1、4.2.3直线与圆的方程的应用判断两圆位置关系判断两圆位置关系几何方法几何方法两圆心坐标及半径两圆心坐标及半径（配方法配方法）圆心距圆心距d（两点间距离公式两点间距离公式）比较比较d和和r1，r2的的大小，下结论大小，下结论代数方法代数方法222111222222()()()()xaybrxaybr 消去消去y y（或（或x x）02rqxpx0:0:0:相交内切或外切相离或内含问题：问题：如图是某圆拱形桥一孔圆拱如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图的示意图.这个圆的圆拱跨度这个圆的圆拱跨度AB=20mAB=20m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，建造时每间隔，建造时每间隔4m4m需要用一根支柱支
2、撑，求支柱需要用一根支柱支撑，求支柱A A2 2P P2 2的高度（精确到的高度（精确到0.01m0.01m）ABA1A2A3A4OPP2思考思考1:1:你能用几何法求支柱你能用几何法求支柱A A2 2P P2 2的高的高度吗？度吗？思考思考2:2:如图所示建立直角坐标系，如图所示建立直角坐标系，那么求支柱那么求支柱A A2 2P P2 2的高度，化归为求一的高度，化归为求一个什么问题？个什么问题？ABA1A2A3A4OPP2xy思考思考4:4:利用这个圆的方程可求得点利用这个圆的方程可求得点P P2 2的纵坐标是多少？问题的答案如何？的纵坐标是多少？问题的答案如何？214.5410.53.8
3、6()ym思考思考3:3:取取1m1m为长度单位，如何求圆为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？拱所在圆的方程？x x2 2+(y+10.5)+(y+10.5)2 2=14.52=14.52 ABA1A2A3A4OPP2xyP130 例4yAxA1A2A3A4BP2P(10,0)(0,4)圆心(0,b)222()xybr2222220(4)10(0)brbr10.514.5br 222(10.5)14.5xy-22x 令得3.86y 12|3.86PPm知识探究：知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用直线与圆的方程在平面几何中的应用 问题问题:已知内接于圆的四边形的对角已知内接于圆的四边形的
4、对角线互相垂直，求证：圆心到一边的线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半距离等于这条边所对边长的一半.思考思考1:1:许多平面几何问题常利用许多平面几何问题常利用“坐标法坐标法”来解决，首先要做的工来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？题中应如何选取坐标系？X Xy yo o思考思考2 2：如图所示建立直角坐标系，如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点设四边形的四个顶点分别为点 A(aA(a，0)0)，B(0B(0，b)b)，C(cC(c，0)0)，D(0D(0，d)d)，那么，那么BCBC边的长为
5、多少？边的长为多少？ABCDMxyoN思考思考3:3:四边形四边形ABCDABCD的外接圆圆心的外接圆圆心M M的的坐标如何？坐标如何？思考思考4:4:如何计算圆心如何计算圆心M M到直线到直线ADAD的距的距离离|MN|MN|？ABCDMxyoNP131 例例5（坐标法）（坐标法）xyOOABCD 证明：以证明：以ACAC为为x x轴，轴，BDBD为为y y轴建立直角坐标系。轴建立直角坐标系。则四个顶点坐标分别为则四个顶点坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)E22|BCcb(a,0)(0,b)(c,0)(0,d
6、),22ac bdO221|2O Ecb,2 2a bE1|2O EBC因此，圆心到一条边的距离等于等于这条边所对边长一半。因此，圆心到一条边的距离等于等于这条边所对边长一半。第二步第二步:进行有进行有关代数运算关代数运算第三步第三步:把代数把代数运算结果翻译成运算结果翻译成几何关系。几何关系。第一步第一步:建立坐建立坐标系，用坐标表标系，用坐标表示有关的量示有关的量。用坐标法 解决几何问题的步骤：第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论第一步 ：建立适当的平面直角坐标系，用坐标 和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；思考思考5:5:由上
7、述计算可得由上述计算可得|BC|=2|MN|BC|=2|MN|，从，从而命题成立而命题成立.你能用平面几何知识证明你能用平面几何知识证明这个命题吗？这个命题吗？ABCDMNE E例:过点M(2,4)向圆C:(x-1)2+(y+3)2=1引两条切线,切点为P,Q,求PQ所在直线的方程.0197,1)3()1(.49)4()2(,.491,1,)3,1(,)4,2(,),(:222222yxPQCMyxCyxPMMCMPMCCMyxp的方程为即直线两圆相减得到程可由的公共弦所在的直线方与圆圆的方程是圆又圆的方程是长为半径的为圆心以点的半径为圆为切点设解思考思考设点设点M(xM(x0 0，y y0
8、0)为圆为圆x x2 2y y2 2=r=r2 2外一外一点，过点点，过点M M作圆的两条切线，切点分别作圆的两条切线，切点分别为为A A，B B，则直线，则直线ABAB的方程如何？的方程如何？M Mx xo oy yB BA Ax x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2解:设两个切点为A,B以OP为直径的圆过A,B两点,设圆上任一点C(x,y),必有OCPC,根据此条件必有 故得此圆的方程为x(x-x0)+y(y-y0)=0.过A,B两点的圆的方程为 x(x-x0)+y(y-y0)+(x2+y2-r2)=0.令=-1,得AB直线方程为 -x0 x-y0y+r2=0,即 x0 x+y0
9、y=r2.,100 xxyyxyP Px xo oy yB BA A例:已知x,y 是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:.)4(;)3(;)2(;)1(22的最值的最值的最值的最值yxyxyxxy.3322,3322xy.3322k,1k13k2.k,xy,)0,0(),(y)1(:2最小值为的最大值为得最值的切线时为圆当连线的斜率与坐标原点上的点表示圆解CkkOyxPCx例:已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:.)4(;)3(;)2(;)1(22的最值的最值的最值的最值yxyxyxxy.13214)132(,132141)32(.,)0,0(),()2(:2
10、2222222222212122最小值为的最大值为最小值的最大值分别为与时的两交点与圆为直线知当由平面几何知识连结的线段长的平方与坐标原点上的点表示圆解yxOPOPOPPPCOCPOyxPCyx例:已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:.)4(;)3(;)2(;)1(22的最值的最值的最值的最值yxyxyxxy.25,25.25m,12m32.,:.)3(:最小值为的最大值为取值得最值轴上的截距在相切时与圆当直线令解yxmylCmyxlmyx例:已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:.)4(;)3(;)2(;)1(22的最值的最值的最值的最值yxyxyx
11、xy.21,21.21n,12n32.,:.)4(:最小值为的最大值为取得最值轴上截距的相反数在相切时与圆当直线令解yxnylCnyxlnyx 例:已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.25,)1,21(.)0,1(,.02.)(12,1)2(,.1)2(2.054)2(2)1(,),2(,9),(,)(1(2)(:222222122222为半径的圆为圆心的的轨迹是以点的坐标也适合方程中点不存在时当点的轨迹方程为的消去为参数得点在直线上利用中点坐标公式及中消去则存在时的弦所在的直线方程为设过常规方法参数法解法一PPkyxyxPkkkkykkkxkkkxxkkx
12、kkxkykkxyyxyxPkxkyA 例:已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.25,)1,21(.)1(02.02122).1(12,.2,2),().(0)()(.99,).,(),(,0(:22212121212121212121222221212211为半径的圆为圆心的轨迹是以点点时也成立的轨迹方程是中点四点公线则设相减得上在圆的弦设过点此法涉及中点问题可以考虑代点法解法二PxyxyxPyxyxxxyxxyyAPNMyyyxxxyxPxxyyxxyyxxyxyxONMyxNyxMMNA例:已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中
13、点的轨迹.)(.,)(:下略为直径的圆点的轨迹是以故由垂径定理知利用平面几何知识数形结合解法三AOPPAOP 问题探究问题探究2.求经过点求经过点M(3,-1),且与圆且与圆切于点切于点N(1,2)的圆的方程。的圆的方程。222650 xyxyyOCMNGx求圆求圆G的圆心和半径的圆心和半径r=|GM|圆心是圆心是CN与与MN中垂线的交点中垂线的交点 两点式求两点式求CN方程方程点点(D)斜斜(kDG)式求中垂线式求中垂线DG方程方程D,1DGMND kk 中点公式求()/()MNMNMNkyyxxP133 A7求圆求圆 关于直线关于直线对称的圆的方程。对称的圆的方程。yCEDx02:22yx
14、yxC01:yxl45)1()21(:22yxC(a,b)1,211:xyl11k121kk15.011ab21,25.0baE在直线在直线l上上012125.0ba232ba45)23()2(:22yxD5.012abk圆系方程圆系方程1.设圆设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0若两圆相交，则过交点的圆系方程为若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0为参数，圆系中部不包括圆为参数，圆系中部不包括圆C2，当，当=-1时为两圆的公时为两圆的公共弦所在直线方程共弦所在直线方程.2.设圆设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线和直线l:Ax+By+C=0若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(为参数为参数)补充补充练习：课本练习：课本P132 习题习题A组组 4
