1、第三讲第三讲 微分法建模微分法建模处理静态优化问题处理静态优化问题 静态优化问题现实世界中普遍存在静态优化问题现实世界中普遍存在建立静态优化模型的关键之一是根据建模目建立静态优化模型的关键之一是根据建模目 的确定恰当的目标函数的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法求解静态优化模型一般用微分法3.1 存贮问题存贮问题3.2 生猪的出售时机生猪的出售时机3.3 森林救火森林救火3.4 路灯安置优化问题路灯安置优化问题3.1 存贮问存贮问题题问问 题背景题背景1.工厂要定期地订购各种原料，存在仓库里供生工厂要定期地订购各种原料，存在仓库里供生产之用。产之用。2.商店要成批地购进各种商品，放
2、在货柜中以零商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以零售。售。3.水库在雨季蓄水用于旱季的灌溉和航运。水库在雨季蓄水用于旱季的灌溉和航运。实例实例配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产元。试安排该产品
3、的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次，每次，每次100件，无贮存费，准备费件，无贮存费，准备费5000元。元。日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。元。10天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，
4、准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元。元。50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100=122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次平均每天费用最小吗天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用每天费用5000元元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期
5、短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模模 型型 假假 设设1.产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2.每次生产准备费为每次生产准备费为 c1,每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3.T天生产一次（周期）天生产一次（周期）,每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目
6、 的的设设 r,c1,c2 已知，求已知，求T,Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q,q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用TQccC221每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/22221rT
7、cc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天天),Q=1000(件件),C=1000(元元)回答问题回答问题 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件贮存费每天每件贮存费 c2，用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不
8、考虑？问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次天订货一次(周期周期),每次订货每次订货Q件，当贮存量降到件，当贮存量降到零时，零时，Q件立即到货。件立即到货。注：上述模型需改进，对象涉及一次性订货注：上述模型需改进，对象涉及一次性订货费、货物价格、货物储存费和资金占用费。费、货物价格、货物储存费和资金占用费。资金占用费由资金量和时间决定。资金占用费由资金量和时间决定。R：每天利率：每天利率 k:单位货物价格单位货物价格dtRrtQTcRTkQcTCTtTT 021)1)()1()()(允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到
9、零时仍有需求r,出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时原模型假设：贮存量降到零时Q件件立即生产出来立即生产出来(或立即到货或立即到货)现假设：允许缺货现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3,缺货需补足缺货需补足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一周期贮存费贮存费BcdttqcTT331)(一周期一周期缺货费缺货费周期周期T,t=T1贮存量降到零贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标
10、函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用Min),(QTC求求 T,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T,Q记作记作Q212rccT 212crcrTQ不允不允许缺许缺货模货模型型QQTT,332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期
11、初的存贮量每周期初的存贮量R每周期的生产量每周期的生产量R（或订货量）（或订货量）332212ccccrcTrRQ不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量)QQR3.2 生猪的出售时机生猪的出售时机饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，备，估计估计可使可使80千克重的生猪体重增加千克重的生猪体重增加2公斤。公斤。问问题题市场价格目前为每千克市场价格目前为每千克8元，但是元，但是预测预测每天会降每天会降低低 0.1元，问生猪应何时出售。元，问生猪应何时出售。如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响。有误差，对结果有何影响。分
12、分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw-C估计估计r=2，若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1
13、敏感性分析敏感性分析研究研究 r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2，g=0.1rggrt2404 设设g=0.1不变不变 5.1,6040rrrtt 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2，g=0.1rggrt2404研究研究 r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 15.00,203gggtt 对对g的（相对）敏
14、感度的（相对）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。0.060.080.10.120.140.160102030gt强健性分析强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 ,再作计算。再作计算。wwpp,研究研究 r,g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w=w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p=p(t)
15、若若 (10%),则则 （30%）2.28.1 w137 t0)(tQ每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 ttwtptQ4)()()(3.3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林
16、烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x),f2(x)之和最小之和最小 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁
17、速度速度dB/dt.模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费）1）0 t t1,dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度）2）t1 t t2,降为降为-x(为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度）4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比，dB/dt与与 t
18、成正比成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假设假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数目标函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设3）4）xttt112假设假设2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx结果解释结果解释 /是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t1t2tx其中其中
19、 c1,c2,c3,t1,为已知参数为已知参数模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知,t1可估计可估计,c2 x c1,t1,x c3,x 结果结果解释解释231221122ctctcxc1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费,c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费,c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用,t1开始救火时刻开始救火时刻,火火势蔓延速度势蔓延速度,每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么?,可可设置一系列数值设置一系列数值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x3.4 路灯安置优化问题路灯安置优化问题 背背景景目前大多数公共场所都安装了路灯，目前大多数公
20、共场所都安装了路灯，路灯的高度和路灯之间的间距一般是路灯的高度和路灯之间的间距一般是依靠经验进行设置的，依靠经验进行设置的，并没有从优化的角度进行考虑并没有从优化的角度进行考虑。1）一盏路灯的优化问题；）一盏路灯的优化问题；2）两盏路灯间）两盏路灯间距最大的优化问题（即考虑当高度为何值距最大的优化问题（即考虑当高度为何值时，两灯的距离可达最大值）时，两灯的距离可达最大值）3）一排路灯）一排路灯的优化问题（即确定路灯高度，使得路灯的优化问题（即确定路灯高度，使得路灯之间的距离最大）；之间的距离最大）；4）两排路灯的优化）两排路灯的优化 问问题题背景知识背景知识 1.光强度：光源在一定范围内发出可
21、见光辐射强弱的物光强度：光源在一定范围内发出可见光辐射强弱的物理量。以光源在某一方向上单位立体角所辐射的能量来理量。以光源在某一方向上单位立体角所辐射的能量来量度，单位：坎德拉量度，单位：坎德拉2.照度：单位面积上得到的光通量，单位：勒克司照度：单位面积上得到的光通量，单位：勒克司 3.照度定律：点光源照度定律：点光源O预备照明平面中心预备照明平面中心A的距离为的距离为h时，平面上时，平面上A点的照度点的照度 aspEcos23sph其中，其中，p为为 O点的光强度，点的光强度，a为平面的法线方向与光源为平面的法线方向与光源到到A点的连线之间的夹角点的连线之间的夹角,h为光源的高度，为光源的高
22、度，s为光源到为光源到A点的距离点的距离4.为保证在该路段上处处都能有满足正常活动需要的为保证在该路段上处处都能有满足正常活动需要的照明强度，取照度的最小值为照明强度，取照度的最小值为2/20mw模型假设模型假设1.主要考虑高度和间距的优化问题为简化模型设主要考虑高度和间距的优化问题为简化模型设路灯的额定功率为定值路灯的额定功率为定值 wp22000注：数据来源注：数据来源 A路的路灯标签路的路灯标签 额额定电压为定电压为220伏，额定电流为伏，额定电流为10安安2.在考虑一排路灯的情况时，假设为完全规范的，在考虑一排路灯的情况时，假设为完全规范的，即处处等宽。即宽度为即处处等宽。即宽度为 5
23、 5米米 （数据来源：实地测数据来源：实地测量量A A路的宽度路的宽度.）3.经查阅物理知识，照明强度直接影响可见度，只经查阅物理知识，照明强度直接影响可见度，只有照明强度不低于某定值时，才能认为物体可见。有照明强度不低于某定值时，才能认为物体可见。在这里认为对所有物体照明强度不低于某定值在这里认为对所有物体照明强度不低于某定值 2020mwc 模型假设模型假设4.经观测路长经观测路长L=260L=260米米 p:路灯的功率路灯的功率 L:路长路长 h h:路灯的高度路灯的高度l:l:路灯的间距路灯的间距 d d:路的宽度路的宽度 记号记号模型建立与求解模型建立与求解一一 .一盏路灯的优化问题
24、一盏路灯的优化问题 由物理学知识可知，被光线照射的物体的亮度依由物理学知识可知，被光线照射的物体的亮度依赖于它与光源之间的距离平方的倒数和光线的投射赖于它与光源之间的距离平方的倒数和光线的投射角度。路灯到某点角度。路灯到某点A A的照明强度为：的照明强度为：2322hrphc 其中其中p为灯的功率，为灯的功率，h为灯的高度，为灯的高度，r为灯在地面为灯在地面投映点到点投映点到点A的距离的距离.地面上物体可见的区域为：地面上物体可见的区域为：02322chrph 有解条件有解条件：0cph物体可见区域物体可见区域 条件：条件：2320hcphr 物体可见区域的面积为以物体可见区域的面积为以O为圆
25、心，以为圆心，以r r为半径的圆为半径的圆 2320hcphr 其中其中模型为：模型为：2maxrs 2320hcph 求解求解对对s s关于关于h h求导可得：求导可得：04*271cph此时此时面积达最大值，可求得路灯得最优高度。面积达最大值，可求得路灯得最优高度。代入，结果为：代入，结果为：最优高度最优高度h h为为4.604.60米米 二二 两盏路灯间距最大的的优化问题两盏路灯间距最大的的优化问题主要考虑当高度为何值时，两灯主要考虑当高度为何值时，两灯的距离可达最大值的距离可达最大值 目的目的1l1l如图如图1A如图，如图，A点的照度在路面的各点点的照度在路面的各点中最小，所以中最小，
26、所以l和和 h的只需满足的只需满足:0ccA 2322225.02dhlphcA 其其中中目的目的只需求当只需求当c cA A=c c0 0 时，使时，使l最大的最大的h值值 求解求解 202525.044002322 hlh由由 252202232 hhl得得对上式关于对上式关于h求导得求导得:2123232522022203440 hhhhl0 l由由h=6.5米时，米时，l最大为最大为15.5米米 结果结果27484004 h得得三三 一排路灯的优化问题一排路灯的优化问题目的目的确定路灯高度确定路灯高度h h和路灯之间的距离和路灯之间的距离l l，使得路，使得路灯之间的距离最大灯之间的距
27、离最大 1.求最大的路灯间距求最大的路灯间距 KLMNQR图图2由上图可知由上图可知,路灯路灯l和和m之间的路段，与中点之间的路段，与中点Q相对的相对的R点的照明强度最小，并且计算该点照明强度时，只点的照明强度最小，并且计算该点照明强度时，只需考虑路灯需考虑路灯K,L,M,N对其的影响，其他较远的路灯对对其的影响，其他较远的路灯对其的影响可忽略。其的影响可忽略。R点的照明强度为点的照明强度为 2322223222492412hdlphhdlphc且要使且要使R点的物体可见应有点的物体可见应有：0cc从而只需求当从而只需求当c cR R=c c0 0 时时,求使得求使得l最大的最大的h值值 同第
28、二部分，用同第二部分，用Matlab求解求解 得得h=6.6米时，米时，l最大。最大。最大值为最大值为16.5米。米。结果结果2考虑边界问题考虑边界问题 ACFG图图3 2322223222)(hdlxphhdxphc 0cc 可解得：可解得：x=3.5时时c=20，此时，此时x最大最大 3计算所需的总的灯数计算所需的总的灯数 260-3.5=256.5 因为因为93.5 所以路所以路的另一端还需一盏的另一端还需一盏灯灯 256.5=15*16.5+9结果结果所需灯的总数为所需灯的总数为17盏盏 四四 两排路灯的优化问题两排路灯的优化问题 路灯的布点是否适当直接关系到照明的效果路灯的布点是否适
29、当直接关系到照明的效果 双侧布灯大体双侧布灯大体有两种方式：有两种方式：对称布置对称布置 交错布置交错布置 对称布置的优点是比较美观，但不足之处是照度对称布置的优点是比较美观，但不足之处是照度不够均匀，适合较宽的道路不够均匀，适合较宽的道路 交错布置美观上不如对称布灯，但照度比较均匀交错布置美观上不如对称布灯，但照度比较均匀 选择交错布置选择交错布置 1.求最大的路灯间距求最大的路灯间距 bfHIJKL图图4 由图可知，照明强度最低的点一定出现在路的中由图可知，照明强度最低的点一定出现在路的中线上，且对图中线上，且对图中AB段照明强度呈周期性变化段照明强度呈周期性变化 所以只需使所以只需使AB
30、的中点的中点C照明强度大于等于照明强度大于等于 220mw 计算该点照明强度时，只需考虑路灯计算该点照明强度时，只需考虑路灯J,H,M,N对对其的影响，其他较远的路灯对其的影响可忽略其的影响，其他较远的路灯对其的影响可忽略 C点的照明点的照明强度为强度为 2322223222411612411692 hdlphhdlphc且要使且要使C点的物体可见应有：点的物体可见应有：0cc只需求当只需求当c c=c c0 0 时时,求使得求使得l最大的最大的h值值 同第二部分，用同第二部分，用Matlab求解求解 结果结果得得h=6米时，米时，l最大。最大值为最大。最大值为36.9米米 2考虑边界问题考虑
31、边界问题 ACEGHJ图图5 A、C两点为路的边界，设距两点为路的边界，设距A点最近的灯点最近的灯E与与A的距离为的距离为x米米 J点的照明强度为：点的照明强度为：（只考虑（只考虑E和和H两两灯的影响）灯的影响）232222322241)2(41 hdlxphhdxphc0cc 满足满足结果结果x=6 时时c=20，此时，此时x最大最大 3 计算所需的灯数计算所需的灯数 如图如图5，在，在AE边上，边上，AE=6米，米，260=6+36.9*6+32.6 所以该边需装灯所以该边需装灯7盏盏 另一端剩余另一端剩余32.6米。在米。在CG边上边上CH=6+l/2=24.45米米260=24.45+
32、36.9*6+13.15 该边装灯该边装灯7盏时距另一端盏时距另一端13.15米，米，13.156米米，另一端总需另一端总需8盏盏 安装两排灯时所需总数为安装两排灯时所需总数为15盏盏 结果结果注：大范围、复杂环境的路灯设计需考虑的因素非常多。需要认真调注：大范围、复杂环境的路灯设计需考虑的因素非常多。需要认真调查，认真思考，同时还要多方面听取意见，进行多次讨论，按照多方查，认真思考，同时还要多方面听取意见，进行多次讨论，按照多方面的要求统一协调，综合考虑，要根据实际发生的情况解决具体施工面的要求统一协调，综合考虑，要根据实际发生的情况解决具体施工问题。校园不同的区域有不同的功能，同时环境也比较复杂。在设计问题。校园不同的区域有不同的功能，同时环境也比较复杂。在设计室外照照时需要考虑的方面非常多。并且应考虑所选灯的类型，校园室外照照时需要考虑的方面非常多。并且应考虑所选灯的类型，校园中一些支路上照度要求不很高，同时需要营造比较幽静的气氛，白帜中一些支路上照度要求不很高，同时需要营造比较幽静的气氛，白帜灯正好满足这些要求。我相信通过大家的努力校园的夜景一定会更灯正好满足这些要求。我相信通过大家的努力校园的夜景一定会更加美丽。加美丽。
