1、九章算术九章算术中的数学成就中的数学成就背景知识背景知识 公元公元1 1世纪至世纪至8 8世纪初，改变了世纪初，改变了先前只追求算法、不研究算理的学先前只追求算法、不研究算理的学风，开始给出概念的定义，进行推风，开始给出概念的定义，进行推理论证，取得了许多世界领先的成理论证，取得了许多世界领先的成果，同时涌现出一批杰出数学家。果，同时涌现出一批杰出数学家。刘徽与刘徽与九章算术注九章算术注西汉年间，中国有了专门的数学著西汉年间，中国有了专门的数学著作：作：许商算术许商算术、杜忠算术杜忠算术、算数书算数书和和九章算术九章算术，其中前两，其中前两部著作早已失传。部著作早已失传。背景知识背景知识背景知
2、识背景知识算数书算数书，19841984年从湖北张家山古年从湖北张家山古墓中发掘出土的。据考证，墓中发掘出土的。据考证，算数书算数书是是公元前公元前206206年前年前179179年的一部数学著作，年的一部数学著作，它以实际应用问题的形式编纂。它以实际应用问题的形式编纂。知识梳理知识梳理九章算术九章算术 是中国古代的一本传世数学是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于世的是三国时代刘徽于263263年完成的注释本。刘年完成的注释本。刘徽布衣出身，生平不详。从他的徽布衣出身，生平不详。从他的九章算术注九章算术
3、注自序中可以知道：他早年系统地学习过自序中可以知道：他早年系统地学习过九章算九章算术术，并以，并以“注注”的形式将其研究成果记载下来，的形式将其研究成果记载下来，完成了完成了九章算术注九章算术注。知识梳理知识梳理九章算术九章算术成书的确切起始年代无法确定，成书的确切起始年代无法确定，只知在汉代就曾经过北汉平侯张苍（约前只知在汉代就曾经过北汉平侯张苍（约前200200年）年）和大司农中丞耿寿昌（约前和大司农中丞耿寿昌（约前5050年）的整理。年）的整理。知识梳理知识梳理第一章方田（分数四则运算和平面图形第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积）求面积）第二章粟米（粮食交易的计算方法）第二章粟米（
4、粮食交易的计算方法）第三章衰分（比例分配）第三章衰分（比例分配）九章算术九章算术是以应用问题集的形是以应用问题集的形式表述，一共收入式表述，一共收入246246个问题。个问题。九章算九章算术术把把246246个问题分为九章：个问题分为九章：知识梳理知识梳理第四章少广（开平方与开立方）第四章少广（开平方与开立方）第五章商功（体积计算）第五章商功（体积计算）第六章均输（运输中的均匀负担）第六章均输（运输中的均匀负担）第七章盈不足（盈亏类问题计算）第七章盈不足（盈亏类问题计算）第八章方程（一次方程组解法与正负数）第八章方程（一次方程组解法与正负数）第九章勾股（勾股定理的应用）第九章勾股（勾股定理的应
5、用）知识梳理知识梳理全书的编排方法是：先举出问题，再给全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解法的考察，最后出答案，通过对一类问题解法的考察，最后给出给出“术术”。全书共有。全书共有202202个个“术术”。术，。术，是一类问题的一般算法描述，它是研究中国是一类问题的一般算法描述，它是研究中国传统数学成果的主要依据。传统数学成果的主要依据。知识梳理知识梳理九章算术九章算术的内容是由周代的内容是由周代的的“九数九数”发展而来的。发展而来的。刘徽称：刘徽称：“周公制礼而有九数，九数之流则周公制礼而有九数，九数之流则九章九章是矣是矣”。知识梳理知识梳理明代刊印的明代刊印的九章算术注
6、九章算术注 知识梳理知识梳理九章算术九章算术标志着中国传统标志着中国传统数学的知识体系已初步形成。代表数学的知识体系已初步形成。代表了中国传统数学体系和思想方法的了中国传统数学体系和思想方法的特点：特点：注重实际问题的数值计算方注重实际问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算使用算筹，形成世界上独有的计算工具和程序化计算方法。工具和程序化计算方法。知识梳理知识梳理九章算术注九章算术注对数学方法的贡献对数学方法的贡献开始了其独特的推理论证的尝试。开始了其独特的推理论证的尝试。“析理以辞，解体用图。析理以辞，解体用图。”创立了创
7、立了“出入相补出入相补”的方法，提出了的方法，提出了“割圆割圆术术”，上首次将极限概念用于近似计算；，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；但为后人提供了科学的方法；知识梳理知识梳理引入十进制小数的记法和负整数的引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何他对勾股测量问题的深入研究
8、，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法辑手段推导出结果的方法 。知识梳理知识梳理提出提出“审辨名分审辨名分”，不但对自己提，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定出的每一个新概念都给出界定九章算九章算术注术注丰富了丰富了九章算术九章算术的数学成果，的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。主要表现在算术、代数和几何诸方面。诸如，割圆术与徽率诸如，割圆术与徽率“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。圆合体而无所失矣。”设圆面积为设圆面积为S S0 0、半径为
9、、半径为 r r、圆内接正圆内接正n n边形边长为边形边长为 l ln n 、周、周长为长为 L Ln n、面积为、面积为 S Sn n 。将边数。将边数加倍后加倍后,得到圆内接正得到圆内接正2 2n n边形，边形，其边长、周长、面积分别记为其边长、周长、面积分别记为 l l2n 2n,L,L2n 2n,S,S 2n 2n。刘徽首先指出，由刘徽首先指出，由 l ln n 及勾股及勾股定理可求出定理可求出 l l2n2n 割圆术的基本原理割圆术的基本原理知识梳理知识梳理其次知道了圆内接正其次知道了圆内接正n n 边形的周边形的周长长 L Ln n，又可求得正，又可求得正2 2n n边形的面积，边形的面积，如果在圆内接如果在圆内接n n边形的每边上作一高边形的每边上作一高为为CDCD的矩形，就可以证明刘徽不等式：的矩形，就可以证明刘徽不等式：S S2 2n n S S0 0 S S2 2n n +(+(S S2 2n nS Sn n ).).知识梳理知识梳理 从从圆内接正六边形出发，取圆内接正六边形出发，取半径半径r r为为1 1尺，一直计算到尺，一直计算到192192边形，边形，得出圆周率的近似值得出圆周率的近似值3.143.14，化成分数为化成分数为157/50157/50，这就是有名，这就是有名的的“徽率徽率”。知识梳理知识梳理谢谢欣赏！谢谢欣赏！
