1、1.4.3正切函数的性质与图象【知识提炼知识提炼】函数函数y=tanxy=tanx的图象和性质的图象和性质解析式解析式y=tanxy=tanx图象图象定义域定义域_值域值域_x|xRxk,kZ2 且R解析式解析式y=tanxy=tanx周期周期_奇偶性奇偶性_单调性单调性在开区间在开区间_上都是上都是增函数增函数奇函数(k,k)(kZ)22 【即时小测即时小测】1.1.判断判断(1)(1)正切函数的定义域和值域都是正切函数的定义域和值域都是R.(R.()(2)(2)正切函数在整个定义域上是增函数正切函数在整个定义域上是增函数.(.()(3)(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值正切函数在定义
2、域内无最大值和最小值.(.()(4)(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形.(.()【解析解析】(1)(1)错误错误.正切函数的定义域为正切函数的定义域为x|xk+x|xk+，kZkZ，值域为，值域为R.R.(2)(2)错误错误.正切函数在正切函数在(k-(k-，k+)k+)，kZkZ是增函数，在整个定义是增函数，在整个定义域上不具有单调性域上不具有单调性.(3)(3)正确正确.正切函数在定义域内值域为正切函数在定义域内值域为R R，无最大值、最小值，无最大值、最小值.(4)(4)错误错误.正切函数的图象是中心对称图形，但不是轴对称图
3、形正切函数的图象是中心对称图形，但不是轴对称图形.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(4)(3)(4)2222.2.函数函数y=tan(x-)y=tan(x-)的定义域为的定义域为_._.【解析解析】函数的自变量函数的自变量x x应满足应满足x-k+x-k+，kZ.kZ.即即xk+xk+，kZ.kZ.所以，函数的定义域为所以，函数的定义域为x|xk+x|xk+，kZ.kZ.答案：答案：x|xk+x|xk+，kZkZ5527107107103.3.函数函数y=tan(x-3)y=tan(x-3)的周期为的周期为_._.【解析解析】由于由于f(x)=tan(x-3)=tan(x-3+)f(
4、x)=tan(x-3)=tan(x-3+)=tan (x+4)-3=f(x+4).=tan (x+4)-3=f(x+4).因此函数的周期为因此函数的周期为4.4.答案：答案：4 444444.4.函数函数y=tan xy=tan x，x x 的值域为的值域为_._.【解析解析】因为因为y=tan xy=tan x在在 上是增函数，上是增函数，且且tan(-)=-1tan(-)=-1，tan =tan =所以函数的值域为所以函数的值域为-1-1，.答案：答案：-1-1，4 3 ，4 3，433.335.5.比较大小：比较大小：tan 167tan 167_tan 173_tan 173(填填“”
5、或或“”).”).【解析解析】因为因为9090167167173173180180，且且y=tan xy=tan x在在(，)上是增函数上是增函数.所以所以tan 167tan 167tan 173tan 173.答案：答案：0)0)的定义域时，要将的定义域时，要将“x+x+”视为一个视为一个“整体整体”.令令x+x+k+k+，kZkZ，解得，解得x.x.22(3)(3)解形如解形如tan xatan xa的不等式的步骤的不等式的步骤【变式训练变式训练】函数函数 的定义域是的定义域是_._.【解析解析】x x应满足应满足所以所以 所以所以0 x 0 x 或或x4x4，所以所求定义域为所以所求定
6、义域为(0(0，)，4 4答案：答案：(0(0，)，4 412y2log xtan x122log x0tan x0，0 x4kxk(kZ)2 ，222【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)将本题中将本题中“tanx”tanx”改为改为“tanx+1”tanx+1”，其他条件不变，结，其他条件不变，结果又如何？果又如何？【解析解析】x x应满足应满足 即即所以所以所以所以0 x 0 x 或或 x4.x4.所以所求定义域为所以所求定义域为(0(0，)，4.4.122log x0tan x10，1122log xlog 4tanx1，0 x4kxk(kZ)42 2342342.(2.(
7、变换条件、改变问法变换条件、改变问法)，将本题函数改为，将本题函数改为“”试画出此函试画出此函数在数在0 0，上的图象上的图象.【解析解析】由由tan x0tan x0，xx0 0，解得，解得x0 x0，且，且x x 且且x.x.其图象如下其图象如下.sin xytan x2sin xsin xycos x.sin xtan xcos x类型二类型二 正切函数单调性的应用正切函数单调性的应用【典例典例】1.(20151.(2015上海高一检测上海高一检测)函数函数y=tan(-x)y=tan(-x)的单调递减区间是的单调递减区间是.2.2.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小利用
8、正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小.(1)tan 220(1)tan 220与与tan 200tan 200.(2)tan .(2)tan 与与46513tan().7【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中y=tan(-x)y=tan(-x)的单调性与的单调性与y=tan(x-)y=tan(x-)的单调性的单调性有什么关系？有什么关系？提示：提示：y=tan(-x)y=tan(-x)的单调递减区间是的单调递减区间是y=tan(x-)y=tan(x-)的单调递增区间的单调递增区间.2 2典例典例2 2中，比较两个正切值的大小，首先要如何变形？中，比较两个正切值的大小，首先要如
9、何变形？提示：提示：先用诱导公式将两个角转化到同一个单调区间上先用诱导公式将两个角转化到同一个单调区间上.4444【解析解析】1.1.因为因为所以所以y=tan(-x)y=tan(-x)的单调递减区间是的单调递减区间是y=tan(x-)y=tan(x-)的单调递增区间的单调递增区间.由由k-x-k+k-x-k+，kZkZ得得k-xk+k-xtan20 tan20，即，即tan 220tan 220tan 200tan 200.(2)(2)因为因为y=tanxy=tanx在在()()上单调递增，上单调递增，所以所以 即即6tantan()tan555，1313tan()tantan(2)tan(
10、)tan77777 ，2752，2 2 ，tantan75，613tantan().57【延伸探究延伸探究】将本例将本例1 1中的函数改为中的函数改为 ，试求此函数的单调，试求此函数的单调递增区间递增区间.【解析解析】由由 kZkZ得得 kZ.kZ.所以函数的单调递增区间为所以函数的单调递增区间为xytan()24xkk2242 ，32kx2k22，3(2k2k)kZ.22，【方法技巧方法技巧】1.1.运用正切函数单调性比较大小的方法运用正切函数单调性比较大小的方法(1)(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.(2)(2)运用单调
11、性比较大小关系运用单调性比较大小关系.2.2.求函数求函数y=Atan(x+y=Atan(x+)(A)(A，都是常数都是常数)的单调区间的方法的单调区间的方法(1)(1)若若00，由于，由于y=tan xy=tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换整体代换”的思想，令的思想，令k-x+k-x+k+k+，kZkZ，解得，解得x x的范围的范围即可即可.(2)(2)若若003-8-=-8=-1)0，3-8-=-8=(5-16)03-8-=-8=(5-16)0，所以所以0 3-8 .0 3-8 .又又y=tan xy=tan x在在(0(0，)上为
12、增函数，上为增函数，所以所以tan tan(3-8)tan -tan(3-8)-tan -tan(3-8)，即即tan 8tan 8283333838(3252122323328tan().3【补偿训练补偿训练】tan 1tan 1，tan 2tan 2，tan 3tan 3，tan 4tan 4从小到大的排列顺序为从小到大的排列顺序为_._.【解析解析】y=tan xy=tan x在区间在区间()()上是单调增函数，且上是单调增函数，且tan 1=tan 1=tan(+1)tan(+1)，又，又 234+1 234+1 ，所以，所以tan 2tan 3tan 4tan 1.tan 2tan
13、3tan 4tan 1.答案：答案：tan 2tan 3tan 4tan 1tan 2tan 3tan 4tan 1322，232类型三类型三 正切函数奇偶性与周期性的应用正切函数奇偶性与周期性的应用【典例典例】1.1.直线直线y=a(ay=a(a为常数为常数)与正切曲线与正切曲线y=tan x(y=tan x(为常数，且为常数，且0)0)相交的两个相邻点间的距离为相交的两个相邻点间的距离为()()2.(1)2.(1)求函数求函数 与函数与函数f(x)=tan x+|tan x|f(x)=tan x+|tan x|的最小正周期的最小正周期.(2)(2)判断函数判断函数g(x)=tan 2xg(
14、x)=tan 2x的奇偶性的奇偶性.2A.B.C.D.a与 无关y3tan(4x)43【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，两个相邻交点的距离有什么意义？中，两个相邻交点的距离有什么意义？提示：提示：两个相邻交点的距离是周期两个相邻交点的距离是周期.2.2.典例典例2(1)2(1)中，求周期的方法是什么？中，求周期的方法是什么？(2)(2)中判断奇偶性的步骤是什么？中判断奇偶性的步骤是什么？提示：提示：求求y=Atan(x+y=Atan(x+)的周期可依据公式的周期可依据公式 其他形式的函数可其他形式的函数可考虑图象法考虑图象法.判断奇偶性首先要求定义域并判断其是否关于原点对称，判断奇
15、偶性首先要求定义域并判断其是否关于原点对称，若对称再判断若对称再判断f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系，最后依据奇偶性定义回答的关系，最后依据奇偶性定义回答.T.|【解析解析】1.1.选选C.C.因为直线因为直线y=a(ay=a(a为常数为常数)与正切曲线与正切曲线y=tan xy=tan x相交的相相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期，邻两点间的距离就是正切函数的周期，又因为又因为y=tan xy=tan x的周期是的周期是 ，所以直线，所以直线y=a(ay=a(a为常数为常数)与正切曲线与正切曲线y=tan xy=tan x相交的相邻两点间的距离是相交的相邻两点间的距离是|
16、.|2.(1)2.(1)函数函数 的最小正周期为的最小正周期为T=T=；f(x)=tan x+f(x)=tan x+|tan x|=|tan x|=作出作出f(x)=tan x+|tan x|f(x)=tan x+|tan x|的简图，如图所示，易得函数的简图，如图所示，易得函数f(x)=f(x)=tan x+|tan x|tan x+|tan x|的周期的周期T=.T=.y3tan(4x)440 x(kk)2(kZ)2tan xxkk)2，(2)(2)函数函数g(x)=tan 2xg(x)=tan 2x的定义域是的定义域是x|x x|x ，kZkZ，关于坐标，关于坐标原点对称，原点对称，又又
17、g(-x)=tan(-2x)=-tan 2x=-g(x)g(-x)=tan(-2x)=-tan 2x=-g(x)，所以函数所以函数g(x)=tan 2xg(x)=tan 2x是奇函数是奇函数.3k24333【方法技巧方法技巧】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略略(1)(1)一般地，函数一般地，函数y=Atan(x+y=Atan(x+)的最小正周期为的最小正周期为T=T=，常常利用此，常常利用此公式来求周期公式来求周期.(2)(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是
18、否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系的关系.|【变式训练变式训练】1.(20151.(2015南昌高一检测南昌高一检测)给出如下四个函数给出如下四个函数f(x)=5sin(x-)f(x)=5sin(x-)；f(x)=cos(sin x)f(x)=cos(sin x)；f(x)=xsinf(x)=xsin2 2x x；f(x)=f(x)=，其中奇函数的个数是，其中奇函数的个数是()()A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个32tan x1tan x【解析解
19、析】选选B.B.是非奇非偶函数；定义域为是非奇非偶函数；定义域为R.f(-x)=R.f(-x)=cos(sin(-x)=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x)cos(sin(-x)=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x)是偶函数；是偶函数；定义域为定义域为R R，f(-x)=-xsinf(-x)=-xsin2 2(-x)=-xsin(-x)=-xsin2 2x=-f(x)x=-f(x)，是奇函数；定义，是奇函数；定义域由域由1-tan1-tan2 2x0 x0得得tan xtan x1 1，x|xkx|xk 且且xk+xk+，kZkZ，关于原点对称关于原点对称f
20、(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)是奇函数是奇函数.4222tan(x)tan x1tan(x)1tan x2.2.已知函数已知函数f(x)=2tan(kx+)f(x)=2tan(kx+)的最小正周期的最小正周期T T满足满足1T21T2，求自然数，求自然数k k的的值值.【解析解析】T=T=，由，由1 21 2得得 k k，而，而kNkN，所以，所以k=2k=2或或3.3.3kk2【补偿训练补偿训练】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(1)f(x)=(2)f(x)=(2)f(x)=【解析解析】(1)(1)由由得得f(x)f(x)的定义域为的定义域为x|xk+
21、x|xk+且且xk+xk+，kZkZ，不关于原点对称，不关于原点对称，所以函数所以函数f(x)f(x)既不是偶函数，也不是奇函数既不是偶函数，也不是奇函数.2tan xtan x.tan x1tan(x)tan(x).44xkkZ2tan x1，24(2)(2)函数定义域为函数定义域为x|xk+x|xk+且且xk+xk+，kZkZ关于原点对称，关于原点对称，又又f(-x)=tanf(-x)=tan（-x-x-）+tan+tan（-x+-x+）=-tan=-tan（x+x+）-tan-tan（x-x-）=-f(x)=-f(x)，所以函数是奇函数所以函数是奇函数.3444444易错案例易错案例 函
22、数函数y=Atan(x+y=Atan(x+)的对称中心的对称中心【典例典例】(2015(2015杭州高一检测杭州高一检测)已知函数已知函数y=tanx-y=tanx-的图象，则图象的的图象，则图象的对称中心坐标为对称中心坐标为_._.3【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：错误的根本原因是忽视错误的根本原因是忽视(k+(k+，0)0)，kZkZ，也是正切曲线，也是正切曲线y=tan xy=tan x的对称中心，实际上正切曲线的对称中心，实际上正切曲线y=tan xy=tan x的对称中心坐标为的对称中心坐标为(，0)
23、0)，kZ.kZ.2k2【自我矫正自我矫正】由由x-=(kZ)x-=(kZ)得得x=(kZ)x=(kZ)，所以图象的对称中心坐标为所以图象的对称中心坐标为(，0)0)，kZ.kZ.答案：答案：(，0)0)，kZkZ3k2k23k23k23【防范措施防范措施】正切曲线的两类对称中心正切曲线的两类对称中心(1)(1)与与x x轴的交点，即轴的交点，即(k(k，0)0)，kZkZ是正切曲线的对称中心是正切曲线的对称中心.(2)(2)正切无意义处，即正切无意义处，即(k+(k+，0)0)，kZkZ是正切曲线的对称中心，两是正切曲线的对称中心，两类对称中心可以合并为类对称中心可以合并为(，0)kZ.0)kZ.2k2
