1、R九年级上册1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？)0(02acbxaxacb42没有实数根有两个相等的实数根有两个不相等的实数根000)04(2422acbaacbbxx2-5x+6=0 x2-3x-28=0(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0(x+5)(x+2)=0(x+4)(x-7)=0(x-2)(x-3)=0 x2+7x+10=0问题问题1 1：从求这些方程的过程中你发现根：从求这些方程的过程中你发现根 与各项系数之间有
2、什么关系？与各项系数之间有什么关系？猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？u重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1 x2=q.合作交流探究新知合作交流探究新知探索一元二次方程的根与系数的关系一 算一算 解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4
3、=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两 根关 系x1x2x2+3x-4=0 x2-5x+6=02x2+3x+1=0-412312-1x1+x2=-3 x1 x2=-4x1+x2=5x1 x2=61232xx 1212x x 合作交流探究新知合作交流探究新知猜一猜 （2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？12bxxa 12cx xa合作交流探究新知合作交流探究新知已知方程已知方程ax2+bx+c=0(a0)，当，当b2-4ac0时，两根分时，两根分别为别为x1=，x2=。x1+x2=，x1x2=.
4、242bbaca 242bbaca 22442222bbacbbacbbaaaa 222224422()(4)4bbacbbacaabbaccaa 两个根的；（1）x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？x2-6x+4=0；（2）x2+x=5x+6x2-6x+4=0；（1）x23x+2=0；（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已
5、知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？两个根的；解：化简得 x2-4x-6=0问题1：从求这些方程的过程中你发现根已知方程5x2+kx6=0的一根是2，则另一根是 ，k .运用根与系数的关系解题类型x1+x2=2,x1 x2=-15.(x-x1)(x-x2)=0.(x-2)(x-3)=0 x1+x2=2,x1 x2=-15.如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.因此，方程的两个根因此，方程的两个根x1，x2和系数和系数a，b，c有如下关系：有如下关系：bcxxx xaa 1212,.1.x2
6、-2x-15=0；例例1 口答下列方程的两根之和与两根之积.2.x2-6x+4=0；3.2x2+3x-5=0；4.3x2-7x=0；5.2x2=5.x1+x2=2,x1 x2=-15.x1+x2=6,x1 x2=4.235+-=022xx12123522xxx x ，1212703xxx x，22-50 x1212502xxx x，ax2+bx+c=0(a0)两边都除以a20bcxxaa12bxxa 12cxxa一元二次方程的根与系数的关系的应用二范例研讨运用新知范例研讨运用新知12,xx2241 0 xx 2212xx121212,2xxxx222121212()2xxxxx x2122()
7、2 5例例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（两个根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒数和）倒数和01322xx解：设方程的两个根是解：设方程的两个根是x1 x2，那么那么 32123112413212232121,2321212122221212212121xxxxxxxxxxxxxxxx返回用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值2111.1xx2121xxxx)1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221.2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21.4xx2
8、21)(xx 212214)(xxxx例3 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以：x1 x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=-7.答：方程的另一个根是 ，k=-7.,5k3.53()5356,5范例研讨运用新知范例研讨运用新知练习练习.不解方程，求方程不解方程，求方程 的的两根的平方和、倒数和。（解法如上）两根的平方和、倒数和。（解法如上）01322 xx根与系数的关系（韦达定理）内 容如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.
9、如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么应 用常见变形222121212()2xxxxx x22121212()()4xxxxx x12121211xxxxxx12bxxa 12cx xa课堂小结课堂小结1.关于关于x的方程的方程x2+px+q=0的根为的根为x1=1+，x2=1-，则则p=，q=.2.已知方程已知方程5x2+kx6=0的一根是的一根是2，则另一根，则另一根是是 ，k .2-2-1-735 2如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.求下列方程的两根x1，x2的和与积：x1+x2=2,x1 x2=-1
10、5.如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.两个根的；(x-2)(x-3)=0(x-x1)(x-x2)=0.x1+x2=2,x1 x2=-15.一元二次方程的根与系数的关系的应用4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的求根公式是什么？（2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？一元二次方程的求根公式是什么？（2）x2+x=5x+6（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x
11、2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？解：化简得 x2-4x-6=0两根的平方和、倒数和。(x+4)(x-7)=0所以：x1 x2=2x2=x1+x2=2,x1 x2=-15.关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+，x2=1-，则p=，q=.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？与各项系数之间有什么关系？两根的平方和、倒数和。x2-2x-15=0；4 一元二次方程的根与系数的关系如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.x2-2x-15=0；x1+x2=2,x1 x2=-15.x1+x2=2,x1 x2=-15.x1+x2=2,x1 x2=-15.一元二次方程的根与系数的关系的应用如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.两根的平方和、倒数和。运用根与系数的关系解题类型一元二次方程的根的情况怎样确定？关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+，x2=1-，则p=，q=.(x-2)(x-3)=02x2+3x-5=0；3.求下列方程的两根求下列方程的两根x1，x2的和与积：的和与积：（1）x23x+2=0；（2）x2+x=5x+6解：解：x1+x2=3x1x2=2解：化简得解：化简得x2-4x-6=0 x1+x2=4x1x2=-6
