1、实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十辅导课程十例例1 1 设设 为可测集，试证为可测集，试证 21,EE212121mEmEEEmEEm证明证明 若若 或或 ，则结论显然则结论显然1mE2mE若 且 ，则由 可测，取1mE2mE1E21EET12112112121CEEmmECEEEmEEEmEEm12112112121CEEmmECEEEmEEEmEEm12122CEEmEEmmE212121mEmEEEmEEm例例2 2 考察康脱闭集考察康脱闭集 与相应的开集与相应的开集 由上面定义知，由上面定义知，=1-=0=1-=0P0G1.21322313232310nnmG
2、mP0mG注意：这里我们得到了一个测度为注意：这里我们得到了一个测度为0 0 的不可数集的例子的不可数集的例子第三节第三节 可可 测测 集（续）集（续）定理定理1 1 （1 1）凡外测度为零的集合是可测集，凡外测度为零的集合是可测集，我们称为零测集。我们称为零测集。（2 2）零测集之任何子集仍为零测集。零测集之任何子集仍为零测集。（3 3）有限个或可数个零测集之并仍为有限个或可数个零测集之并仍为 零测集零测集。证明：设证明：设 ，则对任何集合，则对任何集合 ，有，有0*EmT TmCETmCETmETmCETETmTm*定理定理 2 2 区间都是可测集，且区间都是可测集，且 定理定理 3 3
3、开集、闭集都是可测集。开集、闭集都是可测集。I|ImI 证明证明 因为任何非空开集可表示为可数因为任何非空开集可表示为可数多个互不相交的左开右闭区间之并，而多个互不相交的左开右闭区间之并，而区间是可测的，故开集可测。闭集作为区间是可测的，故开集可测。闭集作为开集之余集也是可测的开集之余集也是可测的 。我们指出重要的一类集，它从开集我们指出重要的一类集，它从开集出发，通过取余集，作至多可列次或出发，通过取余集，作至多可列次或并或交的运算，所得到的集统称为波并或交的运算，所得到的集统称为波雷尔集。这样，一切波雷尔集是可测雷尔集。这样，一切波雷尔集是可测的。特别，波雷尔集中有这样的集值的。特别，波雷
4、尔集中有这样的集值得注意，一种是可表为可列个开集的得注意，一种是可表为可列个开集的交，称为交，称为 集；另一种是可表为可列集；另一种是可表为可列个闭集的并，称为个闭集的并，称为 集。它们可用来集。它们可用来构造任意可测集的测度。构造任意可测集的测度。GF定理定理 5 5 凡波雷尔集都是可测集。凡波雷尔集都是可测集。定理定理6 6 设设E E是可测集，则存在是可测集，则存在 型集型集 使使 且且 GGEG 0 EGm证明证明 （1 1）先证）先证 任意给的任意给的 ，存在开集存在开集G,G,使使 ，且，且 。0EG EGm为此，先设为此，先设 ，则由测度的定义，则由测度的定义，有一列开区间有一列
5、开区间 使使mE,2,1,iIimEIEIiiii|,11且令令 ，则，则 为开集，为开集，1iiIGGEG mEImImGmEiiii|11,mEmG EGm其次，设其次，设 ，这时，这时 必为无界集，必为无界集，但它总可表示成可数多个互但它总可表示成可数多个互不相交不相交的有界可测集的并的有界可测集的并 mEE1nnEEnmEnnEG nnnEGm21nnGG则则 为开集，且为开集，且GEG EG1nnG1nnE)(1nnnEG 1nnnEGmEGm（2）依次取 ，由证明中的（1）存在开集 ，使 ，nn1,2,1nEGnnEGmn11nnGG则 为 型集且 GGEG,2,1,1nnEGmE
6、Gmn0 EGm定理定理7 7 设设E E是可测集，则存在是可测集，则存在 型集型集 使使 且且 FFFE 0 FEm证明证明 因因 可测，由定理可测，由定理6 6存在存在 型集型集 G G使使 ，。令。令 ，则，则 为为 型集且型集且CEGCEG 0CEGmCGF FFEF FEm0CEGm注意注意1 1 定理定理 6 6和定理和定理7 7表明，可测表明，可测集集E E是与某个是与某个 集或某个集或某个 集仅相差集仅相差一个零测集。由于其逆也成立，这样一个零测集。由于其逆也成立，这样我们就获得了一切可测集的构造。我们就获得了一切可测集的构造。注意注意2 2 不可测集是存在的。不可测集是存在的
7、。GF实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十一辅导课程十一第四章第四章 可测函数可测函数 本章引进一个新的函数类本章引进一个新的函数类可测函可测函数类，并讨论它的性质，为下一章的勒贝数类，并讨论它的性质，为下一章的勒贝格积分作准备。我们将看到，可测函数与格积分作准备。我们将看到，可测函数与我们熟悉的连续函数有密切的联系，在可我们熟悉的连续函数有密切的联系，在可测函数类中进行运算，如代数运算、取极测函数类中进行运算，如代数运算、取极限运算等是相当方便的，所得结果仍是可限运算等是相当方便的，所得结果仍是可测函数。测函数。第一节第一节 可测函数及其基本性质可测函数及其基本性质
8、本节主要介绍可测函数的概念及其性本节主要介绍可测函数的概念及其性质，通过本节的学习，我们要掌握可测质，通过本节的学习，我们要掌握可测函数的概念，可测函数的基本性质，即函数的概念，可测函数的基本性质，即可测函数的四则运算和极限运算仍为可可测函数的四则运算和极限运算仍为可测函数，同时我们要知道可测集上的连测函数，同时我们要知道可测集上的连续函数，简单函数，区间上的单调函数续函数，简单函数，区间上的单调函数均为可测函数。另外，本节最后给出的均为可测函数。另外，本节最后给出的“几乎处处几乎处处”概念是一个很重要的概念概念是一个很重要的概念 设设E E是是 一个可测子集（有界或无界），一个可测子集（有界
9、或无界），是定义在是定义在E E上的实函数上的实函数（其值可以为无穷大）。（其值可以为无穷大）。xf关于包含关于包含 在内的实数运算作如下规定：在内的实数运算作如下规定：是全体有限实数的上确界，是全体有限实数的上确界，是全体有限实数的下确界：是全体有限实数的下确界：为任何有限实数aa上（下）方无界的递增（减）数列上（下）方无界的递增（减）数列 .limnnaa 总有对于任何有限实数对于任何有限实数 ,aaaaa,0,a00 a.aaa00 ,0,0,a无无意义意义设设 是任一实数，记是任一实数，记a afE xfaExx,:=定义定义1 1 设设 是定义在可测是定义在可测 集集 E E上的实上
10、的实函数。如果对每一个实数函数。如果对每一个实数 集集 恒可测（勒贝格可测），则称恒可测（勒贝格可测），则称 是定义是定义在在 E E上的（勒贝格）可测函数。上的（勒贝格）可测函数。faafEf 定理定理1 1 设设 是定义在可测是定义在可测 集集 E E上的实函数，上的实函数，下列任一个条件都是下列任一个条件都是 在在 E E上（勒贝格）可上（勒贝格）可测的充要条件：测的充要条件：（1 1）对任何有限实数对任何有限实数 ，都可测；都可测；（2 2）对任何有限实数对任何有限实数 ，都可测；都可测；（3 3）对任何有限实数对任何有限实数 ，都可测；都可测；（4 4）对任何有限实数对任何有限实数
11、，都都可测可测ffaafEaafEaafEbaba,bfaE|xf但充分性要假定证明证明 与与 对于对于E E是互是互余的，同样余的，同样 与与 对于对于E E也是也是互余的。故在前三个条件中，只须证明互余的。故在前三个条件中，只须证明（1 1）的充要性。）的充要性。事实上，易知事实上，易知afEafEafEafEafE11nnafE=afE11nnafE=关于（关于（4 4）的充要性，只需注意表）的充要性，只需注意表示式示式 =时时 =bfaE afEbfE xfafE1nnafaE推 论推 论 1 1 设设 在在 E E 上 可 测，则上 可 测，则 总可测，不论总可测，不论 是有限是有限
12、实数或实数或 ，。xfafEa 证证 只需注意只需注意afEafEafE-=fE=1nnfEfE=1nnfE 例例1 1 定义在零测集上的任意实函定义在零测集上的任意实函数均数均 为可测函数。为可测函数。事实上，零测集的子集总是可测集。事实上，零测集的子集总是可测集。每一个实数每一个实数 ，集，集 恒可测恒可测 aafE 例例2 2 区间区间 上的连续函数及上的连续函数及 单调函数都是可测函数。单调函数都是可测函数。ba,例例1 1 设设 =，在，在 上定义狄里克雷上定义狄里克雷 函数如下：函数如下：=E1,0E xD为无理数为有理数xx01由于对任意实数由于对任意实数 ，集，集 为为 （当（
13、当 ），），中有理点集中有理点集 空集空集 。它们都是可测集。它们都是可测集。故故 是是E E上的可测函数。上的可测函数。aafEE0aE10当a1a当 xD定义定义2 2 定义在定义在 的实函数的实函数 称为称为在在 连续，如果连续，如果 有限，而且有限，而且对于对于 的任邻域的任邻域 ，存在，存在 的某邻的某邻域域 ，使得，使得 ，即只要，即只要 且且 时，便有时，便有 。如果如果 在在E E中每一点都连续，则称中每一点都连续，则称 在在E E上连续。上连续。nEE xf0 xE00 xfy 0y0yV0 x0 xUEUfVExx0 xU xf0yV xf xf定义定义 3 3 设设 的定
14、义域的定义域E E可分为有限个可分为有限个互不相交的可测集互不相交的可测集 ，=，使使 在每个在每个 上都等于某个常数上都等于某个常数 则称则称 为简单函数。为简单函数。xfnEEE,21EniiE1 xfiEic xf例例4 4 可测集可测集E E上的连续函数是可测函数。上的连续函数是可测函数。事实上，设事实上，设 ，则由连续性，则由连续性假设，存在假设，存在x x的某邻域的某邻域 ，使，使xafE xU ExUafE令 =G fExxUafE GafEafEGE=定理定理2 2 （1 1）设）设 是可测集是可测集E E上的可测上的可测函数，而函数，而 为可测子集，则为可测子集，则 看看作定
15、义在作定义在 上的函数时，它是上的函数时，它是 上的上的可测函数；可测函数；xf1EE xf1E1E（2 2）设设 是定义在有限可测集是定义在有限可测集 的并集的并集 上，上，且在每个且在每个 上上 都可测，则都可测，则 在在E E上上也可测。也可测。xfiEni,2,1niiEE1 xfiE xf证证 （1 1）对于任何有限数）对于任何有限数 ，=，由假设等式右边是可测集。由假设等式右边是可测集。aafE11EafE（2 2）E E是可测集而且对于任何有限是可测集而且对于任何有限数数 ，有，有 =aafEafEnii1由假设等式右边是可测集。由假设等式右边是可测集。例例1 1 任任 何简单函
16、数都是可测函数。何简单函数都是可测函数。事实上，定义在可测集上的常值函数事实上，定义在可测集上的常值函数显然是可测显然是可测 的，由定理的，由定理2 2便知任何便知任何 简单函简单函数都是可测函数。数都是可测函数。定理定理3 3 设设 是是 上一列（或有限个）上一列（或有限个）可测函数，则可测函数，则 =与与 都是可测函数。都是可测函数。证证 由于由于 =，=而得证。而得证。xfnE x xfnninf x xfnnsupaEnnafEaEnnafE定理定理4 4 设设 是是 上一列可测函数，上一列可测函数，则则=，xfnE xFlimn xfn xGlimn xfn也在也在E E上可测，特别
17、当上可测，特别当 =存在时，它也在存在时，它也在E E上可测。上可测。xF xfnnlim证证 由于由于 =，=重复应用定理重复应用定理3 3即得证。即得证。xFlimn xfn xfmnmninfsup xGlimn xfn xfmnmnsupinf实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十二辅导课程十二定理定理5 5 设设 是可测集是可测集E E上的可测函数，上的可测函数，则则 总可以表示成一列简单函数总可以表示成一列简单函数 的的极限函数，而且还可办到极限函数，而且还可办到 xf xf xn|21xx证证 （1 1）情形。情形。对每个自然数对每个自然数n,n,定义定义
18、xf0 xn.,.12,2,1,0,212,2nfExnnkkfkExknnnn当当则则 为为E E上的简单函数，且不难证明上的简单函数，且不难证明 xn ，xxnn1,3,2,1n我们证明我们证明 =。limn xn xf如果如果 =+=+，则，则 =+=+。0 xf0 xnn n如果如果 +，则有自然数，则有自然数N N，使使 从而当从而当 时时 0 xfN0 xfNn 0 xf0 xnn21）（n|0 xn 0|xf（2 2）一般情形）一般情形令令 =sup ,xf 0,xf =sup xf 0,xf则则 ，都是非负可测函数，都是非负可测函数，xf xf xf xf xf|xf xf x
19、f对对 ，作出相应的简单函数列作出相应的简单函数列 ，则则 =-=-，即为所求。，即为所求。xf xf xn xn xn xn xn,3,2,1n，由此得到：函数由此得到：函数 在在 E E上可测上可测 的充要的充要 条件是条件是 总可以表示成一列简单函数总可以表示成一列简单函数 的极限函数，其中的极限函数，其中 xf xf xn|21xx定理定理6 6 在可测集在可测集E E上定义的两个可测函数上定义的两个可测函数的和、差、积、商（假定运算有意义）都的和、差、积、商（假定运算有意义）都是可测的。是可测的。证证 设设 ，是是E E上可测函数。故存上可测函数。故存在两个简单函数列在两个简单函数列
20、 ，,使得使得 xf xg xfn xgn lim ,lim =.xfn xf xgn xgLim =xgxfnn xf xg xfn xgnlim xf xg xfn xgn/lim xf xg/显然两个简单函数的代数运算仍是简显然两个简单函数的代数运算仍是简单函数，据定理单函数，据定理5 5知结论成立。知结论成立。定义定义 4 4 如果命题如果命题S S在集在集E E上除了某个零测上除了某个零测度子集外处处成立，则说命题度子集外处处成立，则说命题S S在集在集E E上几上几乎处处成立，记为乎处处成立，记为S,a.e.S,a.e.命题命题S S也指某也指某一性质而言。一性质而言。例例1 1，
21、两函数，两函数f f与与g g几乎处处相等指的是几乎处处相等指的是f f与与g g不相等的点集不相等的点集 的测度为零，的测度为零，而在而在 上处处有上处处有gfEE00EE xgxf容易证明，容易证明，两个几乎处处相等的函数两个几乎处处相等的函数具有相同的可测性。即改变函数在一个具有相同的可测性。即改变函数在一个零测集上的函数值不改变其可测性。零测集上的函数值不改变其可测性。例2 几乎处处有限 取值为无穷大的点集为零测集。例3 几乎处处收敛 不收敛的点集为零测集。例4 几乎处处为正 函数值不是正数的点集为零测集第第 二二 节节 叶果洛夫定理叶果洛夫定理 本节主要介绍一个重要定理本节主要介绍一
22、个重要定理叶叶果洛夫定理。通过本节的学习，我们要果洛夫定理。通过本节的学习，我们要知道，对于定义在测度有限的可测集上知道，对于定义在测度有限的可测集上的几乎处处有限的可测函数列，几乎处的几乎处处有限的可测函数列，几乎处处收敛与处收敛与“基本上基本上”一致收敛是等价的，一致收敛是等价的，同时我们要知道，叶果洛夫定理的逆定同时我们要知道，叶果洛夫定理的逆定理总是成立的。理总是成立的。在数学分析中知道一致收敛是函数列在数学分析中知道一致收敛是函数列非常重要的性质，它能保证极限过程和一非常重要的性质，它能保证极限过程和一些运算的可交换性。但一般而论，一个收些运算的可交换性。但一般而论，一个收敛的函数列
23、在其收敛域上是不一定一致收敛的函数列在其收敛域上是不一定一致收敛的。敛的。例如例如 在在 上不一致收敛。上不一致收敛。但是只要从但是只要从 的右端点去掉任意小的的右端点去掉任意小的一段成为一段成为 ，则，则 在其上就一致在其上就一致收敛了。其实这一现象在某种意义下是带收敛了。其实这一现象在某种意义下是带有普遍意义的。有普遍意义的。xfnnx1,01,01,0 xfn 引理引理 设设 ，是是E E上一列几乎上一列几乎处处有限的可测函数列，处处有限的可测函数列，是是E E上几乎处处上几乎处处有限的可测函数，有限的可测函数，在在E E上几乎处处收敛上几乎处处收敛于于 ，则对任意，则对任意 和任意自然
24、数和任意自然数n n，作作我们有我们有mE xfn xf xfn xf0nkffEnEk,|,0,limnEEmn证明证明 首先，首先，作为可测函数列的极限作为可测函数列的极限 函数是可测的函数是可测的 xfnkffEnEk,|,nkkffE|可测其次，根据关于其次，根据关于 与与 的假设，的假设，xfn xf|.0ffnEffEffEEmnnn以外都有除有限个有限但有限11,|limnnknnnnnEffEffE,lim1nEnEnn,limlimnmEnEmnnmEnEEmn,lim,limnmEn mE,limnEmn0,limffEEmnEEmnn有限推论推论 1 1 设设 ，是是E
25、E上一列几乎上一列几乎处处有限的可测函数列，处处有限的可测函数列，是是E E上几乎处上几乎处处有限的可测函数，处有限的可测函数，在在E E上几乎处处收上几乎处处收敛于敛于 ，则对任意，则对任意 有有mE xfn xf xfn xf00|limffEEmnn证明证明 由于由于 所以所以再由引理即得证再由引理即得证 ,|nEffEn,|nEEffEEn定理（叶果洛夫定理）定理（叶果洛夫定理）设设 ，是是E E上一列几乎处上一列几乎处处有限的可测函数列，处有限的可测函数列，是是E E上几乎处上几乎处处有限的可测函数，处有限的可测函数，在在E E上几乎处上几乎处处收敛于处收敛于 ，则对任意，则对任意
26、，存在，存在子集，子集，使在使在 上上 一致收一致收敛，且敛，且 。mE xfn xf xfn xf0EE xfnE EEm证明证明 任选一列自然数任选一列自然数 ，与此相应，与此相应 作作 的子集的子集 inE inE11,iiinE则则 必在必在 上一致收敛于上一致收敛于 xfn inE xf事实上，对任给事实上，对任给 ，0选选 使使 0i01i则当则当 时，对一切时，对一切 ，都有都有 0inn 01,0inEnExii|xfxfn01i所以当给定了任一个所以当给定了任一个 之后，之后，0如果能适当的选取如果能适当的选取 ，使，使 in inEEm则则 令令 ，它就满足定理的要求。，它
27、就满足定理的要求。inEE但由引理，对于但由引理，对于,3,2,1,1ii分别存在充分大的分别存在充分大的 ，使，使 in.21,iiinEEm故只要选取满足这条件的故只要选取满足这条件的 ，就有，就有 in 111121,1,1,iiiiiiiiiinEEminEEminEEmnEEm 这个定理告诉我们，凡是满足定理假这个定理告诉我们，凡是满足定理假设的几乎处处收敛的可测函数列，即使不设的几乎处处收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是一致收敛，也是“基本上基本上”（指去掉一个（指去掉一个测度可任意小的某点集外）一致收敛，因测度可任意小的某点集外）一致收敛，因此在许多场合它提供了处理极限交换问
28、题此在许多场合它提供了处理极限交换问题的有力工具。的有力工具。注意注意1 1：当：当 时，定理不成立时，定理不成立 mE例：设 则),0EmE令 nxnxxfn,0,0,1则 可测，且 xfn nxfn0但对 ，结论不成立0210注意注意 2 逆定理当逆定理当 和和 时都成立时都成立mEmE证明 对 ，存在01kkEekkeEmk1在 上，一致收敛于ke xfn xf1kkeekeEeEkeEmeEmk1)()(0)(eEm另一方面，当 时，存在某使ex 0kkex 0由于在 上，一致收敛于故ke xfn xf 0 xfn 0 xf一致收敛于实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅
29、导课程十三第第 三三 节节 可测函数的构造可测函数的构造 前面我们已经知道，可测集上的连续前面我们已经知道，可测集上的连续函数一定是可测函数。反之，一般的可函数一定是可测函数。反之，一般的可测函数可以说是测函数可以说是“基本上连续基本上连续”的函数。的函数。这就是下面的定理：这就是下面的定理：定理 1 （鲁津定理）设 xf 是是E0EE 使使 xf在在E上是连续函数，且上是连续函数，且 EEmE简言之，简言之，上几乎处上几乎处，存在闭子集存在闭子集上几乎处处有限的可测函数，则对上几乎处处有限的可测函数，则对任意任意 处有限的可测函数是处有限的可测函数是“基本上基本上连续连续”的函数。的函数。证
30、明 我们从特殊到一般分三种情形来讨论。1.简单函数情形。niiEE1iE可测互不相交，且可测互不相交，且 xf=ic，当当niExi,2,1,对于对于0，由于由于iE是可测集，从是可测集，从而可知存在闭子集而可知存在闭子集iiEF，且，且nFEmii，令，令niiFE1，则，则E为闭集为闭集且且 EEm。现在证明。现在证明 xf在在E上上是连续函数。是连续函数。事实上，设事实上，设Ex 0，则存在，则存在0i使使00iFx，由于各，由于各iF互不相交，故互不相交，故00iiiFx，但右边为闭集，但右边为闭集，)(00iiiFCx（开（开集），故有集），故有0 x的邻域的邻域0 xU使使0 xU
31、0iiiF，从而，从而 0 xUE=0 xUniiF10 xU0iF 所所以以当当x0 xUE时，有时，有|000iiccxfxf （2 2）mE情情 形形。由由 于于E上上 任任一一 可可测测 函函数数 xf都都 是是E上上 某某一一 列列简简 单单函函 数数 xn的的 极极限限。因因 为为mE，根根 据据叶叶 果果洛洛 夫夫定定理理，任任 取取0，存存在在 可可测测 子子集集,*0EE使使 xn在在*0E上上 一一 致致收收 敛敛于于 xf，且且4)(*0 EEm，又又因因 存存在在 闭闭集集*00EE使使4)(0*0 EEm，所所以以2)(0 EEm。当当然然 xn在在0E上上 也也一一
32、 致致收收 敛敛于于 xf。由（由（1 1）知，存在闭集）知，存在闭集 。使使 在在 上是连续的，且上是连续的，且 .,2,1,0iEEi xniE102)(iiEEm令令 ，显然，显然 且且 在闭集在闭集 上是上是 一致收敛于一致收敛于 的连续的连续函数列，从而函数列，从而 是是 上的连续函数，上的连续函数，且且 。实际上。实际上01EEEii,22)(110iiEEm xnE xf xfE EEm2200EEEEmEEm（3 3）情形。情形。令令 为球为球 。mEESSEiii1iSiS,01iiEE由（由（2 2）知，）知，在在 上是基本上连续。上是基本上连续。即存在闭子集即存在闭子集
33、，使，使 在在 上上是连续的且是连续的且 xfiEiEEi xfiE,3,2,1,2iEEmiiii令令 ，由，由 的特殊作法，我们容的特殊作法，我们容易证明，易证明，在在 上是连续且上是连续且 而而 仍为闭集。仍为闭集。1*iiEEiE xf*E,2*EEm*E注注1 1 该定理的证明方法值得注意，先考该定理的证明方法值得注意，先考虑简单函数，再往一般的可测函数过渡。虑简单函数，再往一般的可测函数过渡。注注2 2 该定理使我们对可测函数的结构有该定理使我们对可测函数的结构有了进一步的了解了进一步的了解 ，它揭示了可测函数与，它揭示了可测函数与连续函数的关系。在应用上通过它常常连续函数的关系。
34、在应用上通过它常常可以把有关的可测函数问题归结为连续可以把有关的可测函数问题归结为连续函数的问题，从而得以简化。函数的问题，从而得以简化。注注3 3 该定理的逆定理也是成立的。该定理的逆定理也是成立的。事实事实上上，若若 xf是是基本基本上上连续连续的的，则则对对任何任何自然数自然数n，存在存在闭集闭集EFn，使使 xf在在nF上上是是连续连续的的，且且 nFEmn1)(当然当然 xf在在nF可测可测。令令1nnFF，则则 xf在在F上上可测可测，且且 nFEFE nFEmFEmn1)()(令令n，0)(FEm 显然显然 xf在在FE 上上可测可测，故故 xf在在)(FEFE上上可测可测。定理
35、定理 2 2 设设 xf是是E上几乎处上几乎处处有限的可测函数，则对任意处有限的可测函数，则对任意0，存，存在闭集在闭集EF 及整个及整个1R上上的连续函数的连续函数 xg，使在，使在F上上 xg=xf，且且 FEm。证明证明 由定理由定理 1 1，存在闭集，存在闭集EF，使，使 xf在在F上连续且上连续且 FEm 现在的问题在于将闭集现在的问题在于将闭集F上的上的连续函数连续函数 xf延拓成整个延拓成整个1R上的连上的连续函数续函数 xg，这是可以办到的。，这是可以办到的。事实上，由于事实上，由于F是闭集，故是闭集，故FR 1是开集，从而是至多可数个互不相是开集，从而是至多可数个互不相交的开
36、区间交的开区间iiba,的并（这些开区间的并（这些开区间中可能包括一到两个无限长的区中可能包括一到两个无限长的区间）。由于各间）。由于各iiba,的端点属于的端点属于F，故总可以将故总可以将 xf按下面这样在各按下面这样在各iiba,中保持线性而且连续地中保持线性而且连续地延拓成延拓成整个整个1R上的函数上的函数 xg：xg=iiiiiiiiiiiiiiiiiiabaxbfbbaxafbabaxaxabafbfafFxxf,.,当当有限。当当 易知，这样的易知，这样的 xg合乎要求。合乎要求。实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十四第四节第四节 依测度收敛依测度收敛 本节
37、我们引进另一个收敛概念本节我们引进另一个收敛概念依依测度收敛，并讨论它与几乎处处收敛的测度收敛，并讨论它与几乎处处收敛的关系。通过本节的学习，我们要知道，关系。通过本节的学习，我们要知道，依测度收敛与几乎处处收敛有很大的区依测度收敛与几乎处处收敛有很大的区别，另一方面，黎斯定理和勒贝格定理别，另一方面，黎斯定理和勒贝格定理表明，它们也有一定的联系。表明，它们也有一定的联系。定义定义 1 1 设设 xfn是是E上的一列上的一列几乎处处有限几乎处处有限的可测函数，若有的可测函数，若有E上的几乎处处有限的可测函数上的几乎处处有限的可测函数 xf满足下列关系：满足下列关系：对任意对任意0，有，有0|l
38、imffmEnn，则称函数列则称函数列 xfn依测度收敛于依测度收敛于 xf，或度量收敛于，或度量收敛于 xf，记为，记为 xfxfn。改用改用N说法：说法：对任对任意意00及，存在正数，存在正数,N，使，使,Nn 时，时，|ffmEn。换句话说，如果事先给定一个换句话说，如果事先给定一个0，无论它多么小，使得，无论它多么小，使得|xfxfn大于大于的点虽然很多，但的点虽然很多，但这些点的测度随着这些点的测度随着n无限增大而无限增大而趋向于零。趋向于零。测度收敛与几乎处测度收敛与几乎处处收敛处收敛概念概念有很大有很大的的区别，但也有一定的联区别，但也有一定的联系系。例例 1 1 测度收敛而处处
39、不收敛测度收敛而处处不收敛的函数列。的函数列。取取 1,0(E，将，将 1,0(E等分等分，定义，定义两个函数：两个函数：.1,21(0,21,0(111xxxf .1,21(1,21,0(012xxxf 然后将然后将 1,0(E四等分、八等分等四等分、八等分等等。一般地，对每个等。一般地，对每个n，作，作n2个函个函数：数：.2,2,1.2,21(0,2,21(1nnnnnnjjjjxjjxxf 在这个序列中是第在这个序列中是第 个函数。个函数。可以证明这个序列是度量收敛于零可以证明这个序列是度量收敛于零 .xfnjjNn22这是因为对任何这是因为对任何 0 nnjfEm21)|0|(但是函
40、数列在（但是函数列在（0 0，11上的任何上的任何 一点都一点都不收敛。不收敛。例例2 2 取取 ，作函数列，作函数列 显然显然 ，当，当 。但是当但是当 时，时，且且,|1|nfEn反过来，一个几乎处处收敛的反过来，一个几乎处处收敛的 函数列也函数列也可以不是依测度收敛的可以不是依测度收敛的 。,0E,2,1,0,0(1nnxnxxfn 1xfnEx 10,nm这说明这说明 不依测度收敛于不依测度收敛于1 1。xfn尽管两种收敛的区别很大，一种尽管两种收敛的区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但是下收敛不能包含另一种收敛，但是下列定理反映出它们还是有密切联列定理反映出它们还是有密切联系的。
41、系的。定理定理 1 1（黎斯定理）（黎斯定理）设在设在E上上 xfn测度收敛于测度收敛于 xf，则存在子列，则存在子列 xfin在在E上几乎处处收敛于上几乎处处收敛于 xf。证明证明 对任何自然数对任何自然数s，取，取s21，由于，由于 xfxfn，所以存，所以存在自然数在自然数sn，使，使 ,2,1,21smEss 其 中其 中snsffEEi21|。不 妨 设不 妨 设.21 nn 取取 .ksskEEF 由于由于 sEEsnffEs21|。所以所以 kF,1,21|kksffEsns 显然在显然在kF上，上，xfxfsn（还可以（还可以证明是一致收敛的）。作证明是一致收敛的）。作 1kk
42、FF，则在则在F上，上，xfxfsn。现在只要证明现在只要证明FEm=0=0 即可。由即可。由于下列关系于下列关系 EFE1kkF=sskksskkEEFElim11 以及以及 12111ssssmE再根据上限集的定义，则对任何再根据上限集的定义，则对任何自然数自然数k有有 kssssEElim 因此因此 kssssEmEm)(lim)(0kmEkss 从而得到从而得到 )(FEm 0)(limssEm 下下面面定定理理说说明明几几乎乎处处处处收收敛敛的的函函数数列列在在何何时时是是测测度度收收敛敛的的。定理定理 2 2 （勒贝格（勒贝格定理）定理）设设 （1 1）mE；（2 2）xfn是是E
43、上上几乎处几乎处处有限的可测处有限的可测函数列函数列；（3 3）xfn是是E上几乎处处上几乎处处收敛于几乎处处有限的函数收敛于几乎处处有限的函数 xf，则则 xfxfn 证明证明 不妨设不妨设 xfn与与 xf处处处处有限。对任何有限。对任何0，由叶果洛夫，由叶果洛夫定 理，存 在 可 测 集定 理，存 在 可 测 集EEs，使，使)(sEEm，且，且 xfn在在sE上是一致上是一致收敛于收敛于 xf。对任何对任何0，则存在，则存在0N，使当，使当Nn 时，有时，有|xfxfn对任何对任何sEx。因此当因此当Nn 时，时，|ffEnsEE，故故|ffmEn)(sEEm 即即 xfxfn 需要注
44、意，需要注意，mE这个条件不这个条件不能去掉的（见例能去掉的（见例 2 2）再结合例）再结合例 1 1，在在mE条件下，测度收敛弱于几条件下，测度收敛弱于几乎处乎处 处收敛。处收敛。定 理定 理 3 3 设设 xfxfn，xgxfn，则，则 xgxf在在E上几乎上几乎处处成立。处处成立。证明证明 由于由于|,|xgxfxfxfxgxfkk 故对任何自然数故对任何自然数n ;21|21|1|ngfEnffEngfEkk 从而从而 ;21|21|1|ngfmEnffmEngfmEkk 令令k，即得，即得 01|ngfmE 但是但是 11|nngfEgfE，故故0 gfmE，即，即 xgxf在在E上几上几乎处处成立。乎处处成立。
