1、新教材必修第一册 2.2：基本不等式 课标解读： 1. 基本不等式.（理解） 2. 利用基本不等式求最值.（理解） 3. 基本不等式的应用.（理解） 学习指导： 1. 注意从数与形的角度审视基本不等式，体会数形结合思想的应用. 2. 通过“积定”与“和定”来把握最值定理并研究最值，加深对“一正、二定、三相 等”的. 3. 注重基本不等式的变形，体会其特征，强化记忆. 知识导图： 基本不等式的实际应用 利用基本不等式求最值 成立利用基本不等式证明的 基本不等式的应用 广基本不等式的变形与推 最值定理 基本不等式 基本不等式 教材全解 知识点 1：基本不等式（重点） 1.重要不等式 Rba ,，有
2、abba2 22 ，当且仅当ba时，等号成立. 证明：abbaabbaba2020)( 22222 ，当且仅当ba时，等号成立. 2.基本不等式 如果0, 0ba，那么 2 ba ab ，当且仅当ba时，等号成立. 其中 2 ba 叫做正数ba,的算术平均数，ab叫做正数ba,的几何平均数. 例 1-1：设ba0，则下列不等式中正确的是（ ）. A. 2 ba abba B.b ba aba 2 C. 2 ba baba D.b ba aab 2 答案：B 例 1-2：判断下列两个推导过程是否正确： （1）4 4 2 4 , 0,a a a a aRa； （2）2)()(2)()(, 0, x
3、 y y x x y y x x y y x xyRyx 答案： （1）推导错误，不符合基本不等式的条件； （2）推导正确. 知识点 2：最值定理（重点） 已知yx,都是正数， （1）如果积xy等于定值P，那么当yx 时，和yx有最小值.2 P （2）如果和yx等于定值S，那么当yx 时，积xy最大值. 4 1 2 S 最值定理简记为：和定积最大，积定和最小. 例 2-3：若0 x，则函数 x xy 4 （ ）. A.有最大值-4 B.有最小值 4 C.有最大值-2 D.有最小值 2 答案：B 例 2-4：已知0, 0yx，且18 yx，则xy的最大值为（ ）. A. 80 B. 77 C.
4、81 D. 82 答案：C 例 2-5：0 x，使得0 1 ax x ，则实数a的取值范围是（ ）. A.2a B.2a C.2a D.2a 答案：B 想一想：0 x使得0 1 ax x ，则实数a的取值范围是（ ） A.2a B.2a C.2a D.2a 答案：D 重难拓展 知识点 3：基本不等式的证明方法的探究 分析法和综合法： 分析法：要证 2 ba ab ，即证baab2，即证02baab，即证0)( 2 ba.当 且仅当ba时，等号成立. 综合法（将分析法的过程倒过来叙述） ： , 0, 0ba0)( 2 ba，即02baab，即 2 ba ab ，当且仅当ba时，等号 成立. 思考
5、：你还有其他证明不等式的方法吗？ 例 3-3：已知ba,均为正数，bac2，求证：abccaabcc 22 . 答案：要证abccaabcc 22 只需证abccaabc 22 即证abcca 2 | 即证abcca 22 )( 即证abccaca 222 2 即证acaba2 2 即证bac2，由已知可得，不等式显然成立. 故abccaabcc 22 知识点 4：基本不等式的变式与拓展 1.基本不等式链 若0, 0ba，则 22 11 2 22 baba ab ba ，当且仅当ba时，等号成立.其中 2 ba 叫做 正数ba,的算术平均数，ab叫做正数ba,的几何平均数.其几何意义如图所示：
6、 特别提醒：1.上述不等式链内涵丰富，在实际运用中相对基本不等式等位广泛，但它们 都是在基本不等式的基础上拓展而来的，也都可以由基本不等式（重要不等式）加以 证明. 2.一般来说，一下四组不等式可以作为基本不等式的应用形态： );0, 0( 211 ba abba );0, 0( 411 ba baba );0(4) 11 )(ab ba ba ),() 2 ( 2 2 22 Rba baba 2.一个热点基本不等式 若0, 0, 0, 0yxba，则 yx ba y b x a 222 )( ，当且仅当aybx 时，等号成立. 证明： 222 22 22 22 )(2)(baabba y x
7、b x ya bayx y b x a ， yx ba y b x a 222 )( ，当且仅当 y xb x ya 22 ，即aybx 时等号成立. 例 4-7：若0, 0ba，证明： 22 11 2 22 baba ab ba . 答案： （1）由0, 0ba，得 abba ba 111 2 11 ， ab ba 11 2 ，当且仅当ba时，等号成立. （2） 2 ba ab ，当且仅当ba时，等号成立，已证. （3） 4 2 44 )( 222 22222222222 abbabbaababababa . abba2 22 （当且仅当ba时，等号成立） ， 22 22 baba （当且仅
8、当ba时，等号成立）. 综上： 22 11 2 22 baba ab ba . 例 4-8：已知，其中, 42, 0, 0yxyx，则 yx 21 的最小值为 . 答案： 4 9 例 4-9：已知不等式9) 1 )( y a x yx对任意正实数yx，恒成立，则正实数a的最小值为 （ ）. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 答案：B 题型与方法 题型 1：利用基本不等式判断命题真假 例 10：下列不等式一定成立的是（ ） A.)0( 4 1 2 xxx B.)0(2 1 x x x C.)( |21 2 Rxxx D.)( 1 1 1 2 Rx x 答案：C 题型 2：利用基本不等式求最
9、值的常见题型及求解技巧 例 11：) 1( 1 8 2 x x x 的最小值为 . 答案：8 例 12：若yx,为正数，则 22 ) 2 1 () 2 1 ( x y y x的最小值为 . 答案：4 例 13：已知20 x，则)25(xx的最大值为 . 答案： 8 25 例 14：已知实数yx,满足0, yx，且 yx 12 =1，则yx2的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 答案：D 例 15：已知0ba，则 )( 1 2 bab a 的最小值为 . 答案：4 变式训练 1：已知正数yx，满足1 yx，则 yx 41 的最小值是 . 答案：9 题型 3：基本不等式在实际问
10、题中的应用 例 18：如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左、右两个矩形栏目 （图中阴影部分） ，这两栏的面积之和为 18000cm，四周空白的宽度为 10cm，两栏之 间空白的宽度为 5cm.怎样设计广告牌的高与宽的尺寸（单位：cm） ，能使矩形广告牌 面积最小？ 答案：x xx xS25 20 18000 )25 20 18000 ( 当140 x时，S取得最小值为 24500. 题型 4：基本不等式在恒成立问题中的应用 例 19：设0, 0yx，不等式yxayx恒成立，则a的最小值为 . 答案：2 易错提醒 易错点 1：应用基本不等式时忽略“正” 例 20：设函数)0( 1
11、 1 2x x xy，则y（ ） A.有最大值122 B.有最小值122 C.有最大值122 D.有最小值122 答案：C 易错点 2：应用基本不等式时忽略“定” 例 21：函数 3 5 0),35(2xxxy的最大值为 . 答案： 6 25 易错点 3：应用基本不等式时忽略“等” 例 22：函数 4 5 2 2 x x y的最小值为 . 答案： 2 5 易错 4：连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性 例 23：已知0, 0yx，且12 yx，则 yx 11 的最小值为（ ） A.1+2 B.3+22 C.32 D.42 答案：B 创新升级 例 24：记,maxba为ba,两数中较大的数，
12、当)(yxyx，变化时， )( 25 ,max 2 yxy xt 的最 小值为 . 答案：10 感知高考 考向 1：利用基本不等式求最值 例 25：设52, 0, 0yxyx，则 xy yx) 12)(1( 的最小值为 . 答案：34 考向 2：利用基本不等式判断命题的真假 例 26：若实数 321 ,aaa满足,2 231 aaa则下列结论中正确的是（ ） A.若, 0 21 aa则0 32 aa B.若, 0 31 aa则0 21 aa C.若,0 21 aa 则 312 aaa D.若0 1 a，则0)( 3212 aaaa 答案：C 考向 3：作为“工具”的基本不等式 例 27：某公司
13、一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总 存储费用为x4万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 . 答案：30 基础巩固： 1.已知 a a aa 4 0，则的最小值为（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.已知, 1, 0, 0yxyx若txy4恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ） A.1|tt B.1|tt C.2|tt D.2|tt 3.高三学生在新学期里，刚刚搬入新教学楼，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增 多，因此不满意度升高，已知当教室在第n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但 高处的空气清新，嘈杂声较小，环境较
14、好，设教室在第n层楼时，环境不满意度为 n 8 ， 则同学们认为最合适的教室所在楼层应为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 4.已知2, 0, 0 n m mnm若，则mn的最小值为 . 5.已知1)(0,bbabRa，且，则 ba a 2 的最小值为 . 6.已知028 , 0, 0 xyyxyx，则yx的最小值为 . 7.桑基鱼塘是长三角和珠三角的一种独具特色的农业生产形式.某公司打算开发一个桑 基鱼塘项目，该公司准备购置一块 1800 平方米的矩形土地，如图所示，中间挖成三个 矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示） ，用来种植桑树， 鱼塘周围的基围宽均为
15、 2 米，池塘所占面积为 S 平方米，其中. 2:1:ba （1）试用yx,表示 S； （2）若要使 S 最大，则yx,的值各是多少？ 综合提升： 8.已知正实数ba，满足abba，则ab的最小值为（ ）. A. 1 B.2 C. 2 D. 4 9.若, 52, 0, 0baba则ab的最大值为（ ）. A. 25 B. 2 25 C. 4 25 D. 8 25 10.设正实数zyx,满足043 22 zyxyx，则当 xy z 取得最小值时，zyx2的最大值为 （ ）. A. 0 B. 8 9 C. 2 D. 4 9 11.若正数yx,满足xyyx53 ，则yx43 的最小值是（ ） A.
16、5 24 B. 5 28 C. 5 D.6 12.设 ca m cbba cba 11 ,且恒成立，则m的取值范围为 . 13.已知实数cba,满足, 1, 0 222 cbacba则a的最大值为 . 14.设31, 5, 0babaab则的最大值为 . 15.某工厂每年需要某种材料 3000 件， 设该厂对该种材料的消耗是均匀的， 该厂准备分 若干次等量进货，每进一次货需运费 30 元，且在用完时能立即进货，已知储存在仓库 中每件每年存储费为 2 元.而平均存储的材料量为每次进货量的一半，欲使一年的总运 费和存储材料所用的费用之和最少，则每次进货量应为多少？ 16.已知cba,都为正数且cb
17、a,不全相等.求证：cba c ab b ac a bc . 17.已知cba,都为正数且cba,不全相等.若1abc，证明：. 111 cba cba 18.某工厂生产某种产品共m件，分若干批生产，每生产一批产品需要用原料费 15000 万元，每批生产需直接消耗的管理费与生产产品的件数的立方成正比.当生产的一批产 品为 5 件时，需消耗的管理费为 1000 元. （1）求每批生产需要直接消耗的管理费与该批产品的件数的函数解析式； （2）每批生产多少件时，一年生产该产品所需要的总费用最低）（96. 15 . 7 3 . 参考答案 1. B 2. A 3. B 4. 8 5. 2 6. 18 7
18、. （1）)1800, 6, 6( 3 16 61832xyyxyxS.（2）45,40yx时，S 取最大值为 1352. 8. D 9. D 10. C 11. C 12. 4|mm 13. 3 6 14. 23 15. ),30000( 9000 Nxx x xW，当300 x时总费用最少为 600 元. .22 ,22 ,22 0, 0, 0.16 2 2 2 b ac cab c ab a bc a bc bca c ab b ac c ab abc b ac a bc cba 又cba,不全相等，上述不等式中至少有一个等号不成立. cba c ab b ac a bc 17.cba,都为正数且cba,不全相等，且1abc abacbcabc c abc b abc a cba 111 cbbc 111 2 ). 11 ( 2 11 cbbc 同理，) 11 ( 2 11 caac ). 11 ( 2 11 baab 将上面三个不等式叠加并整理得：. 111 cba cba 18.（1） 3 8xS ； （2）当105 . 75 8 7500 3 3 x时总费用最低.
