1、中考数学复习专题讲座 -探究性问题 一、中考专题诠释n探究型问题是指命题中缺少一定的探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题根据其补充并加以证明的一类问题根据其特征大致可分为：条件探究型、结论特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型探究型、规律探究型和存在性探究型等四类等四类二、解题策略与解法精讲二、解题策略与解法精讲n由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖
2、，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：可以从以下几个角度考
3、虑：n 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律 2反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致 3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果 4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用考点一：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论
4、成立的条件 1如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形ABCD为平行四边形，请证明你添加的条件是 考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质 例1:如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合n（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；n（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大
5、（或最小）值n 分析：（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得4=60，AC=AB进而求证ABE ACF，即可求得BE=CF；n 解答：（1）证明：连接AC，四边形ABCD为菱形，BAD=120，1+EAC=60，3+EAC=60，1=3，BAD=120，ABC=60，ABC和ACD为等边三角形，4=60，AC=AB，在ABE和ACF中，ABE ACF（ASA）BE=CF；n（2）根据ABE ACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE
6、的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF的面积就会最大n（2）解：四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化n 理由：由（1）得ABE ACF，n 则SABE=SACF，n 故S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值，n 作AHBC于H点，则BH=2，n S四边形AECF=SABC=BCAH=BC =4 ，n 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短n 故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，n 又SCEF=S四边形A
7、ECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大n SCEF=S四边形AECFSAEF=4 2 =n 点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证ABE ACF是解题的关键，有一定难度考点二：结论探究型：n 此类问题给定条件但无明确结论或结论不唯一，而需探索发现与之相应的结论的题目nn 例2：如图所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1l于点D1，过点E作EE1l于点E1n（1）如图，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；n（2）在图中，
8、当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；n（3）如图，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系（不需要证明）n 1）如图，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；n（2）在图中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；n（3）如图，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系（不需要证明）n 分析：（1）由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，DAC=ABC=90，又由同角的余角相等，
9、求得ADD1=CAB，然后利用AAS证得ADD1 CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AB；n（2）首先过点C作CHAB于H，由DD1AB，可得DD1A=CHA=90，由四边形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得ADD1=CAH，然后利用AAS证得ADD1 CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AH，同理EE1=BH，则可得AB=DD1+EE1n（3）证明方法同（2），易得AB=DD1EE1n 练习（2012佳木斯）在菱形ABCD中，ABC=60，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EFn（1）若E是线段AC的
10、中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；n（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明考点三：规律探究型：n 规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.n例5 （2012青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=90，且EF交正方形外角平分线CF于点F请
11、你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题n（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但ABE和ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证AEM EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：n证明：如图1，取AB的中点M，连接EMnAEF=90nFEC+AEB=90n又EAM+AEB=90nEAM=FECn点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点nAM=ECn又可知BME是等腰直角三角形nAME=135n又CF是正方形外角的平分线nECF=135
12、nAEM EFC（ASA）nAE=EFn（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论n（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由n 分析：（2）在AB上截取AM=EC，然后证明EAM=FEC，AME=ECF=135，再利用“角边角”证明AEM和EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；n（3）延长BA到M，使AM=C
13、E，然后证明BME=45，从而得到BME=ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明DAE=BEA，然后得到MAE=CEF，再利用“角边角”证明MAE和CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证四、中考真题演练n n 1（2012岳阳）（1）操作发现：如图，D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论n（2）类比猜想：如图，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？n（3）深入探究：n 如图，当动点D在等边ABC
14、边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连接AF、BF，探究AF、BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结论n 如图，当动点D在等边边BA的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论n 2（1）问题探究如图1，分别以ABC的边AC与边BC为边，向ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使AHK=ACD1作D1MKH，D2NKH，垂足分别为点M，N试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明n（2）拓展延伸n 如图2，若将“问题探究”
15、中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使AH1K1=BH2K2=ACD1作D1MK1H1，D2NK2H2，垂足分别为点M，ND1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由n 如图3，若将中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）n 3（2012广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）n（1）当=60时，求CE的长；n（2）当6090时，n 是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由n 连接CF，当CE2CF2取最大值时，求tanDCF的值n 4（2012德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BHn（1）求证：APB=BPH；n（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；n（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由Thank You!
