1、精 品 数 学 课 件湘 教 版2.5 一元二次方程的应用一元二次方程的应用第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程重重、难点难点重点：重点：熟练地应用一元二次方程解决实际问题熟练地应用一元二次方程解决实际问题.难点难点：从实际问题中建立一元二次方程的模型从实际问题中建立一元二次方程的模型.新课引入新课引入某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为使用率，若今年的使用率为40%40%，计划后年的使用，计划后年的使用率达到率达到90%9
2、0%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）。（假定该省每年产生的秸秆总量不变）。由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：关系是：今年的使用率今年的使用率(1+(1+年平均增长率年平均增长率)2 2=后年的使用率后年的使用率设这两年秸秆的使用率的年平均增长率为设这两年秸秆的使用率的年平均增长率为x，则根据，则根据等量关系，可列出方程：等量关系，可列出方程：40%(1+40%(1+x)2 2=90%=90%整理，得整理，得 (1+(1+x)2 2=2.25=2.25解得解得 x1
3、 1=0.5=50%=0.5=50%，x2 2=-2.5=-2.5（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%50%。例例1 1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由由100100元将为元将为8181元，求平均每次降价的百分率。元，求平均每次降价的百分率。分析：分析：问题中涉及的等量关系是：问题中涉及的等量关系是：原价原价(1-(1-平均每次降价的百分率平均每次降价的百分率)2 2=现行售价现行售价题目探究题
4、目探究解解:设平均每次降价的百分率为设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得，则根据等量关系得 100(1-100(1-x)2 2=81=81整理，得整理，得 (1-(1-x)2 2=0.81=0.81解得解得 x1 1=0.1=10%=0.1=10%，x2 2=1.9(=1.9(不合题意，舍去）不合题意，舍去）答：答：平均每次降价的百分率为平均每次降价的百分率为10%10%。例例2 2 某商店从厂家以每件某商店从厂家以每件2121元的价格购进一批元的价格购进一批 商品，若每件商品的售价为商品，若每件商品的售价为x x元，则可卖出元，则可卖出(350-(350-10 x)10 x)件，但物
5、价局限定每件商品的售价不能超过件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的进价的120%120%，若该商店计划从这批商品中获取，若该商店计划从这批商品中获取400400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？品，此时的售价是多少？分析：分析：本问题中涉及的等量关系是：本问题中涉及的等量关系是：（售价（售价-进价）进价）销售量销售量=利润。利润。解：解：根据等量关系得根据等量关系得 (x-21)(350-10-21)(350-10 x)=400)=400 整理，得整理，得 x2 2-56-56x+775=0+775=0 解得解得
6、x1 1=25=25，x2 2=31=31 又因为又因为2121120%=25.2120%=25.2，即售价不能超过，即售价不能超过25.225.2元，所以元，所以x=31=31不合题意，应当舍去，故不合题意，应当舍去，故x=25=25，从而卖出，从而卖出350-10350-10 x=350-10=350-1025=10025=100（件）（件）答：答：该商店需要卖出该商店需要卖出100100件商品，且每件商件商品，且每件商品的售价是品的售价是2525元。元。实际问题实际问题建立一元二建立一元二次方程模型次方程模型解一元二解一元二次方程次方程一元二次一元二次方程的根方程的根实际问题的解实际问题
7、的解分析数量关系分析数量关系设未知数设未知数检验检验运用一元二次方程模型解决实际问题运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？的步骤有哪些？1.1.某校图书馆的藏书在两年内从万册增加到某校图书馆的藏书在两年内从万册增加到7.27.2万万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？解：解：设平均每年藏书增长的百分率为设平均每年藏书增长的百分率为x5（1+x）=7.2整理，得整理，得 (1+x)=1.44 解得解得 x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去不符合题意，舍去)答：答：平均每年藏书增长的百分率为平均每年藏书增长的百分率为20%20%。课
8、堂练习课堂练习2.2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装2020件，件，每件可盈利每件可盈利4444元若每件降价元若每件降价1 1元，则每天可多售出元，则每天可多售出5 5件若要平均每天盈利件若要平均每天盈利16001600元，则应降价多少元？元，则应降价多少元？解：解：设应降价设应降价x元，则元，则(44-(44-x)(20+5)(20+5x)=1600)=1600整理，得整理，得 x-40-40 x+144=0+144=0解得解得 x1 1=36,=36,x2 2=4=4答：答：应降价应降价3636元或元或4 4元。元。合作探究合作探究 如图如
9、图2-2，一块长和宽分别为，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2.求求截去的小正方形的边长截去的小正方形的边长.解：解：若设截去的小正方形的边长为若设截去的小正方形的边长为xcmcm，则，则无盖长方体盒子的底面边长分别为无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-(40-2 2x)cm)cm，(28-2(28-2x)cm)cm，根据等量关系根据等量关系列出方程。列出方程。(40-2(40-2x)(28-2)(28-
10、2x)=364)=364解得解得 x1=27，x2=7 因此因此 3440034 2017 10.2 12x 原方程可以写成原方程可以写成 x2-34x+189=0.这里这里 a=1，b=-34，c=189，b2-4ac=(-34)2-41189=(217)2-4189 =4(172-189)=4(289-189)=400，如果截去的小正方形的边长为如果截去的小正方形的边长为27 cm27 cm，那，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为为54 cm54 cm，这超过了矩形铁皮的长，这超过了矩形铁皮的长40 cm.40 cm.因此因此x1 1=27
11、=27不合题意，应当舍去不合题意，应当舍去答：答：截去的小正方形的边长为截去的小正方形的边长为7 7 cm题目探究题目探究例例3 3 如图如图2-42-4，一长为，一长为32m32m、宽为、宽为24m24m的矩形地的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为若已知绿化面积为540m540m，求道路的宽求道路的宽.分析：分析：虽然虽然“整个矩形的面整个矩形的面积积-道路所占面积道路所占面积=绿化面积绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不但道路不是规则图形，因此不便于计算。便于计算。若把道路平移，此若
12、把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩时绿化部分就成了一个新的矩形了，形了，解：解：设道路宽为设道路宽为x m m，则新矩形的边长为，则新矩形的边长为(32-(32-x)m)m，宽为宽为(20-(20-x)m)m，根据等量关系根据等量关系列出方程。列出方程。(32-(32-x)(20-)(20-x)=540)=540 整理，得整理，得 x-52x+100=0解得解得 x1=2,x2=50 x2=5032，不符合题意，舍去，不符合题意，舍去,故故 x=2.答：答：道路的宽道路的宽为为2 2米米.例4 如图2-6所示，在ABC中，C=90，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以
13、1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为9cm？根据题意得根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 解：解：设点设点P，Q出发出发x s后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm整理，得整理，得解得解得 x1=x2=3答：答：点点P，Q出发出发3s后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm.3.3.如图，在如图，在RtRtABC中，中，C=90=90，AC=8cm=8cm，BC=6cm.=6cm.点点P，Q同时从同时从A，B两点出发，分别沿两点出发，分别沿AC
14、，BC向终点向终点C移动，它们的速度都是移动，它们的速度都是1cm/s1cm/s，且当其中一，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点问点P，Q出出发几秒后可使发几秒后可使PCQ的面积为的面积为RtRtABC面积的一半？面积的一半？课堂练习课堂练习答：答：点点P，Q同时出发同时出发2s后可使后可使可使可使PCQ的面积为的面积为 RtABC面积的一半面积的一半.整理，整理，得得.21424=0 xx+-.111686 8222xx（）（）则由则由SPCQ=可得可得 12PC CQ解得解得.12=2 =12xx，（不合题意，舍去不合题意，舍去）则根据题意
15、得则根据题意得AP=BQ=xcm，PC=（8-x）cm，CQ=（6-x）cm.解：解：设点设点P，Q 出发出发x秒后可使秒后可使PCQ的面积为的面积为RtABC面积的一半，面积的一半，列方程解应用题的一般步骤是列方程解应用题的一般步骤是:1.1.审审:审清题意审清题意:已知什么已知什么,求什么求什么?2.2.设设:设未知数设未知数,语句完整语句完整,有单位有单位(同一同一)的要注明单位的要注明单位;3.3.列列:列代数式列代数式,找出相等关系列方程找出相等关系列方程;4.4.解解:解所列的方程解所列的方程;5.5.验验:是否是所列方程的根是否是所列方程的根;是否符合题意是否符合题意;6.6.答
16、答:答案也必需是完整的语句答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是列方程解应用题的关键是:找出相等关系找出相等关系.归纳总结归纳总结1 1随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降某市降某市20132013年销售烟花爆竹年销售烟花爆竹2020万箱，到万箱，到20152015年烟花爆年烟花爆竹销售量为竹销售量为9.89.8万箱求该市万箱求该市20132013年到年到20152015年烟花爆竹年年烟花爆竹年销售量的平均下降率销售量的平均下降率解：解：设咸宁市设咸宁市2013年到年到2015年烟花爆竹年销
17、售量的平均下年烟花爆竹年销售量的平均下降率是降率是x，依题意得：，依题意得：20(1x)29.8，解这个方程，得，解这个方程，得x10.3，x21.7，由于，由于x21.7不符合题意，故不符合题意，故x0.330%.答答：咸宁市咸宁市2013年到年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降年烟花爆竹年销售量的平均下降率为率为30%.课后练习课后练习2 2如图，在如图，在ABC中，中，B90，ABAB5 cm，BC7 cm.点点P从点从点A开始沿开始沿AB边向点边向点B以以1 cm/s的的速度移动，速度移动，点点Q从点从点B开始沿开始沿BC边向点边向点C以以2 cm/s的速度移动的速度移动(1)如果如果P，Q分别从分别从A，B同时出发，那么几秒后，同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于的面积等于6 cm2?(2)如果如果P，Q分别从分别从A，B同时出发，那么几秒后，同时出发，那么几秒后，PQ的的长度等于长度等于5 cm?(3)在在(1)(1)中，中，PQB的面积能否等于的面积能否等于8 cm2？说明理由？说明理由通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思 我进步
