1、2.3 平面向量的坐标表示与运算平面向量的坐标表示与运算2.3 平面向量的坐标表示与运算平面向量的坐标表示与运算2.3 平面向量的坐标表示与运算平面向量的坐标表示与运算2.4 平面向量的坐标表示与运算平面向量的坐标表示与运算平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1在平面内有点在平面内有点A和点和点B，向量怎样向量怎样 表示？表示？AB2平面向量基本定理的内容？什么叫基底？平面向量基本定理的内容？什么叫基底？a=xi+yj有且只有一对实有且只有一对实数数x、y，使得使得3分别与分别与x 轴、轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i、j 能否作能否作为基底？为基底？Oxyij任一向量任
2、一向量a，用这组基底可表示为用这组基底可表示为a（x，y）叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a=xi+yj那么那么i=（，）j=(，)0=（，）1 00 10 0OxyijaA(x,y)a1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?aOA 由由a 唯一确定唯一确定2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？两者相同两者相同向量向量a坐标（坐标（x，y）一一 一一 对对 应应概念理解概念理解3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？2121yyxxba 且且解：由图可知解：由图可知jiAAAAa
3、3221 )3,2(a同理，同理，)3,2(32 jib)3,2(32 jic)3,2(32 jid例例1如图，用基底如图，用基底i，j 分别表示向量分别表示向量a、b、c、d，并并求它们的坐标求它们的坐标AA2A1平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知已知a ，b ，求，求a+b，a-b),(11yx),(22yx 解：解：a+b=(i+j)+(i+j)1x1y2x2y=（+)i+（+)j1x2x1y2y即即),(2121yyxx a+b同理可得同理可得a-b),(2121yyxx 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
4、2已知已知 求求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：解：OAOBAB ),(),(2211yxyx ),(1212yyxx 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标标减去始点的坐标 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标应坐标),(yx a 例例2已知已知a=（2，1），），b=（-3，4），），求求a+b，a-b，3a+4b的坐标的坐标解：解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-
5、（-3，4）=（5，-3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）例例3 已知已知 ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为（2，1）、（）、（1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y），（），），（211321(AB)4,3(yxDC ，得，得由由DCAB )4,3()2,1(yx yx4231 22yx），的坐标为（的坐标为（顶点顶点22D2.如何用坐标表示向量平行如何用坐标表示向量平行(共线共线)的充要条件的充要条件?会得到什么样的重要结论会得到什么
6、样的重要结论?1.向量向量 与非零向量与非零向量 平行平行(共线共线)的充要条件是有且的充要条件是有且 只有一个实数只有一个实数 ,使得使得abba设设即即 中中,至少有一个不为至少有一个不为0,则由则由 得得),(11yxa),(22yxb ba0,b22,yx01221yxyx01221yxyx这就是说这就是说:的充要条件是的充要条件是 )0(/bba3.向量平行向量平行(共线共线)充要条件的两种形式充要条件的两种形式:0)0),(),(/)2(;)0(/)1(12212211yxyxbyxbyxabababba例例 题题1.已知已知ybayba求且,/),6(),2,4(2.已知已知 求证求证:A、B、C 三点共线。三点共线。),5,2(),3,1(),1,1(CBA3.若向量若向量 与与 共线且共线且 方向相同方向相同,求求 x.),1(xa)2,(xb
