1、函数的最值函数的最值函数最值定义函数最值定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M(f(x)M)(2)存在x0I,使得f(x0)=M那么我们称M是函数y=f(x)的最大值(最小值)注意:(1)最值首先是函数值(2)最值是所有函数值中的最大或最小值 最大值、最小值问题最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能使用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问怎样才能使用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统
2、归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性论问题的两个方面：最值的存在性；最值的求法。；最值的求法。先看下面图像先看下面图像,直观感知最高点最低点以及与极点端点之间的关系 ab步骤步骤:1.求极点(极点可能为导数为0的点也可能是导数不存在的点);2.求极值与端点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)由上面图像看出，函数的最大最小值可能发生在极点处，也可能发生在区间的端点。因此,函数的最大最小值点应从：极点
3、 端点 中去寻找，这两种点中，函数取最大者为函数的最大点，取最小者为函数的最小值点，因此求 解指定区间上连续函数的最值最大最小点的步骤应为:()6(2)(1)fxxx解解3232例例 求求函函数数 y=2x+3x-12x+14y=2x+3x-12x+14的的在在-3,4-3,4上上的的最最大大值值与与最最小小值值.得得解解方方程程,0)(xf.1,221 xx )3(f;23 )2(f;34)1(f;7;142)4(f比较函数在稳定点和区间端点处的函数值：函数的最大点是 4，最大值是 142；函数的最小点是 1；最小值是 7-3-2-101234050100150快速一练快速一练你想学习疑难辨
4、析吗？你想学习疑难辨析吗？不，回主页不，回主页是，继续是，继续1注意注意:最值与极值的区别最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.5、求最值的步骤、求最值的步骤.(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;4、思考题：、思考题：不一定因为最值点不一定是区间内的点不一定因为最值点不一定是区间内的点.，有可能是端点，有可能是端点求端点的函数值与极值然后比较大小求端点的函数值与极值然后比较大小3、连续函数最值点的可疑点是端点与极点，极点的、连续函数最值点的可疑点是端点与极点，极点的可疑点是导数为可疑点是导数为0或导数不存在的点或导数不存在的点若目标函数
5、只有一个极点该点函数值一定若目标函数只有一个极点该点函数值一定最大最大(小）值吗小）值吗2、在闭区间上连续的函数一定存在最值、在闭区间上连续的函数一定存在最值你想学习解题规律吗？你想学习解题规律吗？不，回主页不，回主页是，继续是，继续步骤步骤:1.求最值点点可疑点求最值点点可疑点(可能是导数为可能是导数为0的点或导数不存的点或导数不存在的点或端点在的点或端点)2.把可疑值进行比较把可疑值进行比较,然后比较大小然后比较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小的就是最小值那个小的就是最小值;注意注意 ：我们可以扩大可疑的范围，把：我们可以扩大可疑的范围，把最值点的可疑点认为是导数为最
6、值点的可疑点认为是导数为0的点、导数不存在的点与端点，所以求出导数为的点、导数不存在的点与端点，所以求出导数为0点、导数不存在的点点、导数不存在的点后，直接把这三种可疑点的函数值求出后然后比较即可，而不再判断后，直接把这三种可疑点的函数值求出后然后比较即可，而不再判断是否为极点，这样有时会简单些是否为极点，这样有时会简单些指定区间上连续函数的最值的求法指定区间上连续函数的最值的求法例例1 1解解:)1)(2(6 xx.4,31232)(23与与最最小小值值上上的的最最大大值值在在求求函函数数 xxxxf得令,0)(xf.1,221 xx计算计算比较各值比较各值,得得1266)(2 xxxf又又
7、 )3(f9 )2(f20)1(f-7)4(f128最大值最大值f(4)=128最小值最小值f(1)=-7.,4,31232)(23存存在在最最大大值值与与最最小小值值在在该该区区间间上上上上连连续续在在 xxxxf因因 例2 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5 为了使火车站B与工厂C间的运费最省 问D点应选在何处？DC20kmAB100km 解 x 2400 xCD设ADx(km)y5kCD3kDB(k是某个正数)即 )100(340052xkxky(0 x100)B与C间的运费为y
8、则 DB100 x 由)34005(2xxky0 得 x15 其中以y380k为最小因此当AD15km时 运费最省 由于当x=0时,y400k 当x=15时y380k 例2 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5 为了使火车站B与工厂C间的运费最省 问D点应选在何处？)34005(2xxky0 得 x15 y5kCD3kDB(k是某个正数)即 )100(340052xkxky(0 x100)解 设ADx(km)B与C间的运费为y 则 2511500100kyx时，当v特殊情况下的最大值与最小
9、值 如果 f(x)在一个区间(有限或无限 开或闭)内可导且只有一个极点x0 那么 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值 说明 解 261bhW)(6122bdb261bhW)(6122bdb(0bd)由0)3(6122bdW 得函数的唯一驻点所以当db31时 抗弯截面模量 W 最大 这时时 抗弯截面模量 W 最大 这时dh32 把W表示成b的函数函数在唯一极点b0处一定取得最大值 例3 把直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁 问矩形截面的高h和宽b应如何选择才261bhW 能使梁的抗弯截面模量W()最大?
10、031,031WdbWdb时，当时，当db310得你想通过基础练习巩固你想通过基础练习巩固一下吗？一下吗？不，回主页不，回主页是，继续是，继续1：求函数：求函数 在所给区间上的最值：在所给区间上的最值：2,0,3xxxy6,93293233;93233620033,0,31minmax2yyyxyxyxyxxyxy经过比较知时，当时，当时，；当时，当得令解：1,2,23xxxxy2求函数 的最值3162 120,123maxmin232yxyxxxxyyxxy时，当时，当上是增函数，在区间函数解：的最大值、求函数xxy253,5402525425252522xxxxxxxxy解：.425)54
11、(,54maxfyyxy极大处左正右负的值在你想通过技能演练提高你想通过技能演练提高一下吗？一下吗？不，回主页不，回主页是，继续是，继续1 1、某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租。当租金定为每月套公寓要出租。当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去；当月租金每增加元时，公寓会全部租出去；当月租金每增加10元时元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？元修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套，101
12、8050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20(x 1018050 x)20(x 1068x)20(x 101)20(1068)(xxxR570 x 0 (x)R令令350 x（唯一极点）（唯一极点）答：每月每套租金为答：每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.（就是最大值点就是最大值点）2 2、大所围成的三角形面积最及切线与直线点处的上求一点，使曲线在该三角形，在曲边围成一个曲边及抛物线、由直线 8080 22xyxyxyxy解解如图。如图。),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为则则切切线线 PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA，)16,8(
13、200 xxB),0,8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x,0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍舍去去 xx0316;0,316SxSx时，当时当.316且为极大值点是区间内唯一一个极点.3160时时三三角角形形的的面面积积最最大大故故 x你想进入高考在线吗？你想进入高考在线吗？不，回主页不，回主页是，继续是，继续 1、2005(全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?
14、最大容积是多少?解：设容器的高为x，容器的体积为V，则V=（90-2x）（48-2x）x,(0V24)=4x3-276x2+4320 xV=12 x2-552x+4320由V=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36x0,10 x36时，V36时，V0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960又V(0)=0,V(24)=0所以当x=10,V有最大值V(10)=19602（北京卷）已知函数f(x)=x33x29xa,（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值 解：（I）f(x)3x26x9令f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，）（II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a，所以f(2)f(2)因为在（1，3）上f(x)0，所以f(x)在1,2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927，即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7
