1、函数的单调性与导数函数的单调性与导数判断函数单调性有哪些方法？判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数比如：判断函数 的单调性。的单调性。2yx(,0)(0,)33?yxxxyo2yx 函数在函数在 上为上为_函数，函数，在在 上为上为_函数。函数。图象法图象法 复合函数法复合函数法:“同增异减同增异减”定义法定义法减减增增如图：如图：知识回顾知识回顾(,0)在在上上递递减减(0,)在在上上递递增增xyo()yf x abxyo()yf x ab单调性单调性导数的正负导数的正负函数及图象函数及图象切切 线斜率线斜率 的正负的正负kxyo2()fxx 负负正正负负正正在区间在区间(a,b)上上递
2、增递增在区间在区间(a,b)上递减上递减正正正正负负负负函数的单调性与导数有什么关系呢？函数的单调性与导数有什么关系呢？aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0,那么那么函数函数y=f(x)在这个区间内在这个区间内 的增函数的增函数;如果在这个区间内如果在这个区间内 0,那么那么函数函数y=f(x)在为这在为这个区间内的减函数个区间内的减函数.()f x()fx例例 已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：23()0;32()0;32()0.当当时时，当当或或时时，当当或或时时，xfxxxfxxxfx 试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。()f x
3、分析：分析：()在在此此区区间间递递减减f x()在在此此区区间间递递增增f x()图图象象在在此此两两处处 附附近近几几乎乎没没有有升升降降 变变化化,切切线线平平行行 轴轴fxx解：解：的大致形状如右图：的大致形状如右图：()f x这这里里，称称A A,B B两两点点为为“临临界界点点”ABxyo23()yf x 应用导数信息确定函数大致图象应用导数信息确定函数大致图象 设设 f(x)=x3-x2-2x+5，求，求函数 f(x)的单调递增、的单调递增、递减区间递减区间;12例例1：解解:(1)f(x)=3x2-x-2,令令 f(x)0 得得-x0，x1.y=f(x)的单调递减区间是的单调递
4、减区间是(-,1);23单调递增区间是单调递增区间是(-,-)和和(1,+).23说明说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时，当函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间不能用单调区间之间不能用 连接，只能用逗号分开连接，只能用逗号分开写，或者可用写，或者可用“和和”连接。连接。U根据导数根据导数确定函数的单调性确定函数的单调性一般需三步：一般需三步：1.1.确定函数确定函数f(x)的的定义域定义域；2.2.求出求出函数的导数函数的导数；3.3.解不等式解不等式f (x)0,0,得函数单增区间得函数单增区间;解不等式解不等式f(x)0,x0,(1)(1)、当、当lnx+10lnx+10时
5、，时，(2)(2)、当、当lnx+10lnx+11/e.x1/e.解得解得0 x1/e.0 x1/e.变式变式 已知函数已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在在R上是减上是减函数，求实数函数，求实数a的取值范围的取值范围.2()361 f xaxx解解：函数函数f（x）在在R上是减函数上是减函数()f xaxx 2361 0恒恒成成立立00a 036-4 3(1)0aa 即即3a解解得得：练习练习1 1：已知已知f(x)=2xf(x)=2x3 3+3x+3x2 2-12x+3-12x+3,则函数则函数f(x)f(x)在区间在区间(-2,1)(-2,1)内是（内是（）A单调递减，单调递减，B
6、单调递增，单调递增，C可能递增也可能递减可能递增也可能递减D以上都成立以上都成立A由由 得得x1.(),()xf xx10021解解:函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),111().212(1)xf xxx又因为函数的定义域是又因为函数的定义域是(-1,+),故故f(x)的递增区间是的递增区间是(1,+);由由 解得解得-1x00得得:0 x1,:0 x1,则函数的则函数的单增区间为单增区间为(0,1).(0,1).解不等式解不等式y y 00得得:1x2,:1x0以及以及f(x)0,求自变量求自变量x的取值范的取值范围，即函数的单调区间。围，即函数的单调区间。注意：函数注意：函数定义域
7、定义域总结总结:当遇到当遇到三次或三次以上三次或三次以上的的,或或图象很难图象很难画出的函数画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。求单调性问题时，应考虑导数法。3 3、什么情况下，用、什么情况下，用“导数法导数法”求函数单调求函数单调性、单调区间较简便？性、单调区间较简便？归归 纳纳335.(,).(,2).(,).(2,3)22cossin22函函数数在在下下面面哪哪个个区区间间内内是是()增增 函函 数数 yxxxABCD B(,2)该该函函数数在在上上为为数数。增增函函 (,2)sin0,sin0,如如 图图,当当时时，xxxx cos(cos)(sin)解解：yxxxxx cossincossinx xxxxx 0即即：y xyo 2 3 yx sin练习练习:求函数的单调区间求函数的单调区间:f(x)=x/2+sinx;例例3 3 如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与各容器对应的水的高度h h与实践与实践t t的函数关系图象。的函数关系图象。
