1、1.函数的单调性函数的单调性 一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为 I：如果对于属于定义域如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的内某个区间上的任意两个自变量的值值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这在这个区间上是增函数个区间上是增函数.如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内某个区间上的内某个区间上的任意两个自变量的值任意两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说f(x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减函数是增函数还是减函
2、数函数.是对定义域内某个区间而言的是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2，当，当x0，+时是增函数，当时是增函数，当x(-，0)时是减函数时是减函数.2.单调区间单调区间 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数函数y=f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有(严格的严格的)单调性，这一区间叫单调性，这一区间叫做做y=f(x)的单调区间的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，在单调区间上增函数
3、的图象是上升的，减函数的图象是下降的减函数的图象是下降的.3.用定义证明函数单调性的步骤用定义证明函数单调性的步骤证明函数证明函数f(x)在区间在区间M上具有单调性的步骤：上具有单调性的步骤：(1)取值：对任意取值：对任意x1,x2M，且且x1x2；(2)作差：作差：f(x1)-f(x2)；(3)判定差的正负；判定差的正负；(4)根据判定的结果作出相应的结论根据判定的结果作出相应的结论.4.4.复合函数的单调性复合函数的单调性 复合函数复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：的单调性密切相关，其规律如下：注意：函数的
4、单调区间只能是其定义域的子区间注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 返回返回课课 前前 热热 身身1.下列函数中，在区间下列函数中，在区间(-，0)上是增函数的是上是增函数的是()(A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a0)(C)h(x)=-2/(x+1)(D)s(x)=log(1/2)(-x)2.定义在区间定义在区间(-，+)的奇函数的奇函数f(x)为增函数，偶函数为增函数，偶函数g(x)在区间在区间0,+)的图象与的图象与f(x)的图象重合，设的图象重合，设ab0，给出，给出下列不等式：下列不等式：f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)g(
5、a)-g(-b);f(a)-f(-b)g(b)-g(-a);f(a)-f(-b)g(b)-g(-a)其中成立的是其中成立的是()(A)与与 (B)与与 (C)与与 (D)与与 DB答案：答案：(3)B (4)(-，-1)，(-1，+)(-1，1(5)C3.如果函数如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间在区间(-，4上是减函数，上是减函数，那么实数那么实数a的取值范围是的取值范围是()(A)(-，-3)(B)(-，-3)(C)(-3，+)(D)(-，3)4.函数函数 的减区间是的减区间是_；函；函数数 的减区间是的减区间是_5.函数函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的
6、减区间是的减区间是()A.(-，1)B.(2，+)C.（1，32）D.32，2 xxxf11 xxxf11返回返回1.讨论函数讨论函数f(x)=x+a/x(a0)的单调性的单调性【解题回顾解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分含参数函数单调性的判定，往往对参数要分类讨论类讨论.本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分有用，应予重视有用，应予重视.【解题回顾解题回顾】原函数及其反函数的单调性是一致的原函数及其反函数的单调性是一致的.函数函数的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、最值、解的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、最值、解不等
7、式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义不等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义域域.3.设设试判断函数试判断函数f(x)的单调性并给出证明；的单调性并给出证明；若若f(x)的反函数为的反函数为f-1(x)，证明方程，证明方程f-1(x)=0有惟一解；有惟一解；解关于解关于x的不等式的不等式f x(x-1/2)1/2 xxxxf11lg21【解题回顾解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外本题主要是考查复合函数的单调性，当内外函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相异时，为减函数异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间
8、一定是定义域另外，复合函数的单调区间一定是定义域的子区间，在解题时，要注意这一点的子区间，在解题时，要注意这一点.4.是否存在实数是否存在实数a，使函数，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间在区间2，4上是上是增函数增函数?返回返回【解题回顾解题回顾】抽象函数是高考考查函数的目标之一、几种常抽象函数是高考考查函数的目标之一、几种常见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如f(x+g)=f(x)+f(y)f(x)f(y)=f(x+g)f(xy)=f(x)+f(y)等分别与一次函数、等分别与一次函数、指数函数、对数函数相对应指数函数、对数函数相
9、对应.本题第四问在前三个问题的基本题第四问在前三个问题的基础上给出则水到渠成础上给出则水到渠成.5.定义在定义在(-1，1)上的函数上的函数f(x)满足以下两个条件：满足以下两个条件：对任意对任意x,y(-1，1)，都有，都有 当当x(-1，0)时，有时，有 f(x)0.(1)判定判定f(x)在在(-1，1)上的奇偶性，并说明理由上的奇偶性，并说明理由.(2)判定判定f(x)在在(-1，0)上的单调性，并给出证明上的单调性，并给出证明.(3)求证：求证：(4)求证：求证：xy1yxfyfxfNn2n1f1n1f13nn1f221f13nn1f111f51f2(1)对抽象函数单调性及奇偶性的判定
10、仍以定义为中心对抽象函数单调性及奇偶性的判定仍以定义为中心.结结合抽象函数关系式对变量进行适当的赋值不以定义为主线合抽象函数关系式对变量进行适当的赋值不以定义为主线则一切变形会失去目标则一切变形会失去目标.(2)后一问题的解决、注意联系前一问题、看能否找到办法后一问题的解决、注意联系前一问题、看能否找到办法.返回返回书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋努 力 才 能 成 功！勤劳的孩子展望未来勤劳的孩子展望未来,但懒惰的孩子享受现在但
11、懒惰的孩子享受现在!什什 么么 也也 不不 问问 的的 人人 什什 么么 也也 学学 不不 到到 !怀怀 天天 下下 ，求求 真真 知知 ，学学 做做 人人1.能使函数式有意义的实数能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域的集合称为函数的定义域.求求函数的定义域的主要依据是：函数的定义域的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于指数、对数式的底必须大于零且不等于1.2.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的如
12、果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那那么，它的定义域是使各部分都有意义的么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合的值组成的集合.3.已知已知f(x)的定义域为的定义域为A，求函数，求函数fg(x)的定义域，实际上的定义域，实际上是已知中间变量是已知中间变量u=g(x)的取值范围，即的取值范围，即uA，即，即g(x)A，求自变量求自变量x的取值范围的取值范围.4.4.函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域法求函数的值域都应先考虑其定义域.5.5.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数
13、函数及各应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.6.6.求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.返回返回答案：答案：(1)(-，-1 (2)5，+）(3)C课课 前前 热热 身身1函数函数 的定义域是的定义域是_2.的值域是的值域是_3.定义域为定义域为R的函数的函数y=f(x)的值域为的值域为a，b，则函数，则函数y=f(x+a)的值域为的值域为()(A)
14、2a，a+b (B)0，b-a (C)a，b (D)-a，a+b xxxy2213122xxy4.4.函数函数 的定义域为的定义域为()()(A)(A)2 2，+(B)(-(B)(-，1)(C)(11)(C)(1，2)(D)(12)(D)(1，2)2)5.5.若函数若函数 的值域是的值域是-1-1，11，则函数，则函数f-1(x)的值的值域是域是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)101logaxyaxy21log22，2211，221，222-DA【解题回顾解题回顾】复合函数复合函数y=fg(x)的定义域的求法是：根据的定义域的求法是：根据f(x)的定义域列出的定义域列出
15、g(x)的不等式，解该不等式即可求出的不等式，解该不等式即可求出fg(x)的定义域的定义域 1.已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为a，b，且，且a+b0，求，求f(x2)的的定义域定义域2求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1);(2)(3);(4)xxysin2sin-2133xxyx-xy2-1111xxxy【解题回顾解题回顾】第第(1)题是通过求原函数的反函数的定义域，题是通过求原函数的反函数的定义域，求原函数的值域求原函数的值域.也可将原函数式化为也可将原函数式化为 ，可利用指，可利用指数函数的性质数函数的性质 3x0 得得 .01 yy01 yy第第(3)题用换元法求函数
16、的值域，要特别注意换元后新变量题用换元法求函数的值域，要特别注意换元后新变量的取值范围的取值范围第第(4)题利用基本不等式求函数的值域时，必须注意公式使题利用基本不等式求函数的值域时，必须注意公式使用的条件，本题也可分用的条件，本题也可分x0，x0两类情况利用基本不等两类情况利用基本不等式求函数的值域；利用判别式法求函数值域的关键是构造式求函数的值域；利用判别式法求函数值域的关键是构造自变量自变量x的二次方程的二次方程.baxdcxyxsinyy1221122yy第第(2)题采用了题采用了“部分分式法部分分式法”求解，即将原分式分解成两求解，即将原分式分解成两项项，其中一项为常数，另一项容易求
17、出值域，其中一项为常数，另一项容易求出值域形如形如(a0，c0)的函数均可使用这种方法的函数均可使用这种方法.本题也可化为本题也可化为 ，利用，利用|sinx|1，得，得 ，求函数的值域，求函数的值域.【解题回顾解题回顾】对于对于xR时时ax2+bx+c0恒成立恒成立.一定要分一定要分a=0与与a0两种情况来讨论两种情况来讨论.这样才能避免错误这样才能避免错误.3.已知函数已知函数y=mx2-6mx+m+8的定义域为的定义域为R(1)求实数求实数m的取值范围；的取值范围；(2)当当m变化时，若变化时，若y的最小值为的最小值为f(m)，求求f(m)的值域的值域 返回返回【解题回顾解题回顾】含有参
18、变数字母的二次函数的最值问题，主含有参变数字母的二次函数的最值问题，主要体现在顶点的变化和区间的变化，当然还有抛物线的开要体现在顶点的变化和区间的变化，当然还有抛物线的开口方向问题，当抛物线开口方向确定时，可能会出现三种口方向问题，当抛物线开口方向确定时，可能会出现三种情形：情形：(1)顶点顶点(对称轴对称轴)不动，而区间变化不动，而区间变化(移动移动)；(2)顶点顶点(对称轴对称轴)可移动，而区间不动；可移动，而区间不动；(3)顶点顶点(对称轴对称轴)和区间都可移动和区间都可移动无论哪种情形都结合图无论哪种情形都结合图象、顶点象、顶点(对称轴对称轴)与区间的位置关系对种种可能的情形进与区间的位置关系对种种可能的情形进行讨论行讨论.4.设设f(x)=x2-2ax(0 x1)的最大值为的最大值为M(a)，最小值为，最小值为m(a)，试求试求M(a)及及m(a)的表达式的表达式.返回返回1.凡涉及二次三项式恒成立问题，一定要注意讨论二次项凡涉及二次三项式恒成立问题，一定要注意讨论二次项系数是否为零系数是否为零.2.用基本不等式求函数值时，要注意等号成立的充要条用基本不等式求函数值时，要注意等号成立的充要条件件.3.不可将不可将f(x)中的中的“x”和和fg(x)的的“x”混为一谈，应搞清它混为一谈，应搞清它们们“范围范围”之间的关系之间的关系.返回返回
