1、第一讲 导数概念导数概念导数概念一、导数概念二、求导举例导数概念导数概念一、导数概念二、求导举例一、导数概念一、导数概念(一)函数在一点处可导的概念(二)函数在区间上可导的概念一、导数概念一、导数概念(一)函数在一点处可导的概念(二)函数在区间上可导的概念(一一)函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念1引例2导数定义3单侧导数4几何意义5可导与连续的关系(一一)函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念1引例2导数定义3单侧导数4几何意义5可导与连续的关系xyo（一）引例（一）引例变速直线运动的速度变速直线运动的速度（1 1）匀速运动：匀速运动：变速运动：变速运动：平面曲线的切线平面曲
2、线的切线（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v)(0tv)(0tv?tst 0lim)(0tv 瞬时速度瞬时速度切线定义：切线定义：（一）引例（一）引例变速直线运动的速度变速直线运动的速度（1 1）匀速运动：匀速运动：变速运动：变速运动：平面曲线的切线平面曲线的切线（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v)(0tv)(0tv?tst 0lim)(0tv 瞬时速度瞬时速度切线定义：切线定义：xyoMN（一）引例（一）引例变速直线运动的速度变速直线运动的速度（1 1
3、）匀速运动：匀速运动：变速运动：变速运动：平面曲线的切线平面曲线的切线（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v)(0tv)(0tv?tst 0lim)(0tv 瞬时速度瞬时速度切线定义：切线定义：xyoMN（一）引例（一）引例变速直线运动的速度变速直线运动的速度（1 1）匀速运动：匀速运动：变速运动：变速运动：平面曲线的切线平面曲线的切线（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v)(0tv)(0tv?tst 0lim)(0tv 瞬时速度瞬时速度切线定义：切线定义：x
4、yoMN（一）引例（一）引例变速直线运动的速度变速直线运动的速度（1 1）匀速运动：匀速运动：变速运动：变速运动：平面曲线的切线平面曲线的切线（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v)(0tv)(0tv?tst 0lim)(0tv 瞬时速度瞬时速度切线定义：切线定义：xyoMN（一）引例（一）引例变速直线运动的速度变速直线运动的速度（1 1）匀速运动：匀速运动：变速运动：变速运动：平面曲线的切线平面曲线的切线（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v)(0tv)(0
5、tv?tst 0lim)(0tv 瞬时速度瞬时速度切线定义：切线定义：x xyoMT割线的极限位置割线的极限位置（一）引例（一）引例变速直线运动的速度变速直线运动的速度（1 1）匀速运动：匀速运动：变速运动：变速运动：平面曲线的切线平面曲线的切线（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v)(0tv)(0tv?tst 0lim)(0tv 瞬时速度瞬时速度切线定义：切线定义：割线的极限位置割线的极限位置xo0 xx xx 0)(0 xf)(xxf 0y)()(00 xfxxfy xy MNk MTk xyx 0limMTk MTk?切
6、线斜率切线斜率物物 理理 问问 题题几几 何何 问问 题题不同点：不同点：背景不同背景不同（一）引例（一）引例变速直线运动的速度变速直线运动的速度（1 1）匀速运动：匀速运动：变速运动：变速运动：平面曲线的切线平面曲线的切线（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v)(0tv)(0tv?tst 0lim)(0tv 瞬时速度瞬时速度切线定义：切线定义：割线的极限位置割线的极限位置xo0 xx xx 0)(0 xf)(xxf 0y)()(00 xfxxfy xy MNk MTk xyx 0limMTk MTk?切线斜率切线斜率不同点：
7、不同点：背景不同背景不同相同点：相同点：方法相同方法相同算算 增增 量量求求 比比 值值取取 极极 限限（一）引例（一）引例变速直线运动的速度变速直线运动的速度（1 1）匀速运动：匀速运动：变速运动：变速运动：平面曲线的切线平面曲线的切线（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v)(0tv)(0tv?tst 0lim)(0tv 瞬时速度瞬时速度切线定义：切线定义：割线的极限位置割线的极限位置xo0 xx xx 0)(0 xf)(xxf 0y)()(00 xfxxfy xy MNk MTk xyx 0limMTk MTk?切线斜率切
8、线斜率不同点：不同点：背景不同背景不同相同点：相同点：方法相同方法相同数学形式相同数学形式相同极限极限极限极限xyx 0lim(一一)函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念1引例2导数定义3单侧导数4几何意义5可导与连续的关系(一一)函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念1引例2导数定义3单侧导数4几何意义5可导与连续的关系即即:xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000定义定义设函数设函数)(xfy 在点在点0 x的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,并称这个极限为函数并称这个极限为函数在点在点0 x处处可导可导,当自变量当自变量x在在x0处取得增量处取得增量(
9、点点x xx 0仍在该邻域内仍在该邻域内)时时,相应地，相应地，因变量取得增量因变量取得增量);()(00 xfxxfy 如果如果y 与与x 之比之比当当0 x时的极限存在时的极限存在,那么称函数那么称函数)(xfy 在点在点0 x处的导数处的导数,)(xfy 记为记为)(0 x f也可记作也可记作:0|xxy 0|ddxxxy 0|d)(dxxxxf 或或l注注变化率变化率导数的实质导数的实质:(1)线密度、线密度、电流强度电流强度xy 因变量因变量y在区间上的平均变化率在区间上的平均变化率0 x)(0 xf 因变量因变量y在一点处的变化率在一点处的变化率导数的背景导数的背景 (2)反应速度
10、反应速度物理：物理：角速度、角速度、加速度、加速度、化学：化学：经济学：经济学：边际成本边际成本导数的定义式导数的定义式:(3)(0 xf xxfxxfx )()(lim000导数的定义式的其它形式导数的定义式的其它形式:(4)(0 xf 000()()limhf xhf xh 000 xxxfxfxx )()(limu例例1 1xxfxxfx )()(lim000)(0 xf 000()()limhf xhf xhh)(02xf 初值必须是初值必须是f(x0 0)形式相同形式相同)(0 xf 存在存在 若若,lim0 xyx也称也称)(xf在在0 x的导数为无穷大的导数为无穷大.(5)若若在
11、点在点 0 x就说函数就说函数不可导不可导 不存在不存在,xyx 0lim)(xfy (一一)函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念1引例2导数定义3单侧导数4几何意义5可导与连续的关系(一一)函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念1引例2导数定义3单侧导数4几何意义5可导与连续的关系若极限若极限xxfxxfxyxx )()(limlim0000记作记作)(0 xf (左左)(左左)0(x)0(x)(0 xf 0 x存在存在,定理定理定义定义在点在点的某个右的某个右 邻域内有定义邻域内有定义,设函数设函数)(xfy 0 x则称此极限值为则称此极限值为)(xf在在0 x处的右处的右
12、导数导数,函数函数在点在点)(xfy 0 x可导可导)(0 xf)(0 xf和和都存在且相等都存在且相等(一一)函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念1引例2导数定义3单侧导数4几何意义5可导与连续的关系(一一)函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念1引例2导数定义3单侧导数4几何意义5可导与连续的关系xyo)(xfy CT0 xM曲线曲线)(xfy 在点在点),(00yx的切线斜率的切线斜率)(tan0 xf 切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf(一一)函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念1引例2导数定
13、义3单侧导数4几何意义5可导与连续的关系(一一)函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念1引例2导数定义3单侧导数4几何意义5可导与连续的关系定理定理处可导在点0 xxf)(处连续在点0 xxf)(函数在点函数在点x0 0连续未必可导连续未必可导u例例2 23xxf)(在在0 x处连续处连续但在但在0 x处不可导处不可导u例例3 3xxf)(在在0 x处连续处连续但在但在0 x处不可导处不可导l注注xoyxoy一、导数概念一、导数概念(一)函数在一点处可导的概念(二)函数在区间上可导的概念一、导数概念一、导数概念(一)函数在一点处可导的概念(二)函数在区间上可导的概念定义定义定义定义定义定
14、义 若函数若函数)(xfy 在区间在区间I上的每一点处可导，上的每一点处可导，这时，对于区间这时，对于区间I上的任一点上的任一点x，都对应着，都对应着)(xf的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数这个函数称为原来函数)(xf的导函数的导函数记作记作:,y),(xf xyddxxfd)(d或或若函数若函数)(xfy 在在),(ba内的每一点处可导内的每一点处可导,则称函数则称函数)(xfy 在在内可导内可导.),(ba若函数若函数)(xfy 在在则称函数则称函数)(xfy 在在上可导上可导.在在ax 处右可导，处右可导，在
15、在bx 处左可导，处左可导，),(ba内的每一点处可导内的每一点处可导,ba导函数与导数的区别与联系导函数与导数的区别与联系区别区别:)(xf 函数函数)(0 xf 数数联系联系:00 xxxfxf )()(注意注意:)()(00 xfxf结论结论导函数的定义式导函数的定义式xxfxxfxfx )()(lim)(0函数函数)(xfy 在在上可导上可导,ba函数函数)(xfy 在在上连续上连续,ba导数概念导数概念一、导数概念二、求导举例导数概念导数概念一、导数概念二、求导举例用定义求导步骤用定义求导步骤:()();yf xxf x ()();yf xxf xxx xxfxxfxyxfxx )(
16、)(limlim)(00导函数的定义式导函数的定义式:xxfxxfxfx )()(lim)(0(1)(1)算增量算增量(2)(2)求比值求比值(3)(3)取极限取极限u例例4 4u例例5 5u例例6 6u例例8 8求求 11 xxxxxfarcsin)()(1 x在在 处的导数处的导数 u例例9 9确定确定a,b使使 112xbaxxxxf)(处处可导处处可导 在在2)(xxf 1 x求求处的导数处的导数xxfsin)(求求的导数的导数xexf)(求求的导数的导数u例例7 7 00sin)(2xxxxxf求求的导数的导数l注注 求分段函数在分段点处的导数必须用定义求分段函数在分段点处的导数必须用定义
