1、7教材知识探究19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.问题实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？提示任何一个复数zabi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.1.复平面复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部实轴虚轴2.复数的几何意义复平面内的点Z(a，b)3.复数的模|z|
2、或|abi|4.共轭复数相反数abi教材拓展补遗微判断1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()3.复数的模一定是正实数.()4.两个共轭复数的和是实数.()5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()提示1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的.2.原点在虚轴上，但不是纯虚数.3.复数的模可以为0.4.根据共轭复数的定义可知正确.5.应该是充分条件.微训练1.向量a(1，2)所对应的复数的共轭复数是()A.12i B.12iC.12i D.2i答案A2.已知复数z的实部为1，虚部为2，则|z|_.答案9微思考复数的模的
3、几何意义是什么？提示复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：满足条件|z|r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的内部，|z|r表示圆的外部；满足条件|zz0|r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|zz0|r表示圆的内部，|zz0|r表示圆的外部.题型一复数与复平面内的点【例1】在复平面内，若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线yx上，分别求实数m的取值范围.解复数z(m22m8)(m23m10)i的实部为m22m8，虚部为m23m10
4、.(1)由题意得m22m80.解得m2或m4.(3)由题意，(m22m8)(m23m10)0，2m4或5m0，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方.题型二复数与复平面内的向量的关系答案(1)C(2)D规律方法利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数，将有些复数问题转化为向量问题处理，借助向量去解决复数问题.答案2i题型三复数模的 几何意义复数模的几何意义是复数zabi所对应的点Z(a，b)到原点(0，0)的距离【例3】设zC，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|2；(2)1|z|2.解(1)法一|z|2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为
5、2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.法二设zabi，由|z|2，得a2b24.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.不等式|z|1的解集是圆|z|1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1|z|2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.规律方法解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.z1i或z1i.一、素养落地1.通过复数代数形式及几何意义的理
6、解提升数学抽象素养.通过复数模的学习及应用培养数学运算素养.2.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实部、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.二、素养训练1.在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析zi2i22i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.答案B2.在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48i B.82iC.24i D.4i解析由题
7、意知点A的坐标为(6，5)，点B的坐标为(2，3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2，4)，故点C对应的复数为24i.答案C答案34.已知z12(1i)，且|z|1，求|zz1|的最大值.三、审题答题示范(一)复数几何意义的应用【典型示例】(12分)复数 z(1i)a23a2i(aR).(1)若 ，求|z|的值；(2)若，求实数a的取值范围.在复平面内复数z对应的点在第一象限联想解题看到可考虑将z化为zxyi(x，yR)的形式.看到可知z的虚部为0.看到可知z的实部和虚部均大于0，从而求出a的范围.满分示范解z(1i)a23a2i(a23a2)(1a2)i2分当a1时，z0，|z|0；当a1时，z6，|z|6.5分(2)由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，所以1a1.12分
