1、两个平面可能有哪些位置关系呢两个平面可能有哪些位置关系呢?现观察长方体现观察长方体A-CA-C1 1的各个面的关系的各个面的关系:图形表示图形表示符号表示符号表示公共点公共点两平面相交两平面相交两平面平行两平面平行位置关系位置关系有一条公共直线有一条公共直线没有公共点没有公共点/ll画两个相交平面的要点是：画两个相交平面的要点是：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，再画表示两个平面交线的线段再画表示两个平面交线的线段 命题命题1 1如果两个平面平行，那么其中一个平面如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行内的所有直线一定都
2、和另一个平面平行命题命题2 2如果一个平面内的所有直线都和另一个如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行平面平行，那么这两个平面平行1.1.平面平行平面平行平面平行的判定定理平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条如果一个平面内的两条相交相交直直线分别平行于另一个平面线分别平行于另一个平面,那么这两那么这两个个平面平行平面平行.abo,/,/a bab oab 例例1.1.如图如图,在长方体在长方体A-CA-C1 1中中.求证求证:面面ABAB1 1D D1 1/面面BDCBDC1 1A1ABB1CC1DD1判断下列命题的正误：判断下列命题的正误：1 1垂直于同一直线的两
3、直线平行垂直于同一直线的两直线平行2 2分别在两个平行平面内的两条直线分别在两个平行平面内的两条直线都平行都平行3 3如果一个平面内的两条直线平行于如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行另一个平面，那么这两个平面平行4 4如果一个平面内的任何一条直线都如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平平行于另一个平面，那么这两个平面平行行 ABCDA1B1C1D1证明：证明：BDB1D1BD 面面BDC1B1D1 面面BDC1B1D1面面BDC1同理：同理：AB1面面BDC1B1D1AB1=B1面面AB1D1面面BDC1线线线线线线面面面面面面例例1.1.如
4、图如图,在长方体在长方体A-CA-C1 1中中.求证求证:面面ABAB1 1D D1 1/面面BDCBDC1 1ABCDA1B1C1D1证法证法2：ACBDA1A面面ACA1C在面在面AC上上的射影为的射影为ACA1CBDBDBC1=BA1CBC1同理同理:A1C面面BDC1同理同理:A1C面面AB1D1变形变形1:如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，E,F,G分别为分别为A1D1,A1B1,A1A的中点的中点求证：面求证：面EFG面面BDC1变形变形2:2:若若O O为为BDBD上的点上的点求证：求证：OCOC1 1 面面EFGEFGO面面面面 由上知由上知面面E
5、FG面面BDC1OC1 面面BDC1ABCDA1B1C1D1EFG线线面面OC1 面面EFG变形变形3 3:如图如图,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，中，E,F,M,NE,F,M,N分别为分别为A A1 1B B1 1,A A1 1D D1 1,B,B1 1C C1 1,C,C1 1D D1 1 的的中点中点ABCDA1B1C1D1EFNM求证：面求证：面AEFAEF面面BDMNBDMN思考思考:如果两个平面平行如果两个平面平行,那么那么;1.1.一个平面内的一条直线是否平行于另一个平面一个平面内的一条直线是否平行于另一个平面?2.2.分
6、别在两平面内的两条直线的位置关系是分别在两平面内的两条直线的位置关系是_._.两平行平面的性质定理两平行平面的性质定理:如果两个平行平面同时和第三如果两个平行平面同时和第三个平面相交个平面相交,那么它们的交线平行那么它们的交线平行.ab/aabb 例例2.2.求证求证:如果一条直线垂直于如果一条直线垂直于 两个平行平面中的一个两个平行平面中的一个,那么它那么它 也垂直于另一个平面也垂直于另一个平面.AB ll a/,aa,ll 证明:设 为 内的任一条直线 则过 的一个证明:设 为 内的任一条直线 则过 的一个,.,/./.laallll 平面 与 相交于平面 与 相交于又又即a即a,la 为
7、 内任一条直线为 内任一条直线判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？1、平行于同一直线的两平面平行、平行于同一直线的两平面平行2、垂直于同一直线的两平面平行、垂直于同一直线的两平面平行3、与同一直线成等角的两平面平行、与同一直线成等角的两平面平行4、垂直于同一平面的两平面平行、垂直于同一平面的两平面平行5、若、若,则平面则平面内任一直线内任一直线a 6、若、若n ,m ,n,m 则则nm定义定义:与两平行平面都与两平行平面都垂直垂直的直线叫做这两个的直线叫做这两个平行平面的平行平面的公垂线公垂线.夹在两平行平面之间的夹在两平行平面之间的公公垂线段垂线段叫做两平行平面间的叫做两平行平面间的
8、距离距离.练习练习:1.1.判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确.说明理由说明理由;(1)(1)一平面内两条直线分别平行于另一个平面一平面内两条直线分别平行于另一个平面,则则这两平面平行这两平面平行;(2)(2)一平面内无数条直线分别平行于另一个平面一平面内无数条直线分别平行于另一个平面,则这两平面平行则这两平面平行;(3)(3)平行于同一条直线的两个平面平行；平行于同一条直线的两个平面平行；(4)(4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；平行；(5)(5)过平面外一条直线必能作出与已知平面平行过平面外一条直线必能作出与已知平面平行的平面。的平
9、面。:/,/:A CB DABCDABCD 已知已知求证求证2.2.六棱柱的表面中六棱柱的表面中,互相平行的面最多有多少对互相平行的面最多有多少对?3.3.如图如图,E,F,E,E,F,E1 1,F,F1 1,分别分别 是长方体棱的中点是长方体棱的中点.求证求证:平面平面EDED1 1/平面平面BFBF1 1A1ABB1CC1DD1EE1FF14.4.求证求证:夹在两平行平面间的平行线段相等夹在两平行平面间的平行线段相等.BACD复习回顾复习回顾1.1.在平面几何中在平面几何中 角角 是怎样定义的？是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或
10、或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。二面角二面角2.2.在立体几何中在立体几何中,异面直线所成的角异面直线所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？直线直线a a、b b是异面直线是异面直线,经过空间任意一点经过空间任意一点O,O,分别引直线分别引直线a/a,a/a,b/b,b/b,我们把相交直线我们把相交直线a a 和和 b b所成的锐角所成的锐角 （或直角）叫做异（或直角）叫做异面直线所成的角。面直线所成的角。3.3.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角
11、平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫叫做这条直线和这个平面所成的角。做这条直线和这个平面所成的角。思考：异面直线所成的角、直线和平面思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？所成的角与有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角化为二维空间的角,即平面角。即平面角。拦洪坝拦洪坝水平面水平面 一个一个平面平面内的一条内的一条直线直线把这个把这个平面平面分成两分成两个部分，其中的每一部分都叫做个部分，其中的每一部分都叫做半平面半平面。一条一条直线直线上的一个上的一个点点把这条把这条直线直线分成两个分成两个部分部
12、分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做射线射线。AllOBA 从一条从一条直线直线出发的两个出发的两个半平面半平面所组成的图形所组成的图形叫做叫做二面角二面角。这条这条直线直线叫做二面角的叫做二面角的棱棱。这两个这两个半平面半平面叫做二面叫做二面角的角的面面。平面角由射线平面角由射线-点点-射线构成。射线构成。二面角由半平面二面角由半平面-线线-半平面构成。半平面构成。lABPQ二面角的表示二面角的表示l 二面角二面角PlQ 二面角二面角AB二面角二面角PABQ二面角二面角 l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD二面角的画法二面角的画法CEFDAB角角图形图形构成构成表示法表
13、示法O顶点顶点边边边边AB二面角二面角从平面内一点出从平面内一点出发的两条射线所发的两条射线所组成的图形组成的图形.从空间一条直线出从空间一条直线出发的两个半平面所发的两个半平面所组成的图形组成的图形.定义定义射线射线点点射线射线半平面半平面棱棱半平面半平面 AOB二面角二面角 a 或或 AB a 棱棱面面面面AB 以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为上任意一点为端点，在端点，在两个面内两个面内分别作分别作垂直垂直于于棱的两条射线，这两条射线所成棱的两条射线，这两条射线所成的的角角叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角。平面角是平面角是直角直角的二面角叫做的二面角叫做直二面角直二面角.二面角的度
14、量二面角的度量 l二面角的平面角的三个特征二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上点在棱上2.线在面内线在面内3.与棱垂直与棱垂直二面角的大小的范围二面角的大小的范围:0180 OABAOBCD l 二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：1、定义法定义法3、垂面法垂面法2、三垂线定理法三垂线定理法PABO练习：指出下列各图中的二面角的平面角：练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDAABCCDDB二面角二面角B-BC-AADBCl二面角二面角-l-OEOO二面角二面角A-BC-DD,.A Bl ACBDACl BDl AOD例例1 已知锐二面角已知锐二面角 l ，A为面为面 内一点内
15、一点，A到到 的的距离为距离为 2 ，到到 l 的距离为的距离为 4，求求二面角二面角 l 的的大小。大小。3解解：过过 A作作 AO 于于O，过过 O作作 OD l 于于D，连，连AD则由三垂线定理得则由三垂线定理得 AD l3AO=2 ，AD=4 AO为为 A到到 的距离的距离，AD为为 A到到 l 的距离的距离ADO就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角sinADO=ADO=60二面角二面角 l 的大小为的大小为60 在在Rt ADO中，中，43223AOADl二面角的计算：二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明证明 1中的角就是所求的角中的角就是
16、所求的角3、计算出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，求二面角中，求二面角D1ACD的大小？的大小？O此法为三垂此法为三垂线找平面角线找平面角的方法的方法在正方体在正方体AC1中，中，E，F分别是分别是AB，AD的中点，求二面角的中点，求二面角C1EFC的大小？的大小？EFABDCA1B1D1C1过正方形过正方形ABCD的顶点的顶点A引引SA底面底面ABCD，并使平面并使平面SBC，SCD都与底面都与底面ABCD成成45度度角，求二面角角，求二面角BSCD的大小？的大小？ABCDSOEABCAM已知：如图已知：如图
17、ABC的顶点的顶点A在平面在平面M上的射上的射影为点影为点A，ABC的面积是的面积是S，ABC的的面积是面积是S，设二面角设二面角A-BC-A为为 求证：求证：COS =S SD3.3.两平面垂直两平面垂直平面垂直的判定定理平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面如果一个平面经过另一个平面的一条垂线的一条垂线,那么这两平面垂直那么这两平面垂直ll 平面垂直的性质定理平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直如果两个平面互相垂直,那么那么在一个平面内垂直于它们交线的在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面直线垂直于另一个平面.,laaal alDBAE :,.:l BAB 已知为垂足
18、已知为垂足求证求证,.ABlABlAB 分析:因为所以要证只需分析:因为所以要证只需在 内找一条与 相交的直线垂直于在 内找一条与 相交的直线垂直于,.,.,.BClABClABBCABlAB 证明:在平面 内作则是证明:在平面 内作则是二面角的平面角二面角的平面角ABCl11111.(1),/;(2),;(3)/,/,判断下列命题是否正确2.ACA C CAB D DB 在正方体中求证:面面例例3.3.求证求证:如果两个平面垂直如果两个平面垂直,那么经那么经过第一个平面内的一个点垂直于第二过第一个平面内的一个点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内。个平面的直线必在第一个平面内。:,.:PP
19、a aa 已知已知求证求证PbcabPac:.,.cPbcb 证明 设过点 在平面 内证明 设过点 在平面 内作由平面垂直性质定理知作由平面垂直性质定理知.经过一点有且只有一条直线与平面 垂直经过一点有且只有一条直线与平面 垂直,.aba 与 重合 即与 重合 即在下列条件下，判断正三棱锥在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点的顶点P在底面在底面ABC内的射影位置内的射影位置在下列条件下，判断正三棱锥在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点的顶点P在底面在底面ABC内的射影位置内的射影位置1 1、三条侧棱相等、三条侧棱相等2 2、侧棱与底面所成的角相等、侧棱与底面所成的角相等3 3、侧面
20、与底面所成的角相等、侧面与底面所成的角相等4 4、顶点、顶点P P到到ABCABC的三边距离相等的三边距离相等5 5、三条侧棱两两垂直、三条侧棱两两垂直6 6、相对棱互相垂直、相对棱互相垂直7 7、三个侧面两两垂直、三个侧面两两垂直外心外心外心外心内心内心内心内心垂心垂心垂心垂心垂心垂心四面体四面体ABCD中，面中，面ADC面面BCD，面，面ABD 面面BCD，设，设DE是是BC边上的高，边上的高，求证：求证：平面平面ADE 面面ABC ABCED面面ADC面面BCD面面ABD 面面BCDAD 面面BCDAD BCDE BCBC 面面ADE面面ABC 面面ADE线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直
21、线线垂直线线垂直44P两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定定理,.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直那么这两个平面互相垂直:,ABABB AB已知已知:求证求证CDBAE :CD证明 设证明 设,BB BCD AB ABABCD ,BBECDBE 过 作且过 作且ABABBE CD二面角二面角的平角是直角的平角是直角.CD 两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理,如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,它们交线的直线,:,ABCD ABCD 已知已知:AB 求证求证CDBAE .垂垂直直于于另另一一个个平平面面:,CD ABABCD证明证明,BCDBBECD 垂垂足足过过 作作0,90BEABECDABE且是直二面角的平面角且是直二面角的平面角即即ABCDBE 则直线垂直平面 的两条相交直线和则直线垂直平面 的两条相交直线和.AB 根根据据线线面面垂垂直直判判定定定定理理有有
