1、1.1.1正弦定理正弦定理 一一.问题的引入问题的引入:.(1)元宵节是一年中第一个月圆之夜，我们在赏月元宵节是一年中第一个月圆之夜，我们在赏月时，常常想起古代嫦娥奔月的神话故事时，常常想起古代嫦娥奔月的神话故事.明月明月 高悬高悬,我们仰望夜空我们仰望夜空,会有无限遐想会有无限遐想,不禁会问不禁会问,月亮离我们地球有多远呢月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样科学家们是怎样 测出来的呢？测出来的呢？(2)设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸,只给你米尺和量角只给你米尺和量角设备设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB 定义：把三角形的三个角A，B，C和三
2、条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。ABCabc解三角形就是：由已知的边和角，求未知的边和角。动动手，大胆猜想 首先，我们来看看我们每个同学手中的一对三角板。通过观察，有什么样的猜想呢？ABC213回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcbasinacA 两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？sinsinabcAB sin1C sinsinsinabcABC 思考思考:对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗?动动脑，小心求证sinbcB 在锐角三角形中在锐角三角形中.的的夹夹角角为为与与，的的夹夹
3、角角为为与与，的的夹夹角角为为与与ABjCBjACjC 90A 9090由向量加法的三角形法则由向量加法的三角形法则ABCBAC ABjCBjACjABjCBACjj 得得的的数数量量积积两两边边同同取取与与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj 定定义义）（根根据据向向量量的的数数量量积积的的CcAaAcCasinsinsinsin 即即在在锐锐角角三三角角形形中中，可可得得垂垂直直于于点点作作过过同同理理,sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin 也也有有jBACabc，于于垂垂直直作作单单位位向向量量证证明明：过过点点ACjA在钝角三角形中在钝
4、角三角形中ABCj的的夹夹角角为为与与的的夹夹角角为为与与则则垂垂直直的的单单位位向向量量作作与与过过点点设设CBjABjjACAA,900 90 AC 90sinsinsinabcABC1.1.三角：三角：A+B+C=A+B+C=2.2.三边：三边：正弦定理：二二.定理形成定理形成3.边和角：大角对大边，大边对大角边和角：大角对大边，大边对大角,abc acb bca历史渊源正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与证明的.13世纪的那希尔丁在论完全四边形中第一次把三角学作为独立的学科进行论述,首次清楚地论证了正弦定理.他还指出,由球面三角形的三个角,可以求得它的
5、三个边,或由三边去求三个角.这是区别球面三角与平面三角的重要标志.至此三角学开始脱离天文学,走上独立发展的道路.（1 1）文字叙述文字叙述正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等的正弦的比相等.（2）结构特点结构特点（3 3）方程的观点）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个求另一个.和谐美、对称美和谐美、对称美.正弦定理正弦定理:CcBbAasinsinsin 思考：正弦定理有何作用?（二）已知两边一对角，可求其它边和角！（一）已知两角一对边，可求其它边和角！3 3、正弦定理可以解决三角形中的问题：
6、、正弦定理可以解决三角形中的问题：已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角sinsinsinabcABC正弦定理：正弦定理：三三.应用定理，巩固新知应用定理，巩固新知例1：在ABC中，已知A=450，B=750，a=30cm，解三角形.解：607545180180BACccbbAasinsinsin 45sin75sin30sinsinABab 13152242630 45sin60sin30sinsinACac615222330 cmccmbC6151
7、31560 练习1：在ABC中，A=60，B=45，c=20，解三角形 754560180180BAC解：ccbbAasinsinsin 75sin60sin20sinsinCAca6102304262320 75sin45sin20sinsinCBcb 13204262220 132061023075 baC例 2 已知a=16，b=，A=30.解三角形已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,或120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当1
8、20时B16300ABC1631683练习练习200(1)45,2,2,10 3(2)60,4,3ABCAabBABCAabB在中，已知 求在中，已知求B=300无解无解 已知两边和其中一边的对角，试讨论三角形的解的情况已知a、b、A，作三角形四四.探索发现，提高新知探索发现，提高新知 已知两边和其中一边对角解斜三角形已知两边和其中一边对角解斜三角形 CCABAbabaa1B2Ba=bsinA 一解bsinAab 两解CAbaabsinA 无解CABbaab 一解作三角形归纳总结：归纳总结：已知两边和其中一边对角已知两边和其中一边对角解斜三角形解斜三角形有两解或一解或无解三种情况有两解或一解或
9、无解三种情况CCABAbabaa1B2Ba=bsinA 一解bsinAab 两解CAbaabsinA 无解CABbaab 一解作三角形已知边已知边a,b和角，求其他边和角和角，求其他边和角为锐角为锐角absinA无解无解a=bsinA一解一解bsinAab一解一解ab无解无解babaabababab 练习3：解三角形（已知两边和其中一边的对角，可（已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角以求出三角形的其他的边和角.）（1）b20，A60，a203;（2）b20，A60，a103;（3）b20，A60，a15.60ABCb五五.随堂练习随堂练习（3 3）b b2020，A A606
10、0，a a15.15.6020AC（1 1）b b2020，A A6060，a a ;32060203A20BC（2 2）b b2020，A A6060，a a ;310BC60A20一解一解一解一解无解无解（1）b20，A60，a203sinB =，b sinAa12B30或150，15060 180，B150应舍去.6020203ABC（2）b20，A60，a103sinB 1，b sinA aB90.B60AC20（3）b20，A60，a15.sinB ，b sinA a233233 1，无解.6020AC 探究课题引入时问题探究课题引入时问题(2)的解决方法的解决方法ABCbcbsin
11、bsin AB=AB=sin(sin(+)正弦定理正弦定理 主要应用主要应用 sinsinsinabcABC (1)已知两角及任意一边，可以求出其他两边已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；和另一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、此时可能有一解、二解、无解）无解）六六.课堂小结课堂小结课后探究课后探究:sinsinsinabckABC那么这个那么这个k值是什么呢值是什么呢?你能用一个和三角形有你能用一个和三角形有关的量来表示吗关的量来表示吗?作业：作业：同步作业同步作业P1-P4 （1）你还可以用其它方法证明）你还可以用其它方法证明正弦定理吗？正弦定理吗？（2）七七.课后探究和作业布置课后探究和作业布置芜湖十二中数学组谢谢大家！
