1、勾股定理的应用勾股定理的应用 立体图形中立体图形中最短最短路程问题路程问题AB我怎么我怎么走最近走最近呢呢?1、有一个圆柱、有一个圆柱,它的高它的高AC为为12厘米厘米,BC是上底面的直径是上底面的直径,长为长为6厘米。厘米。一只蚂蚁从一只蚂蚁从A A点出发，沿着圆柱的表面爬行到点出发，沿着圆柱的表面爬行到B B点，试求点，试求出爬行的最短路径。出爬行的最短路径。(取3)C 蚂蚁蚂蚁AB的路线的路线BACdABCABBAO知识回顾知识回顾在长为在长为4 4米，宽为米，宽为3 3米的长方形绿地上，米的长方形绿地上，蚂蚁想从蚂蚁想从A A点爬到点爬到C C点吃食，则蚂蚁爬行点吃食，则蚂蚁爬行的最短
2、路程为的最短路程为 米米.画出底面半径为画出底面半径为r r高为高为h h的圆柱的侧的圆柱的侧面展开图，并指出展开图中面展开图，并指出展开图中A,B,C,DA,B,C,D四点的位置以及各线段的长度四点的位置以及各线段的长度.BCAD(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点到点B的最短路线是什么？你画对了吗？的最短路线是什么？你画对了吗？合作交流合作交流AB(B)ABABABBA 高高12cmBA长长18cm (的值取的值取3)9cm AB2=92+122=81+144=225=AB=15(cm)答答:蚂蚁爬行的最短路程是蚂蚁爬行的最短路程是15厘
3、米厘米.152解解:将圆柱如图侧面展开将圆柱如图侧面展开.在在RtABC中中,根据勾股定理根据勾股定理CD实际应用（一）实际应用（一）例例1 1、如图一圆柱体底面周长为、如图一圆柱体底面周长为32cm,32cm,高高ABAB位位12cm,BC12cm,BC是是上底面的直径。一只蚂蚁从上底面的直径。一只蚂蚁从A A点出发，沿着圆柱的表面点出发，沿着圆柱的表面爬行到爬行到C C点，试求出爬行的最短路径。点，试求出爬行的最短路径。A AB BD DC C思路小结：思路小结：圆柱体圆柱体（立体图形）（立体图形）矩形矩形(平面图形平面图形)直角直角三角形三角形展开展开构建构建转化转化应用勾股定理应用勾股
4、定理A AC CD DB B182C CA AB BD DC CA A1212想一想想一想 如果我们将题中的如果我们将题中的圆柱体圆柱体换换成成正方体正方体或者或者长方体长方体，情况又该，情况又该怎么样呢？怎么样呢？拓展拓展1 如果圆柱换成如图的棱长为如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？程又是多少呢？AB看看如何爬最短？看看如何爬最短？路线如何计算路线如何计算 BAB 两条两条线路线路,看看明白了明白了吗吗?AB101010BCA总结：总结：展开展开任意两个面任意两个面（因为每个面都一样）因为每个面都
5、一样）拓展拓展2 如果盒子换成如图长为如果盒子换成如图长为3cm，宽为，宽为2cm，高为，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB分析：蚂蚁由分析：蚂蚁由A爬到爬到B过程中较短的路线有过程中较短的路线有多少种情况？多少种情况？(1)经过前面和上底面经过前面和上底面;(2)经过前面和右面经过前面和右面;(3)经过左面和上底面经过左面和上底面.AB23AB1C321BCA321BCA (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为短路程为2233 18解解:AB23AB1C22BCAC
6、 AB(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为为22BCAC 2215 26AB321BCAAB(3)当蚂蚁经过当蚂蚁经过左面和上底面左面和上底面时，如图，最短路时，如图，最短路程为程为AB22BCAC 2224 20262018cm2318即最短路程为AB321BCA解题思路 1、展展 -2 2、找找 -3 3、连连 -4 4、算算 -5 5、答答（立体（立体 平面）平面）起点，起点，终点终点路线路线利用勾股定理利用勾股定理小结：1、转化思想的应用转化思想的应用 （立体图形（立体图形 平面图形）平面图形）2 2、得到最短路线的依据是平面内两点、得到
7、最短路线的依据是平面内两点之间线段最短之间线段最短 3 3、构造出直角三角形、构造出直角三角形 从而利用勾股从而利用勾股定理进行计算定理进行计算牛刀小试牛刀小试1 1、己知如图所示、己知如图所示,有一圆柱形油罐有一圆柱形油罐,底面周长是底面周长是1212米米,高高ABAB是是5 5米，要以米，要以A A点环绕油罐建旋梯点环绕油罐建旋梯,正好到正好到A A点的正上方点的正上方B B点点,问问旋梯最短要多少米？旋梯最短要多少米？A AB B思维引导：旋梯在展开图形中会是什么思维引导：旋梯在展开图形中会是什么?AB答：13米如图：圆柱形玻璃杯如图：圆柱形玻璃杯,高为高为12cm,12cm,底面圆的周
8、长为底面圆的周长为18cm,18cm,在杯子内壁离杯底在杯子内壁离杯底4cm4cm的点的点C C处有一滴蜂蜜，处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，距离杯子上沿此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，距离杯子上沿4cm4cm与蜂蜜相对的点与蜂蜜相对的点A A处处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少为多少?蚂蚁蚂蚁A AC C蜂蜜蜂蜜C CA AA A1 1M MH H北B小屋牧童A问题回顾问题回顾如图，一牧童在小河如图，一牧童在小河a a的南的南2km2km的的A A处放马，而他处放马，而他正位于小屋正位于小屋B B的西的西6km6km北北4km4km处，他想把他的马牵处，他想把他
9、的马牵到小河边去饮水，然后回小屋到小河边去饮水，然后回小屋B B，他要完成这件，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？事情所走的最短路程是多少？A A1 1P Pa aO O264问题回顾问题回顾如图，一牧童在小河的南如图，一牧童在小河的南2km2km的的A A处放马，而他正处放马，而他正位于小屋位于小屋B B的西的西6km6km北北4km4km处，他想把他的马牵到处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回小屋小河边去饮水，然后回小屋B B，他要完成这件事，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？情所走的最短路程是多少？北B小屋牧童AB B1 1P PM M 例例2.一个三级台阶，它的每一级的长、
10、宽和高分一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于别等于5cm，3cm和和1cm，A和和B是这个台阶的两个相对是这个台阶的两个相对的端点，的端点，A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？点，最短线路是多少？BAABC531512分析：分析：AB2=AC2+BC2=52+122=169 AB=13.三、正方体中的最值问题三、正方体中的最值问题例例3、如图，边长为、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出出发沿着正方体
11、的外表面爬到顶点发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（的最短距离是（）.（A）3 （B）5 5 （C）2 （D）1AB分析：分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）故需把正方体展开成平面图形（如图）.CABC21BAB学生反思：你学会了怎样的解题路？学生反思：你学会了怎样的解题路？实际问题实际问题数学问题数学问题转化转化 直角三角形直角三角形四、课后反思四、课后反思构建构建勾股定理勾股定理应用应用2、如图，蚂蚁从地面上A点爬到墙上B点的最短路程是_cm,其中CD=30cm,AC=23cm,BD=17cm。3.如图，长方体
12、的长为如图，长方体的长为15 cm，宽为，宽为 10 cm，高，高为为20 cm，点，点B离点离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点长方体的表面从点 A爬爬到点到点B，需要爬行的最短，需要爬行的最短距离的平方是多少？距离的平方是多少？1020BAC155BAC1551020B5FE1020ACFB51020ACE10AECB20155现有现有 一棵树直立在地上，树高一棵树直立在地上，树高2.8丈，丈，粗粗3尺，有一葛藤从树根处缠绕而上，尺，有一葛藤从树根处缠绕而上，缠绕缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（多长？（1丈等于丈等于1
13、0尺）尺）ABC28尺37=21（尺）1、如图，底面边长为如图，底面边长为1，高为，高为1.5的长方体的长方体中，一只蚂蚁从顶点中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的外出发沿着长方体的外表面爬到顶点表面爬到顶点B的最短距离是（的最短距离是（）.（A）3 （B)5 （C）2.5 （D）1ABABC21.5c练习练习:2 2、小良家有一底面周长为、小良家有一底面周长为24cm24cm，高为，高为6cm6cm的的圆柱形罐，一天他发现一只蟑螂从距底面圆柱形罐，一天他发现一只蟑螂从距底面1cm1cm的的A A处爬行到对角处爬行到对角B B处，你知道蟑螂的最短路线吗处，你知道蟑螂的最短路线吗?AB 解：如图
14、为圆柱的侧面展开图解：如图为圆柱的侧面展开图,AC=61=5，BC=24 =12，由勾股定理得由勾股定理得 AB=AC+BC=169,AB=13(cm).BAC即最短路线即最短路线AB为为13cm.12 3、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于高分别等于36cm，10cm和和6cm，A和和B是这个台阶的两是这个台阶的两个相对的端点，个相对的端点，A点上有一只小虫子，想到点上有一只小虫子，想到B点去吃可点去吃可口的食物。请你想一想，这只小虫子从口的食物。请你想一想，这只小虫子从A点出发，沿着点出发，沿着台阶面爬到台阶面爬到B点，最短线路
15、是多少？点，最短线路是多少？BAABC.60cm如图，公路如图，公路MNMN和小路和小路PQPQ在点在点P P处交汇，且处交汇，且QPN=30QPN=30，点，点A A处有一所学校，处有一所学校，AP=160mAP=160m，假，假设拖拉机行驶时，周围设拖拉机行驶时，周围100m100m内受噪音影响，那内受噪音影响，那么拖拉机在公路么拖拉机在公路MNMN上以上以18km/h18km/h的速度沿的速度沿PNPN方向方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间受到影响，那么受影响将持续多长时间？P PM MN NQ QA A
16、B BD DC C补充：补充：1.一艘轮船以一艘轮船以20海里海里/小时的速度离开港口小时的速度离开港口O向东北方向航行，另一艘轮船同时以向东北方向航行，另一艘轮船同时以22海里海里/小小时的速度离开港口向东南方向航行，时的速度离开港口向东南方向航行，2小时后两船小时后两船相距多远？相距多远？甲甲(A)西西东东北北南南O乙乙(B)折叠问题折叠问题1、如图，直角三角形纸片、如图，直角三角形纸片ABC，C=90，AC=6，BC=8，折叠，折叠ABC的的一角，使点一角，使点B与与A点重合，展开得折痕点重合，展开得折痕DE，求求BD的长的长AE B DC5082、如图，将边长为、如图，将边长为8cm的
17、正方形纸片的正方形纸片ABCD折叠，使点折叠，使点D落在落在BC边中点边中点E处，点处，点A落在点落在点F处，折痕为处，折痕为MN，则线段，则线段CN的长的长是（是（）.（A）3cm（B）4cm （C）5cm （D）6cm A90EDBAC1、如图，已知、如图，已知RtABC中，中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，现将，现将ABC进行折叠，进行折叠，使顶点使顶点A、B重合，则折痕重合，则折痕DE=cm练习练习:1582.如图，小颍同学折叠一个直角三角形如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使的纸片，使A与与B重合，折痕为重合，折痕为DE，若已知，若已知AC=8cm，BC=6cm,你能求
18、出你能求出CE的长吗？的长吗？CABDEABCDEF（1）ABCDEFGH（2）图22、有一边长为、有一边长为2的正方形纸片的正方形纸片ABCD，先将正，先将正方形方形ABCD对折，设折痕为对折，设折痕为EF，再沿过点再沿过点D的的折痕将角折痕将角A翻折，使得点翻折，使得点A落在落在EF的的H上，折痕上，折痕交交AE于点于点G，则，则EG的长度为（的长度为（）.8 4 34 2 3 （C）（D）4 362 33（B）（A）B3.3.如图，长方体的底面边长分别为如图，长方体的底面边长分别为2cm2cm和和4cm4cm，高为，高为5cm5cm若一只蚂蚁从若一只蚂蚁从P P点开始经过点开始经过4 4
19、个侧面爬行一圈到达个侧面爬行一圈到达Q Q点，点，则蚂奴爬行的最短路径长为则蚂奴爬行的最短路径长为 c cm m9.如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为、宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米在盒外面的最短长度是多少厘米9.如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为、宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米
20、在盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCD9.如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为、宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米在盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCD9.如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为、宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米在盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCD9
21、.如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为、宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米在盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCD9.如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为、宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米在盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCD9.如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入
22、长厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为、宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米在盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCDADC86细木棒露在盒外面的最短长度是细木棒露在盒外面的最短长度是 .9.如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为、宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米在盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCDADC86解：如图，由题意可知解：如图，由题意可知 ADC 和和 ABC都是直角三角形。都是直角三角形。根据股定理，根据股定理，ABACBC22221010200 25200ACADDC22228610
