1、 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、选择题 1. 已知sin sin = 1 3 2 ，cos cos = 1 2，则cos( ) = ( ) A. 3 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 3 2 2. 已知cos( 6) = 4 5 且 2 0，则sin( + 6) = ( ) A. 433 10 B. 43+3 10 C. 43+3 10 D. 343 10 3. 已知 + sin( + 3) = 1，则sin( + 6) = ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 2 3 D. 2 2 4. 已知2 tan( + 4) = 7，则 = ( ) A.
2、 2 B. 1 C. 1 D. 2 5. 已知sin( 4) = 3 5， (0, 2)，则 = A. 2 10 B. 32 10 C. 2 2 D. 72 10 6. 若tan( + 4) = 3，则sincos = ( ) A. 2 5 B. 3 55 C. 2 5 D. 5 5 7. 已知 (0, 2)， ( 2 ,0)， = 2 10，且cos( ) = 3 5，则的值( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 12 8. 在 中，若 = cos2 2，则( ) A. = B. = C. = D. + = 2 第 2 页，共 11 页 9. 在中，内角,的对边分别是,，若cos =
3、 2，则一定是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 10. 求值：25 + 35 + 32535 = ( ) A. 2 3 B. 3 3 C. 1 D. 3 11. 7040 7040的值等于( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2 12. 在中， 角A， B， C所对应的边为a， b， c， 已知， = 15， 则面积的最大值为( ) A. 515 4 B. 315 2 C. 215 D. 5 4 二、填空题 13. 已知 = 2，则2 =_；tan( 4) =_ 14. 若 (0, 2)，sin( 4) = 3 5，则2 =_
4、15. 设为锐角，若cos( + 6) = 3 5，则sin =_ 16. 已知是第二象限角，且 = 4 5，tan( + ) = 3，则 =_ 17. 已知 = 2，则tan( 4)的值为_ 三、解答题 18. 已知sin(2 + ) = 3，设 = ， = ， = () (1)求证：tan( + ) = 2； (2)求()的解析式； (3)若角是一个三角形的最小内角，试求函数()的值域 19. 在 中， 内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c， 满足条件 = 2 2， = 4 (1)求角 A； (2)若 边 AB 上的高为3，求 AB的长 20. 如图，在 中，点 D 在 BC上
5、， = 4， = 7 2，cos = 2 10 (1)求 sinC 的值； (2)若 = 5，求 AB的长 第 4 页，共 11 页 21. 已知 中，角 A、B、C 的对边为 a，b，c，向量 = (2 2 ,)， = (cos 2 ,2)，且 (1)求角 C； (2)若2= 2+ 1 2 2，试求sin( )的值 答案和解析答案和解析 1.【答案】D 【解答】 解： sin sin = 1 3 2 ，cos cos = 1 2， (cos cos)2= cos2 2coscos + cos2 = 1 4， (sin sin)2= sin2 2sinsin + sin2 = 7 4 3， 以
6、上两式相加，得2 2cos( ) = 2 3， cos( ) = 3 2 故选 D 2.【答案】A 【解答】 解： cos( 6) = 4 5 且 2 0， 2 3 6 6，sin( 6 ) = 3 5 sin( + 6 ) = sin( 6 + 3 ) = 3 5 1 2 + 4 5 3 2 = 433 10 故选 A 3.【答案】B 【解析】解： + sin( + 3) = 1， + 1 2 + 3 2 = 1， 即3 2 + 3 2 = 1， 得3(1 2 + 3 2 ) = 1， 即3sin( + 6) = 1， 得sin( + 6) = 3 3 4.【答案】D 【解答】 解：由2 t
7、an( + 4) = 7，得2 +1 1tan = 7， 第 6 页，共 11 页 即2 22 1 = 7 7， 得22 8 + 8 = 0， 即tan2 4 + 4 = 0， 即( 2)2= 0， 则 = 2， 故选：D 5.【答案】A 【解答】 解： (0, 2)， 4 ( 4 , 4 )， 又sin( 4) = 3 5， cos( 4) = 4 5， 则 = cos( 4) + 4 = cos( 4)cos 4 sin( 4)sin 4 = 4 5 2 2 3 5 2 2 = 2 10 故选 A 6.【答案】A 7.【答案】B 【解析】解：因为 (0, 2)， ( 2 ,0)， = 2
8、10，且cos( ) = 3 5， 所以 (0,)， 故 = 1 sin2 = 72 10 ，sin( ) = 1 cos2( ) = 4 5； = sin( ) + = sin( ) + cos( ) = 2 2 ； 故 = 4； 8.【答案】B 【解析】解：由已知可得 = cos2 2 = 1+ 2 ， 即2 = 1 + = 1 cos( + ) = 1 + ， 则 + = 1，即cos( ) = 1 ， = 0，即 = 9.【答案】A 【解答】 解： 中， = 2，由正弦定理得， ， = 2， sin( + ) = 2， + = 2， = 0， sin( ) = 0， = ， 是等腰三角
9、形 故选 A 10.【答案】D 【解析】解：60 = 25+35 12535 25 + 35 + 32535 = tan(25 + 35)(1 2535) + 32535 = 60 = 3 11.【答案】A 【解析】解：7040 7040 = sin(700 400) = 30 = 1 2， 故选：A 12.【答案】A 【解答】 解： (4 )cos = cos， 由正弦定理，得4sincos sincos = sincos， 4sincos = sincos + cossin = sin( + ) = sin， cos = 1 4，又 cos = 2+215 2 ， 2 = 2+ 2 15，
10、 2 2 15，当且仅当 = 时取等号， 10，且sin =1 (1 4) 2 = 15 4 ， = 1 2sin 1 2 10 15 4 = 515 4 故选 A 13.【答案】 3 5， 1 3 【解析】解： = 2， 则2 = cos2sin2 cos2+sin2 = 1tan2 1+tan2 = 14 1+4 = 3 5 tan( 4) = tan 4 1+ 4 = 21 1+21 = 1 3 第 8 页，共 11 页 故答案为： 3 5； 1 3 14.【答案】 24 25 【解析】解：若 (0, 2 )， 4 ( 4 , 4 )， sin( 4) = 3 5 (0, 2 2 )，
11、4 (0, 4 )， cos( 4) = 1 sin 2( 4) = 4 5， 2 = sin(2 2) = 2( 4)cos( 4) = 24 25 故答案为： 24 25 由已知可求范围 4 (0, 4)，利用同角三角函数基本关系式可求cos( 4) = 1 sin2( 4) = 4 5，进而根据诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解 15.【答案】433 10 【解答】 解： 为锐角， cos( + 6) = 3 5， ， 则 故答案为433 10 16.【答案】 1 3 【解析】解：由是第二象限角，且 = 4 5，得 = 3 5， = 4 3， tan( + ) = + 1tantan
12、 = 4 3+ 1+4 3 = 3， 解得 = 1 3 故答案为： 1 3 17.【答案】1 3 【解析】解：由 = 2， 得tan( 4) = tan 4 1+ 4 = 21 1+21 = 1 3 18.【答案】 解： (1)证明： sin(2 + ) = 3， sin( + ) + = 3( + ) ， 展开可得sin( + ) + cos( + ) = 3( + ) 3( + )， 4( + ) = 2( + )， tan( + ) = 2 (2) = ， = ， = ()， 又 = tan( + ) = tan(+) 1+tan(+)tan = 2 1+2tan = 1+22， 即函数
13、()的解析式 = () = 1+22 (3)若角是一个三角形的最小内角，则0 3， (0,3)，即 (0,3)， 则函数() = 1+22 = 1 1 +2 1 22 = 2 4 ，当且仅当 = 2 2 时，取等号 函数()在(0, 2 2 )上单调递增，在( 2 2 ,3)上单调递减， 当 x趋于零时，() = 1+22趋于 0，当 x趋于3时，() = 1+22趋于 3 7 ， 故函数()的值域为(0, 2 4 . 19.【答案】解：(1)由正弦定理知， = 2 2， + + = ， = 3 4 ， 2 2 = 2(3 4 ) 2 = 2( 2 2 + 2 2 ) 2 = 2， = 1 2
14、，又 (0,)，故 A= 3 (2)如图所示，过 C作 于 D，则 = 3， = 3， = 1， + + = ， 第 10 页，共 11 页 = sin( + ) = + = 3 2 2 2 + 1 2 2 2 = 6+2 4 ， = cos( + ) = + = 1 2 2 2 + 3 2 2 2 = 62 4 = = 6+2 62 = 2 + 3， 在 中， = = 3 2+3 = 3(2 3)， = + = 1 + 3(2 3) = 23 2 【解析】(1)结合正弦定理和 = 2 2，将边化为角得 = 2 2，由 于 = 3 4 ，所以 2 2 = 2(3 4 ) 2，利用正弦的两角差公
15、式可得 2 2 = 2，所以 = 3； (2)过 C 作 于 D，则 = 3，在 中，因为 = 3，所以 = 1；而 = sin( + )， = cos( + )，利用两角和公式展开后代入已知 数据进行运算， 从而得 = = 2 + 3， 在 中， = = 3 2+3 = 3(2 3)，所以 = + = 23 2 本题考查解三角形和三角恒等变换的综合，采用了边化角的思维，熟练运用正弦定理、 两角和差公式等相关公式是解题的关键， 考查学生的分析能力和运算能力， 属于中档题 20.【答案】解：(1) cos = 2 10， sin =1 ( 2 10) 2 = 72 10 由 = 4，所以 = 4
16、 sin = sin( 4) = sin cos 4 cos sin 4 = 72 10 2 2 + 2 10 2 2 = 4 5 (2)在 中，由 = sin，得 = sin = 7 2 4 5 72 10 = 22， 中，由余弦定理可得2= 2+ 2 2 = 52+ (22)2 2 5 22 ( 2 10) = 37， = 37 21.【答案】解：(1)由题意知， = 0，即22 2 22 = 0，1 + 2(1 cos2) = 0， 22 + 1 = 0，即 = 1，或 = 1 2， 因为0 ，所以 = 60 (2)sin( ) = = 2 2+ 2 2 2 2 2+ 2 2 2 = 2(22) 4 = 2 4 = 4 = 1 2 = 3 4 .(因为2 2= 1 2 2 )
