1、第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示法 1.1.数列及其相关概念数列及其相关概念(1)(1)定义定义:按一定按一定顺序顺序排列的一列数叫做数列排列的一列数叫做数列.(2)(2)项项:数列中的数列中的每一个数每一个数都叫做这个数列的项都叫做这个数列的项.(3)(3)形式形式:a:a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,an n,或简记为或简记为aan n,其中其中a an n是数是数列的第列的第n n项项.【思考】【思考】(1)(1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同如果组成两个数列的数相同但排列次序不同,那么那么它们是相同的数列吗它们是相同的数列吗?提示提示
2、:从数列的定义可以看出从数列的定义可以看出,数列的数是按一定顺序数列的数是按一定顺序排列的排列的,如果组成数列的数相同但排列次序不同如果组成数列的数相同但排列次序不同,那么那么它们就不是同一数列它们就不是同一数列.(2)(2)同一个数在数列中可以重复出现吗同一个数在数列中可以重复出现吗?提示提示:在数列的定义中在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不并没有规定数列中的数必须不同同,因此因此,同一个数在数列中可以重复出现同一个数在数列中可以重复出现.例如例如:1,-:1,-1,1,-1,1,;2,2,2,.1,1,-1,1,;2,2,2,.2.2.数列的分类数列的分类分类标准分类标准 名称名称
3、 含义含义按项的按项的个数个数 有穷数列有穷数列 项数项数有限有限的数列的数列无穷数列无穷数列 项数项数无限无限的数列的数列按项的按项的变化趋势变化趋势 递增数列递增数列 从第从第2 2项起项起,每一项都每一项都大于大于它的前一项的数列它的前一项的数列递减数列递减数列 从第从第2 2项起项起,每一项都每一项都小于小于它的前一项的数列它的前一项的数列常数列常数列 各项相等各项相等的数列的数列摆动数列摆动数列 从第从第2 2项起项起,有些项有些项大于大于它的前一项它的前一项,有些项有些项小小于于它的前一项的数列它的前一项的数列3.3.数列与函数的关系数列与函数的关系序号序号1 12 23 34 4
4、n n项项a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a an n所以数列可以看成以所以数列可以看成以正整数集正整数集N N*(或它的有限子集或它的有限子集1,2,3,n)1,2,3,n)为定义域的函数为定义域的函数a an n=f(n)=f(n)当自变量按照当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值,反过反过来来,对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),如果如果f(i)(i=1,2,3,4,)f(i)(i=1,2,3,4,)有意义有意义,那么我们可以得到一个数列那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(4),f(n
5、),.f(1),f(2),f(3),f(4),f(n),.4.4.数列的通项公式数列的通项公式:如果数列如果数列aan n 的第的第n n项项a an n与与n n之间的之间的关系可以用关系可以用一个式子一个式子来表示来表示,那么那么这个公式这个公式叫做这个数叫做这个数列的通项公式列的通项公式.【素养小测】【素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)(1)1,2,3,4(1)1,2,3,4和和1,2,4,31,2,4,3是相同的数列是相同的数列.()(2)a(2)an n 与与a an n是一样的是一样的,都表示数列都表示数列.()(3)(3)所有数列都能
6、写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的的.()(4)(4)数列数列3,1,-1,-3,-5,-103,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为的通项公式为a an n=5-2n.=5-2n.()提示提示:(1)(1).两个数列相同两个数列相同,每一项都必须相同每一项都必须相同,而且数列具有顺序性而且数列具有顺序性.(2)(2).因为因为aan n 代表一个数列代表一个数列,而而a an n只是这个数列中的第只是这个数列中的第n n项项,故故aan n 与与a an n是不是不一样的一样的.(3)(3).有的数列就没有通项公式有的数列就没有
7、通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一而且有的数列的通项公式不唯一.(4)(4).第六项为第六项为-10,-10,不符合不符合a an n=5-2n,=5-2n,故故a an n=5-2n=5-2n不是此数列的通项公式不是此数列的通项公式.2.2.数列数列3,4,5,6,3,4,5,6,的一个通项公式为的一个通项公式为()A.aA.an n=n,nN=n,nN*B.aB.an n=n+1,nN=n+1,nN*C.aC.an n=n+2,nN=n+2,nN*D.aD.an n=2n,nN=2n,nN*【解析】【解析】选选C.C.这个数列的前这个数列的前4 4项都比序号大项都比序号大2,2,所以所
8、以,它它的一个通项公式为的一个通项公式为a an n=n+2,nN=n+2,nN*.3.3.已知数列已知数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n=n=n2 2+1,+1,则则122122是该数列是该数列的的()A.A.第第9 9项项B.B.第第1010项项C.C.第第1111项项D.D.第第1212项项【解析】【解析】选选C.C.令令n n2 2+1=122,+1=122,则则n n2 2=121,=121,所以所以n=11n=11或或n=-11(n=-11(舍去舍去).).4.4.已知数列已知数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n=2n-1,=2n-1,则则a a8
9、 8=_=_.【解析】【解析】a a8 8=2=28-1=15.8-1=15.答案答案:1515类型一数列的概念以及分类类型一数列的概念以及分类【典例】【典例】1.1.下列说法错误的是下列说法错误的是()A.A.数列数列4,7,3,44,7,3,4的首项是的首项是4 4B.B.数列数列aan n 中中,若若a a1 1=3,=3,则从第则从第2 2项起项起,各项均不等于各项均不等于3 3C.C.数列数列1,2,3,1,2,3,就是数列就是数列nnD.D.数列中的项不能是三角形数列中的项不能是三角形2.2.已知下列数列已知下列数列:2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2
10、016;2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;1,1,;,;1,-1,-,;,;1214n1122335n1(1)n2n 11,0,-1,sin1,0,-1,sin ,;,;2,4,8,16,32,;2,4,8,16,32,;-1,-1,-1,-1.-1,-1,-1,-1.其中其中,有穷数列是有穷数列是_,无穷数列是无穷数列是_,递增递增数列是数列是_,递减数列是递减数列是_,常数列是常数列是_,摆动数列是摆动数列是_(填序号填序号).).n2【思维【思维引】引】1.1.依据数列的定义逐项判断依据数列的定义逐项判断.2.2.依据数列分类中有关数列的定义依据数列
11、分类中有关数列的定义,逐个判断逐个判断.【解析】【解析】1.1.选选B.B.由数列的相关概念可知由数列的相关概念可知,数列数列4,7,3,44,7,3,4的首项是的首项是4,4,故故A A正确正确.同一个数在数列中可以重复出现同一个数在数列中可以重复出现,故故B B错误错误.按一定顺序排列的一列数称为数列按一定顺序排列的一列数称为数列,所以数列所以数列1,2,3,1,2,3,就是数列就是数列n,n,故故C C正确正确.数列中的项必须是数数列中的项必须是数,不能是其他形式不能是其他形式,故故D D正确正确.2.2.为有穷数列且为递增数列为有穷数列且为递增数列;为无穷数列、递减数为无穷数列、递减数
12、列列;为无穷数列、摆动数列为无穷数列、摆动数列;是摆动数列是摆动数列,也是无穷也是无穷数列数列;为递增数列为递增数列,也是无穷数列也是无穷数列;为有穷数列为有穷数列,也也是常数列是常数列.答案答案:【内化【内化悟】悟】1.1.与集合中元素的性质相比较与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有哪些特点数列中的项的性质具有哪些特点?提示提示:(1)(1)确定性确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集集合中的元素也具有确定性合中的元素也具有确定性;(2)(2)可重复性可重复性:数列中的数可以重复数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出而集合中的元素
13、不能重复出现现(即互异性即互异性););(3)(3)有序性有序性:一个数列不仅与构成数列的一个数列不仅与构成数列的“数数”有关有关,而而且与这些数的排列顺序有关且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序而集合中的元素没有顺序(即无序性即无序性););(4)(4)数列中的每一项都是数数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物表除数字外的其他事物.2.2.如何判断两个数列是相同数列如何判断两个数列是相同数列?提示提示:组成数列的数相同组成数列的数相同,且排列次序也相同的两个数且排列次序也相同的两个数列才是相同的数列列才是相同的数列.【类题【类题通】
14、通】数列概念的三个注意点数列概念的三个注意点(1)(1)数列数列aan n 表示数列表示数列a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,an n,不是表示一不是表示一个集合个集合,与集合表示有本质的区别与集合表示有本质的区别.(2)(2)从数列的定义可以看出从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而如果组成数列的数相同而排列次序不同排列次序不同,那么它们就是不同的数列那么它们就是不同的数列;在定义中在定义中,并并没有规定数列中的数必须不同没有规定数列中的数必须不同,因此因此,同一个数在数列同一个数在数列中可以重复出现中可以重复出现.(3)(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性数列中各项的
15、次序揭示了数列的规律性,是理解、是理解、把握数列的关键把握数列的关键.【习练【习练破】破】下列数列中下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,A.1,B.sin B.sin ,sin,sin ,sin,sin ,sin,sin ,C.-1,-C.-1,-,-,-,-,-,D.1,2,3,4,30D.1,2,3,4,3013231133，13213313413131412【解析】【解析】选选C.C.数列数列1,1,是无穷数列是无穷数列,但但它不是递增数列它不是递增数列,而是递减数列而是递减数列;数列数列sin ,sin ,sin ,sin ,sin ,sin
16、 ,sin ,sin ,是无穷数列是无穷数列,但它既不是递增数列但它既不是递增数列,又不是递减数列又不是递减数列;数列数列-1,-,-,-,-1,-,-,-,是无穷数是无穷数列列,也是递增数列也是递增数列;数列数列1,2,3,4,301,2,3,4,30是递增数列是递增数列,但但不是无穷数列不是无穷数列.1321331341313231133，131412【加练【加练固】固】下列数列下列数列(1)1,2,2(1)1,2,22 2,2,23 3,2,26363;(2)0,10,20,30,1 000;(2)0,10,20,30,1 000;(3)2,4,6,8,10,;(3)2,4,6,8,10
17、,;(4)-1,1,-1,1,-1,;(4)-1,1,-1,1,-1,;(5)7,7,7,7,;(5)7,7,7,7,;(6)(6).其中有穷数列是其中有穷数列是_,无穷数列是无穷数列是_,递增递增数列是数列是_,递减数列是递减数列是_,摆动数列是摆动数列是_,常数列是常数列是_.(.(填序号填序号)1 1113 9 27 81，【解析】【解析】根据数列的概念知有穷数列是根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),(1)(2),无穷数无穷数列是列是 (3)(4)(5)(6),(3)(4)(5)(6),递增数列是递增数列是(1)(2)(3),(1)(2)(3),递减数列递减数列是是(6),(6),摆
18、动数列是摆动数列是 (4),(4),常数列是常数列是(5).(5).答案答案:(1)(2)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(6)(6)(4)(4)(5)(5)类型二观察法写出数列的通项公式类型二观察法写出数列的通项公式【典例】【典例】1.(20191.(2019哈尔滨高一检测哈尔滨高一检测)数列数列1,3,7,15,1,3,7,15,的一个通项公式是的一个通项公式是()A.aA.an n=2=2n nB.aB.an n=2=2n n+1+1C.aC.an n=2=2n+1n+1D.aD.an n=2=2n n-1-12.2.写出下
19、列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式:(1)(1),2,2,8,8,;,;(2)1,-3,5,-7,9,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9 999,;(3)9,99,999,9 999,;1292252(4)(4);(5)(5);(6)4,0,4,0,4,0,.(6)4,0,4,0,4,0,.世纪金榜导学号世纪金榜导学号222221 32 43 541357，11111 2 2 3 3 4 4 5，【思维【思维引】引】1.1.根据特点根据特点,观察、分析观察、分析,寻找数列的每一项与其寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系所在项的序号之间的关系,归纳出一
20、个通项公式即可归纳出一个通项公式即可.2.2.首先要熟悉一些常见数列的通项公式首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通然后对于复杂数列的通项公式项公式,其项与序号之间的关系不容易发现其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结要将数列各项的结构形式加以变形构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和和”“”“差差”“”“积积”“”“商商”后再进行归纳后再进行归纳.【解析】【解析】1.1.选选D.D.经过观察经过观察,1=2,1=21 1-1,3=2-1,3=22 2-1,7=2-1,7=23 3-1,-1,15=215=
21、24 4-1,-1,故推测故推测a an n=2=2n n-1.-1.2.(1)2.(1)数列的项有的是分数数列的项有的是分数,有的是整数有的是整数,可先将各项都可先将各项都统一成分数再观察统一成分数再观察:,所以所以,它它的一个通项公式为的一个通项公式为a an n=.1 4 9 16 252 2 222，2n2(2)(2)数列各项的绝对值分别为数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,1,3,5,7,9,是连续的正是连续的正奇数奇数,其通项公式为其通项公式为2n-1;2n-1;考虑考虑(-1)(-1)n+1n+1具有转换符号的具有转换符号的作用作用,所以数列的一个通项公式为所以数列的一个通
22、项公式为a an n=(-1)=(-1)n+1n+1(2n-1).(2n-1).(3)(3)各项加各项加1 1后后,分别变为分别变为10,100,1000,10000,10,100,1000,10000,此数列的此数列的通项公式为通项公式为1010n n,可得原数列的一个通项公式为可得原数列的一个通项公式为a an n=10=10n n-1.-1.(4)(4)数列中每一项均由三部分组成数列中每一项均由三部分组成,分母是从分母是从1 1开始的奇开始的奇数列数列,其通项公式为其通项公式为2n-1;2n-1;分子的前一部分是从分子的前一部分是从2 2开始的开始的自然数的平方自然数的平方,其通项公式为
23、其通项公式为(n+1)(n+1)2 2,分子的后一部分分子的后一部分是减去一个自然数是减去一个自然数,其通项公式为其通项公式为n,n,综合得原数列的一综合得原数列的一个通项公式为个通项公式为a an n=.22n1nnn12n12n1(5)(5)这个数列的前这个数列的前4 4项的绝对值都等于序号与序号加项的绝对值都等于序号与序号加1 1的的积的倒数积的倒数,且奇数项为负且奇数项为负,偶数项为正偶数项为正,所以它的一个通所以它的一个通项公式是项公式是a an n=(-1)=(-1)n n .1n n1(6)(6)由于该数列中由于该数列中,奇数项全部都是奇数项全部都是4,4,偶数项全部都是偶数项全
24、部都是0,0,因此可用分段函数的形式表示通项公式因此可用分段函数的形式表示通项公式,即即a an n=又因为数列可改写为又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通项公式又可表示为因此其通项公式又可表示为a an n=2+2=2+2(-1)(-1)n+1n+1.4n0n.，为奇数，为偶数【素养【素养探】探】在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中,经常利经常利用核心素养中的逻辑推理用核心素养中的逻辑推理,通过研究数列的前几项与项通过研究数列的前几项与项的序号之间的关系的序号之间
25、的关系,归纳出数列的通项公式归纳出数列的通项公式.将本例将本例2(6)2(6)的数列改为的数列改为“3,5,3,5,3,5,”,3,5,3,5,3,5,”,如何写出如何写出其通项公式其通项公式?【解析】【解析】此数列为摆动数列此数列为摆动数列,奇数项为奇数项为3,3,偶数项为偶数项为5,5,故故通项公式可写为通项公式可写为a an n=此数列两项此数列两项3 3与与5 5的平均的平均数为数为 =4,=4,奇数项为奇数项为4-1,4-1,偶数项为偶数项为4+1,4+1,故通项公式还故通项公式还可写为可写为a an n=4+(-1)=4+(-1)n n.3(n)5(n).为奇数，为偶数352【类题
26、【类题通】通】(1)(1)用观察法求数列通项公式的策略用观察法求数列通项公式的策略 (2)(2)对于符号交替出现的情况对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值可先观察其绝对值,再用再用(-1)(-1)k k处理符号问题处理符号问题.(3)(3)对于周期出现的数列对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和可考虑拆成几个简单数列和的形式的形式,或者利用周期函数或者利用周期函数,如三角函数等如三角函数等.【习练【习练破】破】写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,;(1)0,3,8,15,24,;(2)1(2)1 ,2,2 ,3,3 ,4,4 ,;,;(
27、3)1,11,111,1 111,.(3)1,11,111,1 111,.12233445【解析】【解析】(1)(1)观察数列中的数观察数列中的数,可以看到可以看到0=1-1,3=4-1,0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,所以它的一个通项公式是所以它的一个通项公式是a an n=n=n2 2-1(nN-1(nN*).).(2)(2)此数列的整数部分此数列的整数部分1,2,3,4,1,2,3,4,恰好是序号恰好是序号n,n,分数部分数部分与序号分与序号n n的关系为的关系为 ,故所求的数列的一个通项公式故所求的数列的一
28、个通项公式为为a an n=n+=(nN=n+=(nN*).).nn 1nn 12n2nn 1(3)(3)原数列的各项可变为原数列的各项可变为 9,9,99,99,999,999,9 999,9 999,易知数列易知数列9,99,999,9 999,9,99,999,9 999,的一个通的一个通项公式为项公式为a an n=10=10n n-1,-1,所以原数列的一个通项公式为所以原数列的一个通项公式为a an n=(10=(10n n-1)(nN-1)(nN*).).1919191919【加练【加练固】固】根据下面数列的前几项的值根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式写出数列的一个
29、通项公式:(1)3,5,7,9,11,13,;(1)3,5,7,9,11,13,;(2)(2),;,;(3)0,1,0,1,0,1,;(3)0,1,0,1,0,1,;234156358631099(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,;(5)2,-6,12,-20,30,-42,.(5)2,-6,12,-20,30,-42,.【解析】【解析】(1)(1)从从3 3开始的奇数列开始的奇数列,a,an n=2n+1.=2n+1.(2)(2)分子为偶数分子为偶数,分母为相邻两奇数的积分母为相邻两奇数的积a an n=;=;2n2n1 2n1nnn1(1
30、)n1(3)aa|sin|;22 或(4)(4)将数列变形为将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,7+0,8+1,所以所以 (5)(5)将数列变形为将数列变形为1 12,-22,-23,33,34,-44,-45,5,5 56,6,所以所以a an n=(-1)=(-1)n+1n+1n(n+1).n(n+1).nn1(1)an2；类型三数列通项公式的简单应用类型三数列通项公式的简单应用【典例】【典例】(2019(2019张家口高一检测张家口高一检测)已知数列已知数列aan n 的通的通项公式为项公式为a an
31、 n=.(1)(1)求求a a1010.3n23n1(2)(2)判断判断 是否为该数列中的项是否为该数列中的项.若是若是,它为第几项它为第几项?若若不是不是,请说明理由请说明理由.(3)(3)求证求证:0a:0an n1.3,3n+13,所以所以0 1,0 1,所以所以01-1,01-1,即即0a0an n1.0,a0,an n0?0;0;30+n-n30+n-n2 20,0,解得解得n=6;0n6,n=6;0n6,即即n=6n=6时时,a,an n=0;=0;当当0n60n0;0;当当n6n6且且nNnN*时时,a,an n0.0.【加练【加练固】固】已知数列已知数列aan n 的通项公式为
32、的通项公式为a an n=.(1)(1)写出数列的第写出数列的第4 4项和第项和第6 6项项.(2)(2)试问试问 是该数列的项吗是该数列的项吗?若是若是,是第几项是第几项?若不是若不是,请说明理由请说明理由.24n3n110【解析】【解析】(1)(1)因为因为a an n=,=,所以所以a a4 4=,=,a a6 6=.=.(2)(2)令令 =,=,则则n n2 2+3n-40=0,+3n-40=0,解得解得n=5n=5或或n=-8,n=-8,注意到注意到nNnN*,故将故将n=-8n=-8舍去舍去,所以所以 是该数列的第是该数列的第5 5项项.24n3n2443 4 172463 6 2
33、2724n3n1101101.情节是叙事性文学作品内容构成的要素之一,是叙事作品中表现人物之间相互关系的一系列生活事件的发展过程。2.它由一系列展示人物性格,反映人物与人物、人物与环境之间相互关系的具体事件构成。3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整体感知小说的起点。命题者在为小说命题时,也必定以情节为出发点,从整体上设置理解小说内容的试题。通常从情节梳理、情节作用两方面设题考查。4.根据结构来梳理。按照情节的开端、发展、高潮和结局来划分文章层次,进而梳理情节。5.根据场景来梳理。一般一个场景可以梳理为一个情节。小说中的场景就是不同时间人物活动的场所。6.根据线索来梳理。抓住线索是把握小说故事发展的关键。线索有单线和双线两种。双线一般分明线和暗线。高考考查的小说往往较简单,线索也一般是单线式。7.阅历之所以会对读书所得产生深浅有别的影响，原因在于阅读并非是对作品的简单再现，而是一个积极主动的再创造过程，人生的经历与生活的经验都会参与进来。8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理解力有所欠缺，所以在读书时往往容易只看其中一点或几点，对书中蕴含的丰富意义难以全面把握。9.自信让我们充满激情。有了自信，我们才能怀着坚定的信心和希望，开始伟大而光荣的事业。自信的人有勇气交往与表达，有信心尝试与坚持，能够展现优势与才华，激发潜能与活力，获得更多的实践机会与创造可能。
