1、开始开始 学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四学点五学点五1.直线与圆有三种位置关系，即直线与圆有三种位置关系，即 、.2.直线直线l:Ax+By+C=0与圆与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的的位置关系：位置关系：（1）几何法：圆心）几何法：圆心(a,b)到直线到直线Ax+By+C=0的距的距离离d=.dr直线与圆直线与圆 .22BA|CByAx|相离相离相切相切相交相交相交相交相切相切相离相离返回返回（2）代数法：由）代数法：由 Ax+By+C=0 (x-a)2+(y-b)2=r2，消元得到的一元二次方程的判别式为消元得到的一元二次方程的判别式为，则，则0直线与圆直线
2、与圆 .=0直线与圆直线与圆 .0直线与圆直线与圆 .3.过圆上一点，与圆相切的直线有过圆上一点，与圆相切的直线有 条；条；过圆外一点，与圆相切的直线有过圆外一点，与圆相切的直线有 条条.4.直线与圆相交时所截得弦长直线与圆相交时所截得弦长l=,或或l=.相交相交相切相切相离相离12|x-x|k121222d-r2返回返回 返回返回 学点一学点一 判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系当当m为何值时，直线为何值时，直线mx-y-m-1=0与圆与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交，相交，相切，相离？相切，相离？【分析】【分析】解答本题可以尝试用两种方法：（解答本题可以尝试用两种方法：（1
3、）代数法：用）代数法：用方程组解的组数来判定，（方程组解的组数来判定，（2）几何法：用圆心到直线的距）几何法：用圆心到直线的距离与半径比较来判定离与半径比较来判定.【解析】【解析】解法一：将解法一：将y=mx-m-1代入圆的方程化简整理，代入圆的方程化简整理，得得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.因为因为=4(m2+2m+2)2-4(1+m2)(m2+4m+4)=4m(3m+4),返回返回 返回返回 返回返回【解析】【解析】在判定直线与圆的位置关系的两种解法中，在判定直线与圆的位置关系的两种解法中，几何法更容易显现有关图形的几何特征，因此，通几何法更容易显现有关图形
4、的几何特征，因此，通常情况下，不用判别式法而用几何法常情况下，不用判别式法而用几何法.直线直线3x+2y-1=0与圆与圆x2+y2+4x+2y-4=0的位置关系是的位置关系是（）A.相切相切 B.相离相离C.相交且直线过圆心相交且直线过圆心 D.相交且直线不过圆心相交且直线不过圆心圆的方程可化为圆的方程可化为(x+2)2+(y+1)2=9,圆心为圆心为(-2,-1),半径半径r=3,圆心到直线的距离圆心到直线的距离d=0+3m+4)0，ll与与C C总相交总相交.返回返回（2 2）设交点为）设交点为A A，B B，由弦长公式得，由弦长公式得|AB|=|x|AB|=|x1 1-x-x2 2|,|
5、,则则|AB|=,|AB|=,令令t=t=得得4 4(6-t)m(6-t)m2 2+3m+4-t=0.+3m+4-t=0.mR,mR,=9-4=9-44(6-t)(4-t)0,4(6-t)(4-t)0,解得解得 t ,tt ,t的最小值为的最小值为 ，此时，此时m=.m=.ll被被C C截得的线段最小值为截得的线段最小值为2 2 ，此时，此时l l的方程为的方程为x+3y+5=0.x+3y+5=0.144324422mmm241m14432422mmm4154254156115返回返回 解法二解法二：（：（1 1）证明：圆心）证明：圆心C(3,-6)C(3,-6)到到l l的距离的距离d=整理
6、得整理得4(d4(d2 2-1)m-1)m2 2+12m+d+12m+d2 2-9=0(-9=0(*)mRmR,=12=122 2-4-44(d4(d2 2-1)(d-1)(d2 2-9)0,-9)0,解得解得0d100d10 dr.dr.不论不论m m取什么实数，取什么实数，l l与与C C总相交总相交.（2 2）由（）由（1 1）知）知d d最大为最大为 ，所以弦，所以弦|AB|AB|最小为最小为 2 2 ，把，把d=d=代入（代入（*）得）得m=-.m=-.当当l l被被C C截得的线段最短时直线截得的线段最短时直线l l的方程为的方程为x+3y+5=0.x+3y+5=0.14332m|
7、m-|101521025-1061返回返回 解法三解法三：（：（1 1）由直线方程知）由直线方程知l l过定点过定点M(4,-3),M(4,-3),而而(4-3)(4-3)2 2+(-3+6)+(-3+6)2 2=1025,=100.所以存在所以存在m=3满足题意满足题意.0,m6y-xyx0,3-2yx225m12 返回返回 直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离.在平面几何在平面几何中借助圆心到直线的距离知道直线与圆的位置关系中借助圆心到直线的距离知道直线与圆的位置关系.在平面在平面直角坐标系中，应用点到直线的距离公式来判断这三种关直角坐标系中，应
8、用点到直线的距离公式来判断这三种关系系.设直线方程为设直线方程为Ax+By+CAx+By+C=0.=0.圆的方程为圆的方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2,圆心圆心(a,b(a,b)，半径为，半径为r.r.圆心到直线距离为圆心到直线距离为d,d,则则d .d .（1 1）相离）相离dr,dr,图示如图示如.22BACbBaA1.1.如何判定直线与圆的位置关系？如何判定直线与圆的位置关系？返回返回（2）相切）相切 d=r,图示如图示如.（3）相交）相交 dr,图示如图示如.返回返回 由于直线与圆的三种位置关系也可用直线与圆公共点由于直线与圆的三种位置关系也
9、可用直线与圆公共点个数来判断个数来判断.因此因此,也可以从代数的角度去考虑，联立也可以从代数的角度去考虑，联立直线与圆的方程，消去直线与圆的方程，消去x（或（或y）后，整理成关于）后，整理成关于y（或（或x）的一元二次方程，利用）的一元二次方程，利用与与0的大小关系进行的大小关系进行判断判断.（1）0 方程有两组实数解方程有两组实数解直线与圆相交直线与圆相交.（2）=0 方程有一组实数解方程有一组实数解直线与圆相切直线与圆相切.（3）0 方程无实数解方程无实数解直线与圆相离直线与圆相离.返回返回 比较这两种方法，第一种方法从比较这两种方法，第一种方法从“形形”的角度考虑，的角度考虑，比较简单；
10、第二种方法从比较简单；第二种方法从“数数”的角度也就是用代的角度也就是用代数的方法去考虑，这种方法在以后我们研究直线与数的方法去考虑，这种方法在以后我们研究直线与圆锥曲线的位置关系时会经常用到，但在解有关圆圆锥曲线的位置关系时会经常用到，但在解有关圆的问题时，会比较麻烦，计算量较大，不宜采用的问题时，会比较麻烦，计算量较大，不宜采用.因此因此,我们常用第一种方法，利用平面几何知识，我们常用第一种方法，利用平面几何知识，这样可以大大地简化思维过程和解题过程这样可以大大地简化思维过程和解题过程.返回返回（1 1）圆的切线的求法）圆的切线的求法求过圆上一点（求过圆上一点（x x0 0,y,y0 0）
11、的圆的切线方程：先求切点与）的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率圆心连线的斜率k k，则由垂直关系，切线斜率为，则由垂直关系，切线斜率为 ，由点，由点斜式方程可求得切线方程斜式方程可求得切线方程.如果斜率不存在，则由图形可如果斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为直接得切线方程为x=xx=x0 0.求过圆外一点求过圆外一点(x(x0 0,y,y0 0)的圆的切线方程：的圆的切线方程：（）几何方法：）几何方法：设切线方程为设切线方程为y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0)，即，即kx-y-kxkx-y-kx0 0+y0=0.+y0=0.由圆心到由圆心到直线的距离等于半径，可求得直
12、线的距离等于半径，可求得k k，切线方程即可求出，切线方程即可求出.（）代数方法：）代数方法：设切线方程为设切线方程为y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0)，即，即y=kx-kxy=kx-kx0 0+y+y0 0，代入圆方程，代入圆方程，得一个关于得一个关于x x的一元二次方程，由的一元二次方程，由=0=0求得求得k k，切线方程即，切线方程即可求出可求出.k12.2.如何求圆的切线？如何求圆的切线？返回返回（2 2）切线的条数）切线的条数过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得当求得k k值是一个时，则另一条的切线
13、斜率一定不存在，值是一个时，则另一条的切线斜率一定不存在，可由数形结合求出可由数形结合求出.（3 3）切线段长公式）切线段长公式从圆外一点从圆外一点P P（x x0 0,y,y0 0）引到圆）引到圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2的切线，的切线，则则P P到切点的切线段长到切点的切线段长 .从圆外一点从圆外一点P(xP(x0 0,y,y0 0)引到圆引到圆x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的切线，的切线，则则P P到切点的切线段长到切点的切线段长 .22020r-b)ya)-(xd(FEyDxyxd002020返回返回（1 1）
14、将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利用两）将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利用两点间的距离公式，求弦长点间的距离公式，求弦长.（2 2）设直线的斜率为）设直线的斜率为k k，直线与圆联立，消去，直线与圆联立，消去y y后所得方后所得方程两根为程两根为x x1 1,x,x2 2,则弦长则弦长d=|xd=|x1 1-x-x2 2|.|.（3 3）设弦长为）设弦长为l l，弦心距为，弦心距为d,d,半径为半径为r r，则有，则有 +d+d2 2=r=r2 2,即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，数形结合，利即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，数形结合，利用勾股定理得到用勾股定理得到.3
15、.直线与圆相交时弦长应如何求解？直线与圆相交时弦长应如何求解？2k12)2(l返回返回 研究直线与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线研究直线与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线的距离与圆半径的大小关系这一知识点，这个过的距离与圆半径的大小关系这一知识点，这个过程充分体现并运用了数形结合思想、分类讨论思程充分体现并运用了数形结合思想、分类讨论思想，这是解析几何中重要的数学思想方法想，这是解析几何中重要的数学思想方法.运用数运用数形结合思想时要注意作图的准确性形结合思想时要注意作图的准确性,分类讨论时要分类讨论时要做到不重不漏做到不重不漏.返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回
