1、第2课时函数的最大值、最小值【知识提炼知识提炼】函数最大值与最小值函数最大值与最小值最大值最大值最小值最小值条件条件一般地一般地,设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果存在实数如果存在实数M M满足满足:对对于任意的于任意的xI,xI,都有都有f(x)_Mf(x)_Mf(x)_Mf(x)_M存在存在x x0 0I,I,使得使得_f(xf(x0 0)=M)=M最大值最大值最小值最小值结论结论称称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值称称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值几何几何意义意义f(x)f(x)图象上最高点的图象上最
2、高点的_f(x)f(x)图象上最低点的图象上最低点的_纵坐标纵坐标纵坐标纵坐标【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题:(1)(1)任何函数都有最大值或最小值吗任何函数都有最大值或最小值吗?提示提示:不一定不一定,如函数如函数y=x,xRy=x,xR时就无最大值和最小值时就无最大值和最小值.(2)(2)若函数若函数f(x)=xf(x)=x2 2-1-1恒成立恒成立,则此函数的最小值就是则此函数的最小值就是-1-1吗吗?提示提示:不对不对.虽然虽然x x2 2-1-1恒成立恒成立,但在函数定义域内找不到一个但在函数定义域内找不到一个x x0 0的值的值使使f(xf(x0 0)=-1,
3、)=-1,根据最小值定义可知此结论不成立根据最小值定义可知此结论不成立.2.2.函数函数f(x)f(x)在在-2,2-2,2上的图象如图所示上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值则此函数的最小值、最大值分别是分别是()A.-1,0A.-1,0B.0,2B.0,2C.-1,2C.-1,2 D.,2D.,212【解析解析】选选C.C.由图象知点由图象知点(1,2)(1,2)是最高点是最高点,故故f(x)f(x)的最大值为的最大值为2.2.点点(-2,-1)(-2,-1)是最低点是最低点,故故f(x)f(x)的最小值为的最小值为-1.-1.3.3.设函数设函数f(x)=2x-1(x0),f(x)
4、=2x-1(x0),则则f(x)f(x)()A.A.有最大值有最大值B.B.有最小值有最小值C.C.既有最大值又有最小值既有最大值又有最小值D.D.既无最大值又无最小值既无最大值又无最小值【解析解析】选选D.D.画出函数画出函数f(x)=2x-1(x0)f(x)=2x-1(x0)的图象的图象,如图中实线部分所示如图中实线部分所示.由图象可知由图象可知,函数函数f(x)=f(x)=2x-1(x0)2x-1(x0 x1,+),f(x)0恒成立恒成立,试求实数试求实数a a的取值范围的取值范围.2x2x ax，【解析解析】方法一方法一:f(x)0:f(x)0对对x1,+)x1,+)恒成立恒成立,等价
5、于等价于x x2 2+2x+a0+2x+a0对对x1,+)x1,+)恒成立恒成立.设设y=xy=x2 2+2x+a,x1,+),+2x+a,x1,+),则则y=(x+1)y=(x+1)2 2+a-1+a-1在在1,+)1,+)上是增函数上是增函数,从从而而y yminmin=3+a.=3+a.于是当且仅当于是当且仅当y yminmin=3+a0,=3+a0,即即a-3a-3时时,f(x)0,f(x)0对对x1,+)x1,+)恒成立恒成立,故实故实数数a a的取值范围是的取值范围是(-3,+).(-3,+).方法二方法二:f(x)0:f(x)0对对x1,+)x1,+)恒成立恒成立,等价于等价于x
6、 x2 2+2x+a0+2x+a0对对x1x1恒成立恒成立,即即a-xa-x2 2-2x-2x对对x1x1恒成立恒成立.令令=-x=-x2 2-2x=-(x+1)-2x=-(x+1)2 2+1,+1,其在其在1,+)1,+)上是减函数上是减函数,所以当所以当x=1x=1时时,maxmax=-3.=-3.因此因此a-3.a-3.故实数故实数a a的取值范围是的取值范围是(-3,+).(-3,+).【方法技巧方法技巧】求解二次函数最值问题的顺序求解二次函数最值问题的顺序(1)(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图确定对称轴与抛物线的开口方向、作图.(2)(2)在图象上标出定义域的位置在图象上标出
7、定义域的位置.(3)(3)观察单调性写出最值观察单调性写出最值.【补偿训练补偿训练】(2015(2015日照高一检测日照高一检测)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax-3a-9+ax-3a-9在在R R上上的最小值为的最小值为0,0,则则f(1)=f(1)=.【解析解析】因为函数因为函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax-3a-9+ax-3a-9的图象开口向上的图象开口向上,对称轴为直线对称轴为直线x=-,x=-,所以所以f(x)f(x)在区间在区间 上单调递减上单调递减,在区间在区间 上单上单调递增调递增,又又f(x)f(x)的最小值为的最小值为0,0,所以所以解得解得a=
8、-6,a=-6,所以所以f(x)=xf(x)=x2 2-6x+9,f(1)=1-6x+9,f(1)=12 2-6-61+9=4.1+9=4.答案答案:4 4a2a(2，a,)22aaaf()0()a()3a 9 0222，即，类型三类型三利用单调性求函数最值利用单调性求函数最值【典例典例】1.1.函数函数f(x)=x+f(x)=x+在在x1,2x1,2上的最大值为上的最大值为,最小值最小值为为.2.2.已知函数已知函数f(x)=,x1,2.f(x)=,x1,2.(1)(1)判断并证明函数判断并证明函数f(x)f(x)的单调性的单调性.(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的最大值与最小值的最
9、大值与最小值.4x1x 1【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中如何求函数最值中如何求函数最值?提示提示:先判断函数在先判断函数在1,21,2上的单调性上的单调性,再根据单调性求最值再根据单调性求最值.2.2.典例典例2 2中中f(x)f(x)的定义域是什么的定义域是什么?求求f(x)f(x)的最值可借助函数的什么性质的最值可借助函数的什么性质?提示提示:函数函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是1,2,1,2,求函数的最值可借助函数的单调性求函数的最值可借助函数的单调性.【解析解析】1.1.设设1x1x1 1xx2 22,2,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=x)=
10、x1 1+-x+-x2 2-=(x=(x1 1-x-x2 2)+=(x)+=(x1 1-x-x2 2)因为因为1x1x1 1xx2 22,2,所以所以x x1 1-x-x2 20,1x0,1x1 1x x2 24,4,所以所以1 4,1 4,所以所以1-0.1-0,)()0,即即f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,f(x)0,f(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以所以f(x)f(x)在在1,21,2上为减函数上为减函数,所以所以f(x)f(x)在在1,21,2上的最大值为上的最大值为f(1)=5,f(1)=5,最小值为最小值为f(2)=4.f(2)=4.答案答案:5 54
11、 414x24x211 24 xxxx1 24(1).xx1 24xx1 24xx1 241xx2.(1)2.(1)函数函数f(x)=f(x)=在区间在区间1 1，2 2上是减函数，证明如下：上是减函数，证明如下：任取任取x x1 1,x,x2 21 1，2 2且且x x1 1xx2 2，则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=因为因为x x1 1，x x2 21 1，2 2且且x x1 1x0,x0,x1 1+10,x+10,x2 2+10+10，所以所以 00，即，即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)，所以所以f(x)=f(x)=是是1 1，2 2上的减函数上的减函
12、数.1x 1 2121121212x1 x1xx11x1 x1x1 x1x1 x1，2112xxx1(x1)1x 1(2)(2)由由(1)(1)知知f(x)=f(x)=是是1,21,2上的减函数上的减函数,所以所以f(x)f(x)minmin=f(2)=,f(x)=f(2)=,f(x)maxmax=f(1)=f(1)=1x 1131.2【延伸探究延伸探究】典例典例1 1变为变为:函数函数f(x)=f(x)=在在1,b(b1)1,b(b1)上的最小值上的最小值是是 ,则则b=b=.【解析解析】因为因为f(x)f(x)在在1,b1,b上是减函数上是减函数,所以所以f(x)f(x)在在1,b1,b上
13、的最小上的最小值为值为f(b)=f(b)=所以所以b=4.b=4.答案答案:4 41x1411b4，【方法技巧方法技巧】1.1.利用函数单调性求最值的一般步骤利用函数单调性求最值的一般步骤(1)(1)判断函数判断函数f(x)f(x)的单调性的单调性.(2)(2)借助最值与单调性的关系写出函数最值借助最值与单调性的关系写出函数最值.2.2.利用单调性求最值的两个关注点利用单调性求最值的两个关注点(1)(1)求最值勿忘求定义域求最值勿忘求定义域.(2)(2)闭区间上的最值闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误现的错误,求解时一定
14、注意求解时一定注意.【变式训练变式训练】求函数求函数y=f(x)=y=f(x)=在区间在区间1,21,2上的最大值和最小值上的最大值和最小值.【解析解析】任取任取x x1 1,x,x2 2,且且1x1x1 1xx2 22,2,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=因为因为1x1x1 1xx2 22,2,所以所以2x2x1 1+x+x2 24,4,即即63(x63(x1 1+x+x2 2)12,)12,又又1x1x1 1x x2 24,x0,0,故故f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).所以函数所以函数y=y
15、=在区间在区间1,21,2上为减函数上为减函数,y ymaxmax=f(1)=-,y=f(1)=-,yminmin=f(2)=-4.=f(2)=-4.2xx 3 22222221121 2121211 22121212xx3 xxxxxxx x3xxx3xx3 x3x3 x3x3 x3，2xx 312【补偿训练补偿训练】(2015(2015连云港高一检测连云港高一检测)函数函数y=y=xx3 3，4 4的最大值为的最大值为_._.【解析解析】易证易证y=y=在在3 3，4 4上单调递减，上单调递减，所以所以y ymaxmax=2+=7.=2+=7.答案：答案：7 72x 1x 2，2x 152
16、x 2x 2 53 2类型四类型四函数最值的应用函数最值的应用【典例典例】1.1.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,销售销售t t辆该品牌车辆该品牌车的利润的利润(单位单位:万元万元)分别为分别为L L1 1=-t=-t2 2+21t+21t和和L L2 2=2t.=2t.若该公司在两地共销售若该公司在两地共销售1515辆车辆车,则能获得的最大利润是则能获得的最大利润是万元万元.2.(20152.(2015扬州高一检测扬州高一检测)某产品生产厂家根据以往的销售经验得到某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律下面有关生产销售的统计规律:每
17、生产产品每生产产品x(x(百台百台),),其总成本为其总成本为G(x)(G(x)(万元万元),),其中固定成本为其中固定成本为2.82.8万元万元,并且每生产并且每生产1 1百台的生产成本百台的生产成本为为1 1万元万元(总成本总成本=固定成本固定成本+生产成本生产成本).).销售收入销售收入R(x)(R(x)(万元万元)满足满足:R(x)=R(x)=假定该产品产销平衡假定该产品产销平衡(即生产的产品都即生产的产品都能卖掉能卖掉),),根据上述统计规律根据上述统计规律,请完成下列问题请完成下列问题:(1)(1)写出利润函数写出利润函数y=f(x)y=f(x)的解析式的解析式(利润利润=销售收入
18、销售收入-总成本总成本).).(2)(2)工厂生产多少台产品时工厂生产多少台产品时,可使盈利最多可使盈利最多?20.4x4.2x,0 x 5,11,x 5，【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中自变量中自变量t t取整数还是实数取整数还是实数?提示提示:t t表示车辆数表示车辆数,所以所以t t只能取整数只能取整数.2.2.典例典例2 2中的利润函数在不同的区间上解析式一致吗中的利润函数在不同的区间上解析式一致吗?如何求其最大值如何求其最大值?提示提示:不一致不一致,函数属于分段函数函数属于分段函数;分别求出每一段上的最大值分别求出每一段上的最大值,再取其再取其中的最大数作为函数的最大值
19、中的最大数作为函数的最大值.【解析解析】1.1.设在甲地销售设在甲地销售x x辆辆,在乙地销售在乙地销售(15-x)(15-x)辆辆,设销售利润为设销售利润为L,L,则则L=-xL=-x2 2+21x+2(15-x)+21x+2(15-x)=-x=-x2 2+19x+30+19x+30 所以所以,当当x=9x=9或或x=10 x=10时时,L,L取最大值为取最大值为120.120.答案答案:120120221919(x)30.242.(1)2.(1)由题意得由题意得G(x)=2.8+x,G(x)=2.8+x,所以所以f(x)=R(x)-G(x)f(x)=R(x)-G(x)(2)(2)当当x5x
20、5时时,因为函数因为函数f(x)f(x)单调递减单调递减,所以所以f(x)f(5)=3.2(f(x)f(5)=3.2(万元万元),),当当0 x50 x5时时,函数函数f(x)=-0.4(x-4)f(x)=-0.4(x-4)2 2+3.6,+3.6,当当x=4x=4时时,f(x),f(x)有最大值为有最大值为3.6(3.6(万元万元),),所以当工厂生产所以当工厂生产4 4百台产品时百台产品时,可使赢利最大为可使赢利最大为3.63.6万元万元.20.4x3.2x 2.8,0 x 5,8.2 x,x 5.【延伸探究延伸探究】典例典例2 2条件不变条件不变,求盈利最多时每台产品的售价求盈利最多时每
21、台产品的售价.【解析解析】由由(2)(2)知当知当x=4x=4时盈利最大时盈利最大,此时收入为此时收入为R(4)=10.4,R(4)=10.4,所以所以此时售价为此时售价为 =2.6(=2.6(万元万元/百台百台)=260()=260(元元/台台).).R 44【方法技巧方法技巧】解答实际问题的步骤解答实际问题的步骤(1)(1)审题审题:审读实际问题审读实际问题,找出已知条件找出已知条件,未知条件未知条件,确定自变量和因变确定自变量和因变量的条件关系量的条件关系.(2)(2)建模建模:建立数学模型建立数学模型,列出函数关系式列出函数关系式.(3)(3)求解求解:分析函数性质分析函数性质,利用数
22、学知识探究问题解法利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量一定注意自变量的取值范围的取值范围).).(4)(4)回归回归:数学问题回归实际问题数学问题回归实际问题,写出答案写出答案.【变式训练变式训练】(2015(2015福州高一检测福州高一检测)某特产经营店销售某种品牌蜜饯某特产经营店销售某种品牌蜜饯,蜜饯每盒进价为蜜饯每盒进价为8 8元元,预计这种蜜饯以每盒预计这种蜜饯以每盒2020元的价格销售时该店一天元的价格销售时该店一天可销售可销售2020盒盒,经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒2020元的基元的基础上每减少一元则增加销售础上每减少一元则
23、增加销售4 4盒盒,每增加一元则减少销售每增加一元则减少销售1 1盒盒,现设每盒现设每盒蜜饯的销售价格为蜜饯的销售价格为x x元元.(1)(1)写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y(y(元元)与每盒蜜饯与每盒蜜饯的销售价格的销售价格x x的函数关系式的函数关系式.(2)(2)当每盒蜜饯销售价格当每盒蜜饯销售价格x x为多少时为多少时,该特产店一天内利润该特产店一天内利润y(y(元元)最大最大,并求出这个最大值并求出这个最大值.【解题指南解题指南】(1)(1)根据根据“利润利润=总收益总收益-总成本总成本”构建解析式构建解析式;(2)(2)分段求
24、函数最大值分段求函数最大值,最后综述最后综述.【解析解析】(1)(1)当当0 x200 x20时时,y=20+4(20-x)(x-8)=-4x,y=20+4(20-x)(x-8)=-4x2 2+132x-800,+132x-800,当当20 x4020 x40时时,y=20-(x-20)(x-8)=-x,y=20-(x-20)(x-8)=-x2 2+48x-320,+48x-320,所以所以 224x132x 800,0 x 20,yx48x 320,20 x 40.(2)(2)当当0 x200 x20时时,y=,y=所以当所以当x=16.5x=16.5时时,y,y取得最大值取得最大值2892
25、89元元;当当20 x4020 x40时时,y=-(x-24),y=-(x-24)2 2+256,+256,所以当所以当x=24x=24时时,y,y取得最大值取得最大值256256元元.综上所述综上所述,当蜜饯价格是当蜜饯价格是16.516.5元时元时,该特产店一天的利润最大该特产店一天的利润最大,最大值最大值为为289289元元.2334(x)2892，【补偿训练补偿训练】某市一家报刊摊点某市一家报刊摊点,从该市报社进该市的晚报价格是每从该市报社进该市的晚报价格是每份份0.400.40元元,卖出价格是每份卖出价格是每份0.600.60元元,卖不掉的报纸以每份卖不掉的报纸以每份0.050.05
26、元的价格元的价格退回报社退回报社.在一个月在一个月(按按3030天计算天计算)里里,有有1818天可卖出天可卖出400400份份,其余其余1212天只天只能卖出能卖出180180份份.摊主每天从报社进多少晚报摊主每天从报社进多少晚报,才能使每月获得的利润最才能使每月获得的利润最大大(设摊主每天从报社进晚报的份数是相同的设摊主每天从报社进晚报的份数是相同的)?)?【解析解析】设每天从报社进设每天从报社进x x份份(180 x400(180 x400且且xNxN*),),每月获利每月获利y y元元,则则y=0.2(18x+12y=0.2(18x+12180)-0.35180)-0.3512(x-1
27、80)12(x-180)=-0.6x+1188(180 x400=-0.6x+1188(180 x400且且xNxN*).).因为因为y=-0.6x+1188y=-0.6x+1188在在180,400180,400上是单调减函数上是单调减函数,所以当所以当x=180 x=180时时,函数取得最大值函数取得最大值y ymaxmax=-0.6=-0.6180+1188=1080.180+1188=1080.所以摊主每天从报社进晚报所以摊主每天从报社进晚报180180份份,才能使每月获得的利润最大才能使每月获得的利润最大.易错案例易错案例 由函数最值求参数由函数最值求参数【典例典例】若函数若函数f(
28、x)=xf(x)=x2 2-6x+m-6x+m在区间在区间2,+)2,+)上的最小值是上的最小值是-3,-3,则则实数实数m m的值为的值为_._.【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程分析解题过程,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗?提示提示:错误的根本原因是没有考虑函数的单调情况错误的根本原因是没有考虑函数的单调情况,想当然认为函数在想当然认为函数在2,+)2,+)上的最小值是上的最小值是f(2)f(2)而致错而致错.【自我矫正自我矫正】函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-6x+m-6x+m的对称轴是的对称轴是x=3,x=3,开口向上开口向上,所以函数所以函数f(x)f(x
29、)在在2,32,3上单调递减上单调递减,在在3,+)3,+)上单调递增上单调递增,故函数在故函数在x=3x=3处取得处取得最小值最小值,即即f(3)=3f(3)=32 2-6-63+m=-3,3+m=-3,解得解得m=6.m=6.故实数故实数m m的值为的值为6.6.答案答案:6 6【防范措施防范措施】求最值时要明确函数单调性求最值时要明确函数单调性求函数最值时求函数最值时,只有判断出函数的单调性只有判断出函数的单调性,才能确定函数最值在何才能确定函数最值在何处取得处取得,不能直接代入区间的端点来求不能直接代入区间的端点来求.如本例函数在区间如本例函数在区间2,+)2,+)上上先减后增先减后增,不具备单调性不具备单调性,故最小值不在故最小值不在x=2x=2处取得处取得.
