1、2.2.2反证法 1了解反证法是间接证明的一种方法2理解反证法的思维过程，并会用反证法证明简单的数学问题1问题A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎则C必定是在撒谎，为什么？提示假设C没有撒谎，则C真那么A假且B假；由A假，知B真这与B假矛盾那么假设C没有撒谎不成立；则C必定是在撒谎2已知正整数a，b，c满足a2b2c2，求证：a，b，c不可能都是奇数问题1你能利用综合法和分析法证明该问题吗？提示1不能问题2a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？提示2都是奇数假设原命题_，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证明了_，这种证明方法叫做反证法定义 不成立假设错误原命
2、题成立反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与_矛盾，或与_矛盾，或与_、公理、定理、事实矛盾等反证法常见的矛盾类型 已知条件假设定义反证法的实质及注意事项(1)反证法的实质反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面入手，合乎逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真一假，由此肯定命题“若p则q”为真(2)注意事项用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的过程毫无意义反证法的“归谬”要合理1应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用()结论相反判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论ABC D解析：由反证法定义可知正确答
3、案：C2用反证法证明命题：“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除Da不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b 都不能被5整除”答案：B3用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案：合作探究 课堂互动 用反证法证明否(肯)定式命题 平面上有四个点
4、，假设无三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形思路点拨 1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法2用反证法证明问题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾(3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 用反证法证明唯一性问题 已知a与b是异面直线求证：过a且平行于b的平面只有一个思路点拨这是一个唯一性问题，直接证明较困难，宜用反证法如图，假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为和，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面，且与，分别交于过点A的直
5、线c，d，由b，知bc，同理bd，故cd，这与c，d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用特别提醒：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个问题，即存在性问题和唯一性问题2已知：一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和
6、平面垂直证明：根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明(1)如图，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾所以ABBC，ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点A只能有一条直线和平面垂直用反证法证明“至多”“至少”存在性问题已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y
7、ax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点思路点拨结论中有词语“至少”，宜采用反证法，注意“至少有一个”的否定形式为“一个也没有”所以ABBC，ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点A只能有一条直线和平面垂直1.当命题出现“至多”“至少”等形式时，适合用反证法2常见的“结论词”与“反设词”原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n1个至少有n1个原结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立原结论词都是是p或qp且q反设词不都是不是p且qp或q用反证法证明命题“a，b为整数，若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为_【错解】a，b不都是偶数【错因】应用反证法时，假设错误a，b不都是偶数包括的情况有：a是偶数，b是奇数；a是奇数，b是偶数；a是奇数，b是奇数注意否定的结论是不是结论的对立面，“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”【正解】a，b不都是奇数谢谢观看！谢谢观看！
