1、 第第 三三 节节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一、线性方程一、线性方程二、伯努利方程二、伯努利方程三、小三、小 结结重点：一阶线性方程的通解公式重点：一阶线性方程的通解公式难点：可化为一阶线性的方程难点：可化为一阶线性的方程实例实例1.1.问题的提出问题的提出有一电路图有一电路图,如图所示如图所示,).(,),(sintILREtEEmm求求电电流流是是常常数数都都和和电电感感电电阻阻为为常常数数其其中中电电源源电电动动势势为为 解解 根据基尔霍夫定律可得方程根据基尔霍夫定律可得方程0dd IRtILE*基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchhoff,18241887),德国物理学家德国物
2、理学家.他于他于18451845年提出此定律年提出此定律 LtELIRtIm sindd 一、线性方程一、线性方程xLEyLRxymxtyI sindd )1()()(ddxQyxPxy 2.2.定义定义,0)(xQ当当方程方程(1)称为称为齐次的齐次的.方程方程(1)称为称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy 分离变量得分离变量得.lnd)(lnCxxPy 两端积分得两端积分得齐次方
3、程的通解为齐次方程的通解为.d)(xxPCey(1)(1)线性齐次方程线性齐次方程3.解法解法是可分离变量的方程是可分离变量的方程*齐次方程通解中的不定积分记号表示一个确定的原函数齐次方程通解中的不定积分记号表示一个确定的原函数作变换作变换 xxPexuyd)()(,)()()(d)(d)(xxPxxPexPxuexuy(2)(2)线性非齐次方程线性非齐次方程)1()()(ddxQyxPxy 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 xxPCeyd)(xxPxxPexuCed)(d)()(?)2(0)(dd yxPxy()0,Q x 方程方程(2)(2)称为方程称为方程(1)(1)对应的齐次方
4、程对应的齐次方程此时，记作变换作变换 xxPexuyd)()(,)()()(d)(d)(xxPxxPexPxuexuy对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 xxPCeyd)(得得代代入入方方程程和和将将)1(yy CxexQxuxxP d)()(d)(),()(d)(xQexuxxP 积分得积分得方程方程(1)的通解为的通解为d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 注注:将齐次方程通解中的将齐次方程通解中的常数常数变易为变易为待定函数待定函数的方法称为的方法称为常数变易法常数变易法实质实质:未知函数的变量替换未知函数的变量替换.)()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数
5、xexQeCexxPxxPxxPd)(d)(d)(d)(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 非齐次通解非齐次通解=对应齐次通解对应齐次通解+非齐次特解非齐次特解.12)1(25的的通通解解求求方方程程 xyxy,12)(xxP,)1()(25 xxQ Cxexeyxxxxd)1(d1225d12 Cxxxxd)1()1()1(2252解解例例1 1 Cxx)1(32)1(232 Cxxy)1()1(23232故方程的通解为故方程的通解为d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 代入通解公式得代入通解公式得例例2 2 如图
6、所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx.91)1(ln2的的特特解解满满足足求求微微分分方方程程 yxxyyx.ln)(,2)(xxQxxP 简解简解方程的通解为方程的通解为20052005
7、研研 Cxxxxy)31ln(311332)1ln3(9 xxy故所求特解为故所求特解为*应用通解公式时必须将方程化为标准形式应用通解公式时必须将方程化为标准形式例例2 2.0|sindd0的的特特解解满满足足求求方方程程 tmItLEILRtI,sin)(,)(tLEtQLRtPm CtteLEetItLRmtLRdsin)(解解例例3 3代入公式得代入公式得,0|2220LRLECImt 得得代代入入通通解解将将初初始始条条件件tLRmCetLtRLRE )cossin(222 d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 稳态电流稳态电流 暂态电流暂态电流故所求特解为故所求特解为tLRm
8、meLRLEtLtRLREtI 222222)cossin()(.arctan)sin()(222222RLeLRLEtLREtItLRmm 其中其中分析分析 将上式改写为将上式改写为(1)(2)例5.成正比,求解解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分:得Cmtvkgmk)(ln1)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)e1(tmkkgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.kgmv t 足够大时伯努利伯努利(Be
9、rnoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPxy)()(dd )3()1,0(n方程方程(3)为为线性微分方程线性微分方程 方程为方程为(3)非线性微分方程非线性微分方程时时，当当1,0 n时时，当当1,0 n二、伯努利方程二、伯努利方程1.1.定义定义*伯努利方程伯努利方程(3)(3)是由詹姆斯是由詹姆斯.伯努利伯努利(James Bernoulli,瑞士数瑞士数学家学家,1654-1705)于于1695 年提出的年提出的,:1 nyz 作变量替换作变量替换，则则xynynxzdd)1(dd ),()(dd1xQyxPxyynn ),()1()()1(ddxQnzxPnxz 求
10、出通解后求出通解后,将将 代入即得代入即得nyz 1得得两两端端除除以以,ny代入上式代入上式 dd)()1()1)(d)()1(1CxxxPnenxQxxPneny2.2.解法解法*此变量替换由莱布尼兹于此变量替换由莱布尼兹于16961696年给出年给出.4dd2的的通通解解求求方方程程yxyxxy .4dd12xyxxyy ,yz 令令,4dd22xzxxz ,22 Cxxz解解得得解解，得得方方程程两两端端除除以以nyn,21 例例5.224 Cxxy即通解为即通解为解解法法已已知知的的方方程程解解法法未未知知的的方方程程?.1dd型型化化为为已已知知求求解解方方法法的的类类将将方方程程
11、yxxy 解法一解法一,uyx 令令,1dddd xuxy则则代入原方程得代入原方程得.11dduxu 隐式通解为隐式通解为.)1ln(Cyxy 解法二解法二.ddyxyx 将将方方程程变变形形为为例例6可分离变量的方程可分离变量的方程x关于关于y的一阶线性非齐次方程的一阶线性非齐次方程*解法二如何理解解法二如何理解?例例6 6 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:;22.122xxexyyy 解解,212222xxexydxdyy ,yz2 令令,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx ;)(sin
12、1.22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(12xyzxydxdzx ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ,sin112zxdxdzx 三、小三、小 结结2.线性非齐次方程线性非齐次方程3.伯努利方程伯努利方程 xxPexuyd)()(令令zyn 1令令 变量替换变量替换 常数变易法常数变易法1.线性齐次方程线性齐次方程 变量分离法变量分离法解解法法已已知知的的方方程程的的方方法法解解法法未未知知的的方方程程(1)(1)常数变易法常数变易法;(2);(2)变量替换变
13、量替换;(3);(3)改变变量的属性改变变量的属性 第第 五五 节节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程一、一、型的微分方程型的微分方程二、二、型的微分方程型的微分方程三、三、型的微分方程型的微分方程)()(xfyn),(yxfy ),(yyfy 重点：可降阶的高阶微分方程类型及解法重点：可降阶的高阶微分方程类型及解法解法：解法：特点：特点：.,)1(nyyy及及不不含含未未知知函函数数)()1(xPyn 令令).()(,)()(xfPxfyPynn 变变形形为为则则),(xP求得求得,次次连连续续积积分分 n可得通解可得通解.一、一、型型)()(xfyn 方程两端积分，方程两端积分，.
14、)(1)1(CdxxfyPn则则.sin的的通通解解求求方方程程xxy 例例 1解解对所给方程连续两次积分得：对所给方程连续两次积分得：Cxxdxxxy12cos21)sin(.sin61213CCxxxy 练习：练习：.的的通通解解求求方方程程exxy .)3(3221CCxCexxyx .0)4()5(的的通通解解求求方方程程 yxy解解),()4(xPy 设设代入原方程代入原方程,0 PPxxCP1 解线性方程解线性方程,得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxC
15、y 54233251dxdxdxdxdy 例例 2)(xpy 设设,Py 则则特点：特点：.y右右端端不不含含解法：解法：),(yxfy 二、二、型型.),(yxP然然后后求求先先求求出出).,(),(PxfPyxfy 变变形形为为则则.3|,1|2)1(002的的特特解解满满足足初初始始条条件件求求方方程程 xxyyyxyx例例 3解解),(xPy 设设代入原方程并分离变量后，有代入原方程并分离变量后，有.122dxxpdpx 两端积分两端积分,得得).1(,)1ln(ln212xCxpCp 即即于是原方程特解为于是原方程特解为Cxxy233 .3,3|10 Cxy得得由由条条件件).1(3
16、2xy 故故两端再积分两端再积分,得得.1,1|20 Cxy得得又又由由条条件件.133 xyx)(ypy 设设,dydPpdxdydydpy 则则一一阶阶方方程程，的的代代入入原原方方程程得得到到新新函函数数)(yP特点：特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：),()(pyfypdxdy ),(yyfy 三、三、型型.),(yyP然然后后求求通通解解先先求求出出.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解1,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得,02 PdydPPy,0)(PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xceCy 原方
17、程通解为原方程通解为,1yCdxdy 例例 4解解2 原方程变为原方程变为,yyyy 两边积分两边积分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解为原方程通解为.12xCeCy 解解3,12y两端同乘不为零因子两端同乘不为零因子,0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故从而通解为从而通解为.12xCeCy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解将方程写成将方程写成,0)(yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即积分后得通解积分后得通解.212CxCy 注意注意:这一部分技巧性较高这一部分技巧性较高,关键是代换和导数变形关键是代换和导数变形.例例 5).0(K的
18、的曲曲率率都都等等于于常常数数求求曲曲线线，它它在在任任意意点点处处解解2 3/2|,1()yKy则),(xyy 设曲线设曲线代入原方程得代入原方程得.)(2212CCxRy .1,)(2121KRCxRCxp 例例 6,0pyy 设设当当2 3/2,(1)dpKdxp),(112CxKpp .)(2212CCxRy ,0pyy 设设当当.)()(22221RCyCx 例例7.7.设降落伞系统的质量为设降落伞系统的质量为m m，受空气阻力与速，受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开飞机时的速度为零。度成正比，并设降落伞离开飞机时的速度为零。求降落伞降落的速度与时间的关系求降落伞降落的速度与时间
19、的关系v(t).v(t).建建立立坐坐标标系系如如图图。解解.v(t)kvmgF 所所受受的的力力kvmgdtdvm gvmkdtdv 0)0(v.)(tmkCekmgtv .)(tmkCekmgtv ).1()(tmkekmgtv .)(limkmgtvt 四、小结四、小结解法解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解.2的通解的通解求方程求方程yyyxyxy ,yzxzzy设则,xCz 解其通解为解其通解为.212xCCxdxeCey 原方程通解为原方程通解为补充题补充题:解解yyyyxyyxyyyyxyxy )(2222得得同同除除以以.)(yyyyx 练
20、练 习习:求解下列方程求解下列方程.)1(2)1(.327dyxdxyx .2xyy .0.433 yxxydxdy.2.5xyyyx 31.1 0.y y 习题习题12.312.3 1 1（4 4）（）（5 5）（）（6 6）2 2（2 2）3 3（1 1）4 4（2 2）习题习题12.512.5 1 1（2 2）（）（4 4）（）（6 6）2 2（3 3）练习答案练习答案 .2xyy .)1(2)1(.327dyxdxyx ;)1(32)1(.3272 xxCy.21.2221CxxeCyx 31.10.y y 221121.1().C yC xC.0.433 yxxydxdy.2.5xyyyx ;1.4222 xCeyx;.5Cxyx
