1、直接证明：直接证明：(1)综合法综合法(2)分析法分析法由因导果由因导果执果索因执果索因已知条件已知条件结论结论已知条件已知条件结论结论 直接从原命题的条件逐步推得结论成立直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫这种证明方法叫直接证明直接证明。复习回顾：复习回顾：直接证明与间接证明练习,a b c1.1.ABCABC三边长三边长的倒数成等差数列，求证：的倒数成等差数列，求证：.90B证明：证明：acb212)(12cabbcab 1acbac222acbcaB2222cos因为因为a,b,ca,b,c为为ABCABC三边三边 所以所以 a+c b a+c b 01cab所以所以 co
2、sB0 cosB0 90B因此因此间接证明 A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定是必定是在撒谎，为什么？在撒谎，为什么？分析分析:假设假设C C没有撒谎没有撒谎,则则C C真真.-那么那么A A假且假且B B假假;由由A A假假,知知B B真真.这与这与B B假矛盾假矛盾.那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立,则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎.间接证明（问题情境1）间接证明（问题情境2）是异面直线”与中，命题“在长方体如何证明（必修）第三章中，在数学CAABDCBAA
3、BCD111112共面与假设CAAB1平面只能有一个的与直线由于经过点ABC都应该在底面内和直线ABCA1在在底底面面内内，与与条条件件矛矛盾盾1A是是异异面面直直线线。和和直直线线ABCA1间接证明（基本概念）间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法是不同于直接证明的又一类证明方法.反证法 经过正确的经过正确的推理，推理，因此说明假设错误，从而因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，证明了原命题成立，这样的证明方法叫做这样的证明方法叫做反证法反证法（归谬法）。（归谬法）。一般地，假设原命题不成立，一般地，假设原命题不成立，最后得出矛盾。最后得出矛盾。反证法是一种常用的间接证明方法反证法是一种
4、常用的间接证明方法.肯定条件肯定条件p否定结论否定结论 q 导致逻辑矛盾导致逻辑矛盾 “P且且q”为假为假 “若若p则则q”为真为真 合理的推理合理的推理 归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。间接证明（基本概念）反证法的过程包括以下三个步骤：反证法的过程包括以下三个步骤：（1 1）反设反设假设命题的结论不成立，即假定假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；原命题的反面为真；（2 2）归谬归谬从反设和已知条件出发，经过一从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推
5、理，得出矛盾结果；系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3 3）存真存真由矛盾结果，断定反设不真，从由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立而肯定原结论成立.适宜使用反证法的情况适宜使用反证法的情况:（1）结论以否定形式出现；）结论以否定形式出现；（2）结论以）结论以“至多至多-，”，“至少至少-”形式出现；形式出现；（3）唯一性、存在性问题；）唯一性、存在性问题；（4）结论的反面比原结论更具体更容易结论的反面比原结论更具体更容易 研究的命题。研究的命题。正难则反正难则反!间接证明（例题1）.2 小的正周期求证：正弦函数没有比先求出周期 思路思路 用反证法证明 是最小正周期.2间接证明（例题
6、1）假设假设T T是正弦函数的周期是正弦函数的周期则对任意实数则对任意实数x x都有都有:解解:xTxsin)sin(令令x=0,x=0,得得0sinT即即.,ZkkTTT故故假假设设最最小小正正周周期期20从而对任意实数从而对任意实数x x都应有都应有xxsin)sin(这与这与2sin)2sin(矛盾矛盾.因此因此,原命题成立原命题成立.间接证明（例题2）2()f xxpxq(1)(3)2(2)2fff(1),(2),(3)fff12已知：已知：求证：求证：（2 2）中至少有一个不小于中至少有一个不小于.（1 1）求证求证：是无理数。是无理数。2 2证证：假假设设2 2是是有有理理数数，m
7、 m则则 存存 在在 互互 质质 的的 整整 数数 m m，n n使使 得得2 2=，n n m m=2 2n n2 22 2 m m=2 2n n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m=2 2k k（k kN N）22222222从而有4k=2n，即n=2k从而有4k=2n，即n=2k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。间接证明（例题3）间接证明（习题1）1.1.求证求证:若一个整数的平方是偶数若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数则这个数也是偶数.假设
8、这个数是奇数假设这个数是奇数,可以设为可以设为2k+1,2k+1,.Zk证证:144)12(22kkk则有则有而而）（Zkkk1442不是偶数不是偶数这与原命题条件矛盾这与原命题条件矛盾.2 2、用反证法证明：、用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b证：假设 a b不成立，则 a b证：假设 a b不成立，则 a b若 a=b，则a=b,若 a=b，则a=b,与已知a b矛盾,与已知a b矛盾,若 a b，则a b,若 a b，则a b矛盾,与已知a b矛盾,故假设不成立，结论 a b成立。故假设不成立，结论 a b成立。3 3、已知、已知a0a0，求证关于，求证关于x
9、x的方程的方程ax=bax=b有且只有且只有一个根。有一个根。证：假设方程ax+b=0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b=0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x，x x 且且x x x x1212则ax=b，ax=b则ax=b，ax=b1212ax=axax=ax1 12 2 a ax x-a ax x=0 01 12 2 a a（x x-x x）=0 012121212 x x，x-x 0 x x，x-x 0 a=0 a=0 与已知a 0矛盾,与已知a 0矛盾,故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。P P已知：在已知：在OO中中,弦弦ABAB、CDCD相交于相交于P P，且，且ABAB、CDCD不全不全是直径；是直径；求证：求证：ABAB、CDCD不能互相平分。不能互相平分。A AB BC CD DO Onmxxxf22)()3(,)2(,)1(fff3.设函数设函数，求证：，求证：中至少有一个不小于中至少有一个不小于1.1.4 4、求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分、求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.间接证明（回顾小结）间接证明 反证法反证法 同一法同一法 枚举法枚举法 完全归纳法完全归纳法
