1、动态型问题动态型问题一、中考专题诠释一、中考专题诠释n所谓所谓“动态型问题动态型问题”是指题设图形中存在是指题设图形中存在一个或多个动点一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线它们在线段、射线或弧线上运动，或线、面按一定条件运动的一类上运动，或线、面按一定条件运动的一类开放性题目开放性题目.解决这类问题的关键是解决这类问题的关键是动中求动中求静静,灵活运用灵活运用有关数学知识解决问题有关数学知识解决问题.n“动态型问题动态型问题”题型繁多、题意创新，考察题型繁多、题意创新，考察学生的学生的分析问题、解决问题的能力，内容分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等包括空间观念、
2、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。是近几年中考题的热点和难点。二、解题方法二、解题方法n（1）动中求静动中求静：找找出运动过程中导致出运动过程中导致图形本质发生变化的图形本质发生变化的分界点分界点，由分界，由分界点确定区域（即分类思想），在界点点确定区域（即分类思想），在界点间间找共性（即为找共性（即为静静）。）。n（2）以静制动以静制动，在界点，在界点间间选取代表选取代表，得出得出静态图形静态图形，从而，从而建立数学模型求建立数学模型求解解，达到解决动态问题的目的。，达到解决动态问题的目的。考点一：考点一：建立动点问题的函数解析建立动点问题的函数解析式（或函数图像式（或函数图
3、像）n函数揭示了运动变化过程中量与量之间的函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律变化规律,是初中数学的重要内容是初中数学的重要内容.动点问题动点问题反映的是一种函数思想反映的是一种函数思想,由于某一个点或某由于某一个点或某图形的有条件地运动变化图形的有条件地运动变化,引起未知量与已引起未知量与已知量间的一种变化关系知量间的一种变化关系,这种变化关系就是这种变化关系就是动点问题中的函数关系动点问题中的函数关系 例例1 （2013兰州）如图，动点兰州）如图，动点P从点从点A出发，沿线段出发，沿线段AB运动至点运动至点B后，立即按原路返回，点后，立即按原路返回，点P在运在运动过程中速度不变，则
4、以点动过程中速度不变，则以点B为为圆心，线段圆心，线段BP长为半径的圆的面长为半径的圆的面积积S与点与点P的运动时间的运动时间t的函数图的函数图象大致为（）象大致为（）A B C DB定量的分析定量的分析方法方法 对应训练对应训练1（2013白银）如图，白银）如图，O的圆的圆心在定角心在定角（0180）的）的角平分线上运动，且角平分线上运动，且 O与与的两的两边相切，图中阴影部分的面积边相切，图中阴影部分的面积S关关于于 O的半径的半径r（r0）变化的函数）变化的函数图象大致是（）图象大致是（）A B C DC考点二：考点二：动态几何型题目动态几何型题目（一）点动问题（一）点动问题例例2 （2
5、013新疆）如图，新疆）如图，RtABC中，中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，D为为BC的中点，若动点的中点，若动点E以以1cm/s的速度从的速度从A点出发，点出发，沿着沿着ABA的方向运动，设的方向运动，设E点的运动时间为点的运动时间为t秒（秒（0t6），连接），连接DE，当，当BDE是直角三角是直角三角形时，形时，t的值为（）的值为（）A2B2.5或或3.5C3.5或或4.5D2或或3.5或或4.5D注意：分类思想注意：分类思想对应训练对应训练2（2013北京）如图，点北京）如图，点P是是以以O为圆心，为圆心，AB为直径的半圆上为直径的半圆上的动点，的动点，AB=2设弦设弦AP
6、的长为的长为x，APO的面积为的面积为y，则下列，则下列图象中，能表示图象中，能表示y与与x的函数关系的函数关系的图象大致是（）的图象大致是（）A B C DA选取合适的特殊位置，选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接然后去解答是最为直接有效的方法有效的方法（二）线动问题（二）线动问题例例3 （2013荆门）如右图所示，荆门）如右图所示，已知等腰梯形已知等腰梯形ABCD，ADBC，若动直线若动直线l垂直于垂直于BC，且向右平，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为为x，则，则S关于关于x的函数图的函数图象大致是（）象大致是（）A B C DA注意注意：将过
7、程分成几个阶段，依次分析各个阶段得将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况变化情况，进而综合可得整体得变化情况对应训练对应训练3（2013永州）如图所示，在永州）如图所示，在矩形矩形ABCD中，垂直于对角线中，垂直于对角线BD的直线的直线l，从点，从点B开始沿着线段开始沿着线段BD匀速平移到匀速平移到D设直线设直线l被矩被矩形所截线段形所截线段EF的长度为的长度为y，运动，运动时间为时间为t，则，则y关于关于t的函数的大致的函数的大致图象是（）图象是（）A B C DA（三）面动问题（三）面动问题 例例4 （2013牡丹江）如图所示：边长分别为牡丹江）如图所示
8、：边长分别为1和和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面，大正方形内去掉小正方形后的面积为积为s，那么，那么s与与t的大致图象应为（）的大致图象应为（）A B C DA对应训练对应训练4（2013衡阳）如图所示，半径为衡阳）如图所示，半径为1的圆和边的圆和边长为长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为
9、t，正，正方形除去圆部分的面积为方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则（阴影部分），则S与与t的大致图象为（）的大致图象为（）A B C DA考点三：考点三：双动点问题双动点问题n双动点问题双动点问题对同学们获取信息和处理信息对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高高的能力要求更高高;解题时需要用运动和变解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变挖掘运动、变化的全过程化的全过程,并特别并特别关注运动与变化中的不关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系变量、不变关系或特殊关系,动中取静动中取静,静中静中求动求动 例例5 （2013攀枝花）如图，在平面
10、直角坐标系中，攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形四边形ABCD是梯形，是梯形，ABCD，点，点B（10，0），），C（7，4）直线）直线l经过经过A，D两点，且两点，且sinDAB=动点动点P在线段在线段AB上从点上从点A出发以出发以每秒每秒2个单位的速度向点个单位的速度向点B运动，同时动点运动，同时动点Q从点从点B出发以每秒出发以每秒5个单位的速度沿个单位的速度沿BCD的方向向点的方向向点D运动，过点运动，过点P作作PM垂直于垂直于x轴，与折线轴，与折线ADC相相交于点交于点M，当，当P，Q两点中有一点到达终两点中有一点到达终22点时，另一点也随之点时，另一点也随之停止运动设点停止运动
11、设点P，Q运动的时间为运动的时间为t秒秒（t0），），MPQ的的面积为面积为S（1）点）点A的坐标为的坐标为 ，直线，直线l的解析式为的解析式为 ；n解：（解：（1）C（7，4），），ABCD，D（0，4）sinDAB=，DAB=45，OA=OD=4，A（-4，0）设直线设直线l的解析式为：的解析式为：y=kx+b，则有，则有，解得：解得：k=1，b=4，y=x+4点点A坐标为（坐标为（-4，0），直线），直线l的解析式为：的解析式为：y=x+4 224-40bkb（2）试求点）试求点Q与点与点M相遇前相遇前S与与t的函数关系的函数关系式，并写出相应的式，并写出相应的t的取值范围；的取值范围；
12、n（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程：当0t1时，当1t2时，当2t 时，167(1)S=-5t2+14t；(2)S=-7t2+16t；(3)S=-14t+32；(1)S=-5t2+14t；(2)S=-7t2+16t；(1)S=-5t2+14t；（3）试求（）试求（2）中当）中当t为何值时，为何值时，S的值最大，并求出的值最大，并求出S的最大值的最大值；n当当0t1时，时，n当当1t2时，时，n当当2t 时，时，(3)S=-14t+32；(2)S=-7t2+16t；(1)S=-5t2+14t；167(1)当当t=1时，时，S有最大值，最大值为有最大值，最大值为9；(2)当当t=时，时，S有
13、最大值，最大值为有最大值，最大值为 ；87(3)0S4 647考查了指定考查了指定区间上的函区间上的函数极值数极值（4）随着）随着P，Q两点的运动，当点两点的运动，当点M在线段在线段DC上运动时，设上运动时，设PM的延长线与直线的延长线与直线l相交于相交于点点N，试探究：当，试探究：当t为何值时，为何值时，QMN为等腰为等腰三角形？请直接写出三角形？请直接写出t的值的值 如答图如答图4所示，点所示，点M在线段在线段CD上，与上，与Q相遇前时，相遇前时，MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，由由MN=MQ，得，得16-7t=2t-4，解得解得t
14、=209n当点点M在线段在线段CD上，与上，与Q相遇后时，相遇后时，当Q刚好运动至终点D，此时QMN为等腰三角形，t=125点评：点评：本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题关键是对动点运动过程有清晰的理解第（关键是对动点运动过程有清晰的理解第（3）问中，）问中，考查了指定区间上的函数极值，增加了试题的难度；考查了指定区间上的函数极值，增加了试题的难度；另外，分类讨论的思想贯穿（另外，分类讨论的思想贯穿（2）-（4）问始终，同学）问始终，同学们需要认真理解并熟练掌握们需要认真理解并熟练掌握 对应训练对应训练5（2013武汉）如图，武汉）如图，E，F是正
15、方形是正方形ABCD的边的边AD上两个动点，满足上两个动点，满足AE=DF连接连接CF交交BD于点于点G，连接，连接BE交交AG于点于点H若正方形的若正方形的边长为边长为2，则线段，则线段DH长度的最小值是长度的最小值是 抓不变性：抓不变性：AHBE常见常见几何几何最值最值类型类型 6（2013长春）如图长春）如图，在，在 ABCD中，中，AB=13，BC=50，BC边上的高为边上的高为12点点P从点从点B出发，沿出发，沿B-A-D-A运动，沿运动，沿B-A运动时的速度为每秒运动时的速度为每秒13个单位长度，个单位长度，沿沿A-D-A运动时的速度为每秒运动时的速度为每秒8个单位长度点个单位长度
16、点Q从从点点 B出发沿出发沿BC方向运动，速度为每秒方向运动，速度为每秒5个单位长度个单位长度P、Q两点同时出发，当点两点同时出发，当点Q到达点到达点C时，时，P、Q两点同时停两点同时停止运动设点止运动设点P的运动时间为的运动时间为t（秒）连结（秒）连结PQ1）当点）当点P沿沿A-D-A运动时，求运动时，求AP的长（用含的长（用含t的代数式表的代数式表示）示）n（2）连结）连结AQ，在点，在点P沿沿B-A-D运动过程中，当点运动过程中，当点P与点与点B、点、点A不重合时，记不重合时，记APQ的面积为的面积为S求求S与与t之间的函数关系式之间的函数关系式（3）过点）过点Q作作QRAB，交，交AD
17、于点于点R，连结，连结BR，如图如图在点在点P沿沿B-A-D运动过程中，当线段运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等分成面积相等的两部分时的两部分时t的值的值（4）设点）设点C、D关于直线关于直线PQ的对称点分别为的对称点分别为C、D，直接写出，直接写出CDBC时时t的值的值 1）当点）当点P沿沿A-D-A运动时，求运动时，求AP的长（用含的长（用含t的代数式表示）的代数式表示）解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8 当点P沿D-A运动时，AP=502-8（t-1）=108-8t（2）连结）连结AQ，在点，在点P沿沿
18、B-A-D运动过程中，当点运动过程中，当点P与点与点B、点、点A不重合时，记不重合时，记APQ的面积为的面积为S求求S与与t之间的函数关系式之间的函数关系式 当点P与点A重合时，BP=AB，t=1当点P与点D重合时，AP=AD，8t-8=50，t=当0t1时，如图 294作过点 Q 作 QEAB 于点 E SABQ=12ABQE=12BQ12，QE=1212 513BQAB=6013 S=-30t2+30t 如何分类？如何分类？当 1t?294时，如图 S=12AP12=12(8t-8)12，S=48t-48；（3）过点）过点Q作作QRAB，交，交AD于点于点R，连结，连结BR，如，如图图在点
19、在点P沿沿B-A-D运动过程中，当线段运动过程中，当线段PQ扫过的扫过的图形（阴影部分）被线段图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分分成面积相等的两部分时时t的值的值 n当点P与点R重合时，AP=BQ，8t-8=5t，t=当0t1时，如图 83SBPM=SBQM，PM=QMABQR，PBM=QRM，BPM=MQR在BPM和RQM中 PBMQRMBPMMQRPMQM BPM RQMBP=RQ，RQ=AB，BP=AB13t=13，解得：t=1 当 1t?83时，如图 BR 平分阴影部分面积，P 与点 R 重合 t=83 当83t?294时，如图 SABR=SQBR，SABRS四边形四边形B
20、QPR BR不能把四边形不能把四边形ABQP分成面积相等分成面积相等的两部分的两部分综上所述，当综上所述，当t=1或或 时，线段时，线段PQ扫过的图扫过的图形（阴影部分）被线段形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分成面积相等的两部分分83（4）设点）设点C、D关于直线关于直线PQ的对称点分别为的对称点分别为C、D，直接写出，直接写出CDBC时时t的值的值 如图如图，当，当P在在A-D之间或之间或D-A之间时，之间时，CD在在BC上方且上方且CDBC时时 COQ=OQCCOQ COQ，COQ=COQ，CQO=COQ，QC=OC，50-5t=50-8（t-1）+13，或或50-5t=8（t-
21、1）-50+13 解得：t=7 或 t=9513 当P在A-D之间或D-A之间，CD在BC下方且CDBC时，如图同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，50-5t+13=8（t-1）-50，解得：t=12113 当 t=7，t=9513，t=12113时 点C、D关于直线PQ的对称点分别为C、D，且CDBC 7（2013连云港）如图，在平面直角坐标系中，连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点为坐标原点，点A、B的坐标分别为（的坐标分别为（8，0）、）、（0，6）动点）动点Q从点从点O、动点、动点P从点从点A同时出发，同时出发，分别沿着分别沿着OA方向、方向、AB方向均以方向均以1个单
22、位长度个单位长度/秒秒的速度匀速运动，运动时间为的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（秒）（0t5）以）以P为圆心，为圆心，PA长为半径的长为半径的 P与与AB、OA的另一个交点的另一个交点分别为分别为C、D，连接，连接CD、QC（1）求当）求当t为何值时，点为何值时，点Q与点与点D重合？重合？cosBAO=sinBAO=AC为 P的直径，ACD为直角三角形AD=ACcosBAO=2t =t当点Q与点D重合时，OQ+AD=OA，即：t+t=8，解得：t=t=（秒）时，点Q与点D重合 解：（1）A（8，0），B（0，6），OA=8，OB=6，AB=10，45OAAB35OBAB4585854013
23、4013（2）设）设QCD的面积为的面积为S，试求，试求S与与t之间的函数之间的函数关系式，并求关系式，并求S的最大值；的最大值；当 0t?4013时，DQ=OA-OQ-AD=8-t-85t=8-135t S=12DQCD=12（8-135t）65t=-3925t2+245t-2ba=2013，020134013，当 t=2013时，S 有最大值为4813；当4013t?5 时，DQ=OQ+AD-OA=t+85t-8=135t-8 S=12DQCD=12（135t-8）65t=3925t2-245t （3）若）若 P与线段与线段QC只有一个交点，只有一个交点，请直接写出请直接写出t的取值范围的
24、取值范围（3）当 CQ 与P 相切时，有 CQAB，BAO=QAC，AOB=ACQ=90，ACQAOB，ACACOAAB，28810tt，解得 t=167 所以，P 与线段 QC 只有一个交点，t 的取值范围为 0t?167或4013t?5 考点四：三动点问题考点四：三动点问题例（例（2013遵义）如图，在遵义）如图，在RtABC中，中，C=90，AC=4cm，BC=3cm动点动点M，N从点从点C同时出发，均以每秒同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿的速度分别沿CA、CB向终点向终点A，B移动，同时动点移动，同时动点P从点从点B出发，以每秒出发，以每秒2cm的速度的速度沿沿BA向终点向终点A移
25、动，连移动，连接接PM，PN，设移动时间，设移动时间为为t（单位：秒，（单位：秒，0t2.5）（1）当）当t为何值时，以为何值时，以A，P，M为顶点的三为顶点的三角形与角形与ABC相似？相似？分两种情况：分两种情况：当当AMPABC时时，当当APMABC时时 APAMACAB52445tt解得t=32；AMAPACAB45245tt解得解得t=0（不合题意，舍去）；（不合题意，舍去）；（2）是否存在某一时刻）是否存在某一时刻t，使四边形，使四边形APNC的的面积面积S有最小值？若存在，求有最小值？若存在，求S的最小值；若的最小值；若不存在，请说明理由不存在，请说明理由n假设存在某一时刻假设存在
26、某一时刻t，使四边形，使四边形APNC的面积的面积S有最小值如有最小值如图，过点图，过点P作作PHBC于点于点H则则PHAC PHBPACBA245PHtPH=t 85S=SABC-SBPH，32215当t=时，S最小值=9（2013苏州）如图，点苏州）如图，点O为矩形为矩形ABCD的对的对称中心，称中心，AB=10cm，BC=12cm，点，点E、F、G分别从分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为的运动速度为1cm/s，点点F的运动速度为的运动速度为3cm/s，点，点G的运动速度为的运动速度为1.5cm/s
27、，当点，当点F到达点到达点C（即点（即点F与点与点C重合）重合）时，三个点随之时，三个点随之停止运动在运动过程中，停止运动在运动过程中，EBF关于直线关于直线EF的对称的对称图形是图形是EBF设点设点E、F、G运动的时间为运动的时间为t（单位：（单位：s）（1）当t=s时，四边形EBFB为正方形；解：若四边形解：若四边形EBFB为正为正方形，则方形，则BE=BF，即：即：10-t=3t，解得解得t=2.5；43写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
