多可从配件厂获得配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件，按每天工作配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？按甲、乙两种产品分别生产按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由件，由已知条件可得二元一次不等式组已知条件可得二元一次不等式组0034
2、820y0 x124y164x82yyxyxyxx 一、实际问题一、实际问题,xN yN 将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。yx4843o 若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获万元，生产一件乙产品获利利3万元，采用那种生产安排利润最大？万元，采用那种生产安排利润最大？设工厂获得的利润为设工厂获得的利润为z，则则z2x3y把把z2x3y变形为变形为 它表示斜率为它表示斜率为 的的直线系，直线系，z与这条直线与
3、这条直线的截距有关。的截距有关。332zxy32 如图可见，当直线如图可见，当直线经过可行域上的点经过可行域上的点M时，截距时，截距最大，即最大，即z最大。最大。M 二、基本概念二、基本概念yx4843o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。的一次解析式，又称线性目标函数。满足线性约束的解满足线性约束的解（x x，y y）叫做可行解。叫做可行解。在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。问题，统称为线性
4、规划问题。一组关于变量一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束的一次不等式，称为线性约束条件。条件。由所有可行解组成由所有可行解组成的集合叫做可行域。的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。做这个问题的最优解。可行域可行域可行解可行解最优解最优解线性规划的有关概念：线性约束条件线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线
5、性规划问题线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 线性规划在实际中的应用：线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安它们来完成最多的任务；二是给定一
6、项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务项任务 例例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供提供0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，的蛋白质，0.06kg的脂肪，的脂肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合碳水化合物，物，0.07kg蛋白质，蛋白质，0.14kg脂肪，花费脂肪，花费28元；而元；而1kg食物食物B含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.14kg蛋白蛋白质，质，0.07kg脂肪，花费脂肪，花费21元。
7、为了满足营养专家指元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物食物A和食物和食物B多少多少kg？分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格二、例题二、例题解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z，那么那么00671461475770006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyxyxyxyxyx目标函数为：目标函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目
8、标函数把目标函数z28x21y 变形为变形为xyo5/75/76/73/73/76/72834zxy 它表示斜率为它表示斜率为随随z变化的一组平行直变化的一组平行直线系线系34 是直线在是直线在y轴上轴上的截距，当截距最的截距，当截距最小时，小时，z的值最小。的值最小。28zM 如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可经过可行域上的点行域上的点M时，截距时，截距最小，即最小，即z最小。最小。M点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组6714577yxyx得得M点的坐标为：点的坐标为：7471yx所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天
9、食用食物A143g，食物食物B约约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为最低成本为16元。元。2.,A B C例 要将两种大小不同的钢板截成三种规格每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示。，27、18、15A、B、C且使所用钢板张数最少品张可得所需三种规格成问各截这两种钢板多少块三种规格成品分别为今需要则张第二种钢板张设需截第一种钢板解，y，x：0y,0 x27y3x18y2x15yx2yxz目标函数xy018y2x12yx11yx4yx15yx227y3x8.7,6.3A8,4C9,3B。12，)84(93张使所用钢板张数最少
10、为张张和或张张和答各截这两种钢板例例3 3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料并画出相应的平面
11、区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo0y0 x6615y18x10y4x解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y车皮，能够产车皮，能够产生利润生利润Z万元。目标函数为万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：，可行域如图：把把Zx0.5y变形为变形为y2x2z，它表示斜率为，它表示斜率为2，在，在y轴上的截距为轴上的截距为2z的一组直线系。的一组直线系。xyo由图可以
12、看出，当直线经过可行域上的点由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，时，截距截距2z最大，即最大，即z最大。最大。故生产甲种、乙种肥料各故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润为3万元。万元。M 容易求得容易求得M点的坐标为点的坐标为（2，2），则），则Zmin3思考？思考？22?zxy2?zxy?yzx8?1yzx2218?zxy解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：；(1)(1)设设设出两个变元设出两个变元(2)(2)列列根据实际问题约束条件列出不等式组根据实际问题约束条件列出不等式组(3)(3)写写写出目标函数（不要写到约束条件内
13、）写出目标函数（不要写到约束条件内）(4)(4)作作画画可行域可行域(5)(5)移移移移直线发现直线发现求求出最优解出最优解 (6)(6)答答回归实际问题回归实际问题 练习、某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9t，电力4kw，劳力（按工作日计算）3个；制造乙产品1kg要用煤4t，电力5kw，劳力10个，又知制成甲种产品1kg可获利7万元，制成乙种产品1kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360t，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克能获得最大的经济效益？答案：应生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使工厂获得最大利润。1、线性规划问题大致分为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。其实这两种类型是一个问题的两个方面，本质是寻求在约束条件下，某项问题的最优解。2、线性规划问题可以按照下列步骤求解：找全约束条件列出目标函数图解可行域寻求最优解回答实际问题。
