1、1.3.3 函数的最大（小）值与导数 汽油的消耗量（单位：汽油的消耗量（单位：L L）与）与汽车的速度（单位：汽车的速度（单位：km/hkm/h）之间有一定的关系，汽油的之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数消耗量是汽车速度的函数根据你的生活经验，思考根据你的生活经验，思考下面两个问题：下面两个问题：（1 1）是不是汽车的速度越快，汽油是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大的消耗量越大 ；（2 2）“汽油的使汽油的使用率最高用率最高”的含义是什么？的含义是什么？解析解析:（1 1）显然不是；）显然不是；（2 2）行驶里程一定）行驶里程一定,汽油消耗量最小汽油消耗量最小.今天我们来学习有
2、关最大值与最小值的问题！今天我们来学习有关最大值与最小值的问题！飞驰的汽车飞驰的汽车 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高、效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化用料最省、产量最高、效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题为求一个函数的最大值和最小值问题.函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？何？极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函极值是一个局部概念，极值只是某个点的
3、函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小或最小.探究点探究点 函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数 a1x2x3xo4x5x6xbxy xfy 图图 3 3.3 3-1 13 3如如 图图 3 3.3 3-1 1 3 3,观观 察察 区区 间间a a,b b 上上 函函 数数 y y=f fx x 的的图图 象象,你你 能能 找找 出出 它它 的的 极极大大 值值、极极 小小 值值 吗吗?.1 13 35 52 24 46 6观观 察察 图图 象象,我我 们们 发发 现现,f f
4、x x,f fx x,f fx x是是 函函 数数 y y=f fx x的的 极极 小小 值值,f fx x,f fx x,f fx x是是 极极 大大 值值3 3从从 图图 3 3.3 3-1 1 3 3 可可 以以 看看 出出,函函 数数 y y=f fx x在在 区区 间间a a,b b上上最最 大大 值值 是是 f fa a,最最 小小 值值 是是 f fx x.的的你你 能能 找找 出出 函函 数数 y y=f fx x在在 区区 间间a a,b b 上上 的的 最最大大 值值、最最探探 究究小小 值值 吗吗?a1x2x3xo4x5xbxy xfy 图图 3 3.3 3-1 14 4
5、 xfy abxyo图图 3 3.3 3-1 15 5在在 图图 3 3.3 3-1 1 4 4、3 3.3 3-1 1 5 5 中中,观观 察察a a,b b上上 的的 函函 数数y y=f fx x的的 图图 象象,它它 们们 在在a a,b b上上 有有 最最 大大 值值、最最小小 值值 吗吗?如如 果果 有有,最最 大大 值值 和和 最最 小小 值值 分分 别别 是是 什什么么?一一 般般 地地,如如 果果 在在 区区 间间a a,b b 上上 函函 数数 y y=f fx x 的的图图 象象 是是 一一 条条 连连 续续 不不 断断 的的 曲曲 线线,那那 么么 它它 必必 有有最最
6、 大大 值值 和和 最最 小小 值值.43 3结结 合合 图图 3 3.3 3-1 14 4、图图 3 3.3 3-1 15 5,以以 及及 函函 数数 极极 值值中中 的的 例例 子子,不不 难难 看看 出出,只只 要要 把把 函函 数数 y y=f fx x 的的所所 有有 极极 值值 连连 同同 端端 点点 的的 函函 数数 值值 进进 行行 比比 较较,就就可可 以以 求求 出出 函函 数数 的的 最最 大大 值值f fx x与与 最最 小小 值值f fx x.为为 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足：满
7、足：最大值与最小值的概念最大值与最小值的概念 （1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有f(x)M;f(x)M;（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得f(xf(x0 0)=M)=M那么，称那么，称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值.一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有f(x)M;f(x)M;（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得f(xf(x0 0)=M)=M那么，称那么，称M M是函数是函数y=f(x)
8、y=f(x)的最小值的最小值.13 31 1求求 函函 数数 f fx x=x x-4 4x x+4 4 在在0 0,3 3 上上 的的 最最 大大 值值3 3与与例例最最 小小 值值.oxy233 31 1f fx x=x x-4 4x x+4 43 3图 1 14 4 为3 3221 1因因f x=x-4x+4,所f x=x-4x+4,所以以3 3fx=x-4=fx=x-4=解解x-2x+2.x-2x+2.令令fx=0,得fx=0,得x=2,或x=2,或x=-2.x=-2.当 变时变况 x化x化,fx,f x 的,fx,f x 的化化情情如如下下表表:由又又于于 f f 0 0=4 4,f
9、 f 3 3=1 1,数4 4因因 此此,函函f f x x在在 0 0,3 3 上上 的的 最最 大大 值值 是是 4 4,最最 小小 值值 是是-.3 3结 论从数图图观 验 证上上 述述可可函函f fx x在在 0 0,3 3 上上 的的象象(1 1)得得 到到 直直.单 调 递单 调 递 减单 调 递 x x-,-2 2-2 2-2 2,2 22 22 2,+f fx x+0 0-0 0+2 28 84 4f fx x增增-增增3 33 3一一 般般 地地,求求 函函 数数 y y=f fx x在在a a,b b 上上 的的 最最大大 值值 与与 最最 小小 值值 的的 步步 骤骤 如
10、如 下下:1 1 求求 函函 数数 y y=f fx x在在a a,b b内内 的的 极极 值值;2 2将将 函函 数数 y y=f fx x 的的 各各 极极 值值 与与 端端 点点 处处的的 函函 数数 值值 f fa af fb b 比比 较较,其其 中中 最最 大大 的的一一 个个 是是 最最 大大 值值,最最 小小 的的 一一 个个 是是 最最 小小 值值.，例例2 求函数求函数yx42x25在区间在区间-2,2上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解解:344yxx 令令 ,解得解得x x=-1=-1，0 0，1.1.0y 当当x x变化时变化时,的变化情况如下表的变化情况如下表:
11、,yy 从上表可知，最大值是从上表可知，最大值是1313，最小值是，最小值是4.4.1345 4 130002(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2yxy 1.1.函数的最值概念是全局性的函数的最值概念是全局性的2.2.函数的最大值（最小值）唯一函数的最大值（最小值）唯一3.3.函数的最值可在端点处取得函数的最值可在端点处取得总结提升总结提升1.1.函数函数f(x)=x-3x+1f(x)=x-3x+1在闭区间在闭区间-3,0-3,0上的最大值、上的最大值、最小值分别是（最小值分别是（）A.A.1 1，1 B.11 B.1，-17 -17 C.3C.3，-17 D.9-17
12、D.9，-19-19C C2.2.函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，导函数，导函数f(x)f(x)的图象的图象如图，则函数如图，则函数f(x)f(x)（）A.A.无极大值点，有两个极小值点无极大值点，有两个极小值点B.B.有三个极大值点，两个极小值点有三个极大值点，两个极小值点C.C.有两个极大值点，两个极小值点有两个极大值点，两个极小值点D.D.有四个极大值点，有四个极大值点，无极小值点无极小值点C Cxoyf (x)3.3.设函数设函数 则则 （）A A有最大值有最大值 B B有最小值有最小值C C是增函数是增函数 D D是减函数是减函数1 1f f(x x)=2 2x
13、x+-1 1(x x 0,f(-1)-f(2)=9a0,所以所以f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(2)=-16a+3=-29,f(2)=-16a+3=-29,故故a=2.a=2.1.1.求在求在a,ba,b上连续上连续,(a,b),(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)f(x)在在a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤:(1)(1)求求f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内的极值内的极值;(2)(2)将将f(x)f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)，f(b)f(b)比较比较,其中最大的一个是最大值其中最大的一个是最大值,最小最小的一个是最小值的一个是最小值.一是利用函数
14、性质一是利用函数性质二是利用不等式二是利用不等式三是利用导数三是利用导数 2.2.求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法：3.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在(a,b)内未必有最大值与最小内未必有最大值与最小值值.(3)一旦给出的函数在一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤不要忘记在步骤(2)中中,要把这些点的函数值与各极值和要把这些点的函数值与各极值和f(a)，f(b)放在一起比较放在一起比较.
