1、实际背景实际背景向向 量量向量及其基本概念向量及其基本概念向量的数量积向量的数量积线性运算线性运算基本定理基本定理坐坐 标标 表表 示示向量的应用向量的应用两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若若|，则，则 ；若若 ，则，则m mk k；若若a ab b，b bc c，则，则a ac c.其中不正确的命题的个数为其中不正确的命题的个数为()A2 B3 C4 D5B(1)叫做向量叫做向量的加法向量加法有的加法向量加法有和和 (2)：从法则可以：从法则可以看出，如下图所示看出，如下图所示向量的线性运算求两个向量和的运算求两个向量和的运算三角形法则三角
2、形法则平行四边形法则平行四边形法则向量加法的几何意义向量加法的几何意义()1200aOABMABOMOAOBABBCCAGAGBGC 平平面面内内有有任任意意三三个个点点，若若是是线线段段的的中中点点，则则（）；（b b）ABCABC中中，M M为为BCBC边边的的中中点点，G G为为重重心心，则则，11211121,.,.(nnnnnOOAA AAAOAOAA AAAO 12n12n12n12n12n12nn n（c c）有有限限个个向向量量a a，a a，.a.a 相相加加 可可以以从从点点 出出发发逐逐一一作作向向量量aaaaaa则则向向量量为为这这些些向向量量的的和和,即即a+a+.+
3、a=a+a+.+a=(向向量量加加法法的的多多边边形形法法则则)当当A A 和和 重重合合时时 即即上上述述折折线线12.),.nOA AA成成封封闭闭折折线线时时 则则和和向向量量为为零零向向量量注意注意:逆用以上向量的和式逆用以上向量的和式,即把一个向量表示为若即把一个向量表示为若干个向量和的形式干个向量和的形式,是解决向量问题的关键是解决向量问题的关键.(3)，向量减法法则：三角形法则，其几何意义如下图向量减法法则：三角形法则，其几何意义如下图所示所示减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 ，这种，这种运算叫做向量的数乘，记作运算叫做向量的数乘，
4、记作a.它的长度与它的长度与方向规定如下：方向规定如下：；（4）向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义实数实数与向量与向量a的积是一个向量的积是一个向量|a|a|当当0时，时，a的方向与的方向与a的方向相同；当的方向相同；当0时，时，a的方向与的方向与a的方向相反，的方向相反，0时，时，a .统称为向量的统称为向量的线性运算线性运算三两个向量共线定理向量向量a(a0)与与b共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数，使使ba.向量的加、减、数乘运算向量的加、减、数乘运算a、b、c为任意向量为任意向量，、u、u1、u2为任意实数为任意实数ab；(ab)c ；(ua)；(u
5、)a；(ab)；(u1au2b)。四四运算律运算律baa(bc)(u)aauaabu1au2b.平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果如果 是一个平面内的两个是一个平面内的两个不共线不共线向量，向量，那么对这一平面内的任一向量那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有，有且只有一对实数一对实数 使：使：，其中不共，其中不共线的向量线的向量 叫做表示这一平面内所有向量叫做表示这一平面内所有向量的的一组基底一组基底。21,eea21,2211eea 21,ee:,DEABCABACMNDEBCBCaBDba bDE CEMN 例例 如如图图所所示示、是是中中，边边中中点点，分分别别是是，的的中中点点
6、，已已知知，试试用用，分分别别表表示示，和和。ABDMCENP81例例2考点一考点一 平面向量的线性运算平面向量的线性运算（11四川理四川理4）如图，正六边形）如图，正六边形ABCDEF中，中，BACDEF （）.A OB BEC ADD CFDAFEDCBBAADxAB AEyAC 0 xy 11xy过过ABC的重心任作一直线分别交的重心任作一直线分别交AB，AC于点于点D、E若若 ，则，则（A）4 （B）3 （C）2 （D）1的值为（的值为（）ABC,0,|1,|2CBa CAb a bab AD 1133ab2233ab3355ab4455ab（12大纲理）大纲理）中中,AB,AB边上的
7、高为边上的高为CD，若，若,则则A B.C.D.（）（）考点二考点二 共线向量共线向量(2)解解kab与与akb共线，共线，存在实数存在实数，使使kab(akb)，即即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.点评与警示点评与警示(1)(1)向量向量b b与非零向量与非零向量a a共线共线的充要条件是存在唯一实数的充要条件是存在唯一实数，使，使b baa.要注要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用向量，要注意待定系数法和方程思想的运用(2)
8、(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线点共线(2009北京，北京，2)已知向量已知向量a、b不共线，不共线，ckab(kR)，dab.如果如果cd，那么，那么()Ak1且且c与与d同向同向 Bk1且且c与与d反向反向Ck1且且c与与d同向同向 Dk1且且c与与d反向反向答案答案D33D1ABCOBOCO 平平面面上上三三点点，共共线线的的充充要要条条件件是是三三点点共共线线定定理理：存存在在实实
9、数数，使使OAOA，其其中中，为为平平面面：内内的的任任意意一一点点。120020006.100.101.200.201nnanSOBa OAaOCABCOSABCD 练练习习：（江江西西）已已知知等等差差数数列列的的前前 项项和和为为，若若，且且，三三点点共共线线（该该直直线线不不过过原原点点），则则（）A三点共线定理三点共线定理平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(,)axiy jx y 一一对应1122121212121111(,),(,),(,)(,)(,)(,)axybxyabxxyyabxxyyaxyxy 若则 2.向量的坐标运算向量的坐标运算3.向量平行的坐标表示向量平行的坐标表
10、示:(向量平行这一问题代数化向量平行这一问题代数化)1221/0abx yx y22yxayxa ），则），则，（设设32.(070,().9.6.4.3FAFBFCFAFBFCABCD 2 2全全国国12)12)设设F F为为抛抛物物线线y=4xy=4x的的焦焦点点,A,B,A,B,C C为为该该抛抛物物线线上上三三点点,若若则则B03.(0611)1,3,0,30.(,),()31.3.3.33OAOBOA OBCAOBAOCOCmOAnOBmm nRnABCD 福福建建已已知知点点 在在内内 且且设设则则C基基 础础 训训 练练1.(1,2),(,1),22,()11.1.2.322.(
11、3,1),(sincos),/,.33.(09),1,(2,1),_.abxababxABCDabmabDa bababxba 已已知知且且与与平平行行则则已已知知，且且则则m m的的最最小小值值为为（）A.-2B.-1C.-2A.-2B.-1C.-2广广东东 若若平平面面向向量量满满足足平平行行于于 轴轴则则已知两个非零向量已知两个非零向量a、b，作作OA=a,OB=b,.当当=时时，a与与b垂直，记作垂直，记作ab;当当=0时，时，a与与b共线且同向；共线且同向；当当=时，时，a与与b共线且反向共线且反向2特别注意：特别注意：（1 1）结合律不成立：）结合律不成立：；（2 2）消去律不成立
12、）消去律不成立 不能得到不能得到（3 3）=0=0不能得到不能得到 =或或 =但是乘法公式成立：但是乘法公式成立：；cbacbacaba cbbaa00b 2222babababa2222bbaaba222bbaaa b a b 1.若若（2,3）,(4,7),则则在在方向上的投影是方向上的投影是_.向量的投影向量的投影数量积运算数量积运算1 10PB 例例（全全国国）已已知知圆圆O O的的半半径径为为1 1，PAPA、PBPB为为该该圆圆的的两两条条切切线线，A A、B B为为两两切切点点，那那么么PAPA的的最最小小值值为为A.-4+2B.-3+2.C.-4+2 2D.-3+2 2A.-4
13、+2B.-3+2.C.-4+2 2D.-3+2 2D152AB AD 22ABBC，2ABAF AEBF 2求求 模模1(2008江苏，5)已知向量a与b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.7(,1),2,_.amam2.2.已已知知mR,mR,若若则则练习：3(089),()()0,()2.1.2.2.2 a bacbccABCD例例浙浙江江 已已知知是是平平面面内内两两个个互互相相垂垂直直的的单单位位向向量量 若若向向量量c c满满足足则则的的最最大大值值是是C,(3,3),2(1,1),cos_.ababa 设设向向量量 与与 的的夹夹角角为为若若则则3 1010向量的夹
14、角向量的夹角(1,0),(1,1)ab2ab3baa1211.(,2)(2,).(,)22221.(2,)(,).(,)332ijaij bijabABCD 引引申申：、已已知知 与与 为为互互相相垂垂直直的的单单位位向向量量，且且 与与 的的夹夹角角为为锐锐角角，则则实实数数 的的取取值值范范围围是是（）A12:|10,)3pab 22:|1(,3pab 13:|10,)3pab 4:|1(,3pab 1.(1,2),(3,),_.2.(1,3),(4,2),().1.1.2.2OAOBmOAABmababaABCD 已已知知向向量量若若则则已已知知与与 垂垂直直 则则向量的垂直向量的垂直(
15、11abca bacc a2b 广广东东）若若向向量量，满满足足且且，则则（）等等于于（）A.4 B.3 C.2 D.0A.4 B.3 C.2 D.03.平面向量的应用平面向量的应用(1)设设a、b是两个非零向量，夹角记为是两个非零向量，夹角记为，则则cos.(2)若若a(x1，y1)，b(x2，y2)是平面向是平面向量，则量，则cos.1用向量法求角(1)对非零向量a与b，ab0(2)若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab(1)向量a与非零向量b共线，当且仅当有唯一一个实数解，.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)是平面向量，则向量a与非零向量b共线的充要条件是2用向量法处
16、理垂直问题用向量法处理垂直问题3用向量法处理平行问题用向量法处理平行问题ab.y1y20.x1x2使abx2y1x1y20.4用向量法处理距离用向量法处理距离(或长度或长度)问题问题(1)设设a(x，y)是平面向量，则是平面向量，则 ，即，即|a|(2)若若A(x1，y1)、B(x2，y2)，且，且a2|a|2x2y2(1)向量在向量在中的应用中的应用(2)向量在向量在中的应用中的应用5向量在物理中的应用力的分解与合成速度的分解与合成例例1：已知向量：已知向量(cos,sin),(cos,cos),(1,0).axx bxx c （1）若）若 6xac求向量求向量与与的夹角；的夹角；9,28x()21f xa b （2）当）当时，求函数时，求函数的最大值。的最大值。，(,)ma b，(sin,sin)nBA，(2,2)pba 例例2(09上海）上海）已知已知ABC的角的角A、B、C所对所对的边分别是的边分别是a、b、c，设向量，设向量1/23mnmbcC （）若若，求求证证：ABCABC为为等等腰腰三三角角形形；（2 2）若若，边边长长，角角，求求ABCABC的的面面积积。
