1、 1.41.4充分条件与必要条件充分条件与必要条件 新高考新教材新高考新教材 知识回顾知识回顾 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。真假的陈述句。判断为真的语句是真命题，判断为假判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题的语句是假命题 命题多数可以写成命题多数可以写成“若若p,p,则则q”,”q”,”“如果如果p,p,那么那么q”q”等形式。等形式。p p称为命题的条件，称为命题的条件，q q称为命题的称为命题的结论结论思考(1)(4)(1)(4)由条件由条件p p通过通过推理得以结论推理得以结论q q，是真命题，是真命题 ，(2)
2、(3)(2)(3)由条件由条件p p不能不能通过通过推理得以结论推理得以结论q q，是假命题，是假命题 ，定义1 一般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作 并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件pq定义2 一般地，“若p,则q”为假命题，是指由p通过推理不可以得出q.这时，我们就说，由p不可以推出q，记作 并且说，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件pq/（6）若 是无理数，则 是无理数（）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；例4 已知:O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d.（4）若 ，则并且说，p是q的必要不充分条件一
3、般地，“若p,则q”为假命题且“若q,则p”为假命题，是指由p通过推理不可以得出q，由q不可以推理出p.（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形是两组对角分别相等在直线 上任取一点Q(异于点P)，连接OQ。（4）、（6）p不是q的充分条件答案：(1)、（2）、（3）、(5）p是q的充分条件高中数第一册第一章集合与常用逻辑用语（4）若 ，则例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。（3）若四边形为菱形，则这个四边形是的对角线互相垂直，（4）若 ，则（5）若 （6
4、）若 是无理数，则 是无理数 答案：(1)、（2）、（3）、(5）p是q的充分条件 （4）、（6）p不是q的充分条件21x 1x,x yxybcacba则,思考：命题（1）给出“四边形是平行四边形”一个充分条件，即”四边形的两组对角分别相等”。这样的充分条件唯一吗？还能再给出几个不同的充分条件吗？“四边形的一组对边平行且相等”、“四边形的两条对角线互相平分”，都可以推出四边形是平行四边形，都可以成为“四边形是平行四边形”的充分条件。数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四
5、边形是两组对角分别相等（2）若两个三角形相似，这两个三角形的三边成比例（3）若四边形对角线互相垂直，则这个四边形是菱形（4）若 ，则（5）若 ，则（6）若 是无理数，则 是无理数 答案：(1)、（2）、（4）q是p的必要条件 （3）、（5）、（6）q不是p的必要条件21x 1x ab,x yxy要判断q是p的必要条件，只需要判断是否有 即若p则q为真命题pqbcac 思考：例2命题（1）给出“四边形是平行四边形”一个必要条件，即“四边形的两组对角分别相等”。这样的必要条件唯一吗？还能再给出几个不同的必要条件吗？“四边形的一组对边平行且相等”、“四边形的两条对角线互相平分”，都可以由出四边形是平
6、行四边形，都可以成为“四边形是平行四边形”的必要条件。数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？复习引入复习引入定义定义:如果如果“若若p则则q”和它的逆命题和它的逆命题“若若q则则p”均为真命题，即既有均为真命题，即既有 又有又有 就记作就记作 此时，此时，p既是既是q的充分条件，也的充分条件，也是是q的必要条件，我们说的必要条件，我们说p是是q的充分必要条件，的充分必要条件，简称为充要条件简称为充要条件(sufficient and necessary condition).pq学习新知学习新知qppq说明
7、：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.一般地，“若p,则q”为真命题且“若q,则p”为假命题，是指由p通过推理可以得出q，由q推理不出p.记作 p是q的充分不必要条件pq/一般地，“若p,则q”为假命题且“若q,则p”为真命题，是指由p通过推理不可以得出q，由q可以推理出p.记作 并且说，p是q的必要不充分条件pq/一般地，“若p,则q”为假命题且“若q,则p”为假命题，是指由p通过推理不可以得出q，由q不可以推理出p.记作 并且说，p是q的不充分也不必要条件/pq/例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？（）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（）p：两个三角形相
8、似，q：两个三角形三边成比例；（）p：xy，q：x，y；（）p：x是一元二次方程axbxc的一个根，q：abc（a）例题讲解例题讲解（）pq充分不必要条件充分不必要条件（）充要条件充要条件(3)必要不充分条件必要不充分条件(4)充要条件充要条件（1）s是q的什么条件？1点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是()如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形是两组对角分别相等一般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的条件.例4 已知:O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d.高中数第一册
9、第一章集合与常用逻辑用语并且说，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件答案：(1)、（2）、（4）q是p的必要条件p是q的充分不必要条件要条件，D是C的充分而不必要条件，例例2、请用、请用“充分不必要充分不必要”、“必要不充分必要不充分”、“充要充要”、“既不充分也不必要既不充分也不必要”填空：填空：(1)“(x-2)(x-3)=0”是是“x=2”的条件的条件.(2)“同位角相等同位角相等”是是“两直线平行两直线平行”的条件的条件.(3)“x=3”是是“x2=9”的条件的条件.(4)“四边形的对角线相等四边形的对角线相等”是是“四边形为平行四边形四边形为平行四边形”的条件的条件.充分不必要充分
10、不必要必要不充分必要不充分充要充要 既不充分也不必要既不充分也不必要例题讲评例题讲评例例3在下列电路图中，闭合开关在下列电路图中，闭合开关A是灯泡是灯泡B亮的什么条件：亮的什么条件：如图如图(1)所示，开关所示，开关A闭合是灯泡闭合是灯泡B亮的亮的条件；条件；如图如图(2)所示，开关所示，开关A闭合是灯泡闭合是灯泡B亮的亮的条件；条件；如图如图(3)所示，开关所示，开关A闭合是灯泡闭合是灯泡B亮的亮的条件；条件；如图如图(4)所示，开关所示，开关A闭合是灯泡闭合是灯泡B亮的亮的条件；条件；充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要例题讲评例题讲评例例4 4 已知已知:O:O的半径为的半径为r,r
11、,圆心圆心O O到直线到直线L L的距离的距离为为d.d.求证求证:d=r:d=r是直线是直线L L与与OO相切的充要条件相切的充要条件.分析:设:p:d=r,q:直线L与 O相切.要证p是q的充要条件,只需分别证明:充分性 和必要性 即可.qppqPQO证明：如图，作证明：如图，作 于点于点P，则，则OP=d。若若d=r，则点，则点P在在 上。在直线上。在直线 上任取一点上任取一点Q(异于点异于点P)，连接，连接OQ。在在 中，中，OQOP=r.所以，除点所以，除点P外直线外直线 上的点都在上的点都在 的外部，的外部，即直线即直线 与与 仅有一个公共点仅有一个公共点P。所以直线所以直线 与与
12、 相切。相切。(1)充分性充分性(p q)：若直线若直线 与与 相切，不妨设切点为相切，不妨设切点为P，则，则 .d=OP=r.(2)必要性必要性(q p)：例题讲评例题讲评变变.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充 要条件，D是C的充分而不必要条件，那么D是A的_充分不必要条件1、已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则 （1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）P是q的什么条件？充要条件充要条件必要不充分条件注、定义法（图形分析）注、定义法（图形分析）prsq当堂训练当堂训练(1)充分性(p q)：（4）、（6）p不是q的充分条件（4）、（6）p不是
13、q的充分条件例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：“四边形的一组对边平行且相等”、“四边形的两条对角线互相平分”，都可以推出四边形是平行四边形，都可以成为“四边形是平行四边形”的充分条件。数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件例4 已知:O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d.2设p：x3，q：1x3，则p是q的()命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的条件.如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；定义:如果“若p则q”和它的逆命题“若q则p”均为真命题，即既有 又有 就记作 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary condition).练习1点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是()Ax0，y0 Bx0Cx0，y0 Dx0，y02设p：x3，q：1x3，则p是q的()A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析因为x|1x3x|x3，所以p是q的必要不充分条件记忆方法：小能推大，大不能推小
