1、12/3/2022空间中直线与空间中直线与直线之间的位置关系直线之间的位置关系12/3/2022观察下面的图片，图片中的直线有几观察下面的图片，图片中的直线有几种位置关系？种位置关系？12/3/2022我们把不在任何一个平面内的两条直线叫我们把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（做异面直线（skew lines）观察：长方体观察：长方体ABCD-ABCD中，线段中，线段AB所所在直线与线段在直线与线段CC所在直线的位置关系如何？所在直线的位置关系如何？线段线段AB所在直所在直线与线与AD所在的直线所在的直线的位置关系如何？的位置关系如何？12/3/2022思考：思考：当当l1 1,l2
2、2能不能就说一定是异面直线能不能就说一定是异面直线呢？呢？两条相交直线两条相交直线确定一个平面确定一个平面 注意：注意：只有不在只有不在任何一个平面内的两任何一个平面内的两条直线才叫做异面直条直线才叫做异面直线线.12/3/2022为了表示异面直线不共面的特点，作图时，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托通常用一个或两个平面衬托12/3/2022空间中两条直线的位置关系：空间中两条直线的位置关系：异面直线：不同异面直线：不同在任何一个平面在任何一个平面内，没有公共点内，没有公共点相交直线：同相交直线：同一平面内，有一平面内，有且只有一个公且只有一个公共点共点平行直线：
3、同平行直线：同一平面内，没一平面内，没有公共点有公共点相交直线和平行直线属于共面直线相交直线和平行直线属于共面直线12/3/2022如图是一个正方体的展开图，如果将它如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么还原为正方体，那么AB,CD,EF,GH这四条这四条线线段所在直线是异面直线的有段所在直线是异面直线的有 对对.312/3/2022BB与与DD平行平行.观察：如图，长方体观察：如图，长方体ABCD-ABCD中，中，BBAA,DDAA,那么那么BB与与DD平行平行吗？吗？平行线的传递性：平行于同一条平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行直线的两条直线互相平行.12/3
4、/2022如图：空间四边形如图：空间四边形ABCD中，中，E,F,G,H分别分别是是AB,BC,CD,DA的中点的中点.求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.证明：连接证明：连接BD因为因为EH是是ABD的中位线的中位线所以所以EHBD,同理，同理，因为因为EHFG,所以四边形所以四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.且且EH=BD12且且FG=FGBD,BD12且且EH=FG12/3/2022如图：空间四边形如图：空间四边形ABCD中，中，E,F,G,H分别分别是是AB,BC,CD,DA的中点的中点.求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.如果再加上条
5、如果再加上条件件AC=BD，那么四，那么四边形边形EFGH是什么是什么图形？图形？12/3/2022思考：在平面上，我们容易证明思考：在平面上，我们容易证明“如果一个如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补个角相等或互补”.空间中，结论是否仍然成立？空间中，结论是否仍然成立？定理：空间中如果两个角的两边分别对应平定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补行，那么这两个角相等或互补 12/3/2022异面直线所成的角：是指这两条直线经过平异面直线所成的角：是指这两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角或直角
6、移后处于相交位置时所成的锐角或直角.因此，异面直线所成的角的范围是（因此，异面直线所成的角的范围是（0，2思考：思考：a与与b所成角的大小与点所成角的大小与点O的位置有关吗？的位置有关吗？12/3/2022如果两条异面直线所成的角是直角，那么我如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线两条互相垂直的异面直线a，b，记作：，记作：ab 异面直线异面直线a，b所成的角是直角，记作：所成的角是直角，记作：ab 12/3/2022(1)观察长方体观察长方体ABCD-ABCD，有没有两条棱所，有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？
7、在的直线是互相垂直的异面直线？(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？垂直于同一条直线的两条直线是否平行？垂直于同一条直线的两条直线不一定平行垂直于同一条直线的两条直线不一定平行 有有是是12/3/2022如图：已知正方体如图：已知正方体ABCD-ABCD(1)哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？是异面直线？(2)直线直线BA和和CC的夹角是多少？的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线哪些棱所在的直线与直
8、线AA垂直垂直?解：解：(1)棱棱AD,DC,CC,DD,DC,BC所在直线与直线所在直线与直线BA是异面直线是异面直线.12/3/2022如图：已知正方体如图：已知正方体ABCD-ABCD(1)哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？是异面直线？(2)直线直线BA和和CC的夹角是多少？的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线哪些棱所在的直线与直线AA垂直垂直?解：解：(2)由由BBCC可知，可知，BBA为异面直线为异面直线 BA与与CC的夹角，的夹角，BBA=45，所以直线所以直线BA与与CC的的夹角为夹角为45.12/3/2022如图：已知正方体如图：已知正方体ABCD-
9、ABCD(1)哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？是异面直线？(2)直线直线BA和和CC的夹角是多少？的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线哪些棱所在的直线与直线AA垂直垂直?解：解：(3)直线直线AB,BC,CD,DA,AB,BC,CD,DA,分别与直线分别与直线AA垂直垂直.12/3/2022（1）如图：）如图：AA是长方体的一条棱，是长方体的一条棱，长长方体中与方体中与AA平行的棱共有平行的棱共有 条条3（2）如果）如果OAOA,OBOB,那么那么AOB和和AOB 相等或互补相等或互补 12/3/2022（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关）分别在两个平面内
10、的两条直线间的位置关 系是（系是（）A:异面异面 B:平行平行 C:相交相交 D:以上都以上都有可能（有可能（2）把两条异面直线称作）把两条异面直线称作“一对一对”，在，在正方正方 体的十二条棱中，异面直线的对数为（体的十二条棱中，异面直线的对数为（）A:12 B:24 C:36 D:48DB 12/3/2022已知长方体已知长方体ABCD-ABCD中，中，AB=2 3,AD=2 3，AA=2(1)BC和和AC所成的角是多少度？所成的角是多少度？(2)AA和和BC所成的角是多少度？所成的角是多少度？解：解：(1)连接连接AC，所以所以BCA是异面直线是异面直线AC与与BC所成的角所成的角.在直
11、角三角形在直角三角形ABC中，中，所以所以BCA=因此因此,异面直线异面直线BC和和AC所所成的角是成的角是45.因为因为BCBC，AB=2 3，BC=2 3,4512/3/2022解：解：(2)连接连接BC，所以所以BBC是异面直线是异面直线AA与与BC所成的角所成的角.在直角三角形在直角三角形BBC中，中，所以所以BC=因此因此,异面直线异面直线AA和和BC所成所成的角是的角是60 因为因为AABB，BC=BB=AD=2 3,AA=2,4，BBC=60已知长方体已知长方体ABCD-ABCD中，中，AB=2 3,AD=2 3，AA=2(1)BC和和AC所成的角是多少度？所成的角是多少度？(2)AA和和BC所成的角是多少度？所成的角是多少度？12/3/2022设异面直线设异面直线a与与b所成的角为所成的角为50，O为空间一定点，试讨论，过点为空间一定点，试讨论，过点O与与a、b所成的角都是所成的角都是（090）的直）的直线线 l 有且仅有几条？有且仅有几条？
