1、 4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2单位圆与周期性学习目标1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.思考1角的正弦、余弦分别等于什么？答案思考2对确定的锐角，sin，cos 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案答案答案不会.思考3若取|OP|1时，sin，cos 的值怎样表示？答案答案答案sin y，cos
2、x.(1)对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的 定义为角的正弦函数，记作 ；点P的 定义为角的余弦函数，记作 .(2)对于给定的角，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.梳理梳理纵坐标vvsin 横坐标uucos 思考知识点二正弦、余弦函数的定义域对于任意角，sin，cos 都有意义吗？答案答案答案由三角函数的定义可知，对于任意角，sin，cos 都有意义.梳理梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R思考知识点三正弦、余弦函数
3、值在各象限的符号根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？答案答案答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sin v，cos u.当为第一象限角时，v0，u0，故sin 0，cos 0，同理可得在其他象限时三角函数值的符号.梳理梳理正弦、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限 第二象限 第三象限 第四象限sin cos 思考知识点四周期函数由sin(x2k)sin x(kZ)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？答案答案答案2，4，6，2，等都是函数的周期.梳理梳理一般地，对于函数f(
4、x)，如果存在 ，对定义域内的_x值，都有 ，我们就把f(x)称为周期函数，称为这个函数的周期.特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k(kZ，k0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2是正弦函数、余弦函数正周期中 的一个，称为 ，简称为周期.非零实数T任意一个f(xT)f(x)T最小最小正周期题型探究命题角度命题角度1已知角已知角终边上一点坐标求三角函数终边上一点坐标求三角函数值值例例1已知终边上一点P(x，3)(x0)，且cos x，求sin 的值.解答类型一正弦函数、余弦函数定义的应用x0，x1.当x1时，P(1，3)，当x1时，P(1，3)，(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数
5、值的方法先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.在的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则sin ，cos .当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1已知角的终边过点P(3a，4a)(a0)，求2sin cos 的值.解答若a0，则r5a，角在第二象限，若a0，则为第一象限角，r2a，若a0，则为第三象限角，r2a，例例3(1)若是第二象限角，则点P(sin，cos)在A.第一象限 B.第二象限C.第三
6、象限 D.第四象限类型二正弦、余弦函数值符号的判断答案解析解析解析为第二象限角，sin 0，cos 0，点P在第四象限，故选D.(2)判断下列各式的符号.sin 145cos(210)；解答解解145是第二象限角，sin 1450，210360150，210是第二象限角，cos(210)0，sin 145cos(210)0.sin 3cos 4.解答sin 30，cos 40，sin 3cos 40.准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键.反思与感悟 跟踪训练跟踪训练3若三角形的两内角A，B，满足sin Acos B0，则
7、此三角形必为A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都有可能解解析析由题意知，A，B(0，)，sin A0，cos B0，B为钝角.故选B.答案解析例例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2)f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；类型三周期性证明证明证明f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)，由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2)，求证：函数f(x)以4为周期的周期函数.证明由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零
8、常数T，对任意定义域内实数x，都有f(xT)f(x).(2)一般地，如果f(xa)f(x)，那么f(x)的周期为2a(a0)；如果f(xa)，那么f(x)的周期也为2a(a0).反思与感悟跟踪训练跟踪训练4若函数yf(x)(xR)满足f(x)f(xa)f(xa)(a0，cos 0.解析3.设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x(1，0)时，f(x)2x1，则f()的值为A.2 B.0C.1 D.3答案解析解析 f(x)是以1为一个周期的函数，kZ也是f(x)的周期.解析又当x(1，0)时，f(x)2x1，234514.点P(sin 2 016，cos 2 016)位于第 象限.答案解析解析解
9、析 2 0165360216，2 016是第三象限角，则sin 2 0160，cos 2 0160.23451三5.已知角的终边在直线y2x上，求sin cos 的值.解答23451解解在直线y2x上任取一点P(x，2x)(x0)，2345123451规律与方法1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点.2.三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现
10、了分类讨论的思想.3.正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值.本课结束仅做学习交流，谢谢！仅做学习交流，谢谢！语文：初一新生使用的是教育部编写的教材，也称“部编”教材。“部编本”是指由教育部直接组织编写的教材。“部编本”除了语文，还有德育和历史。现有的语文教材，小学有12种版本，初中有8种版本。这些版本现在也都做了修订，和“部编本”一同投入使用。“部编本”取代原来人教版，覆盖面比较广，小学约占50%，初中约占60%。今秋，小学一年级新生使用的是语文出版社的修订版教材，还是先学拼音，后学识字。政治：小学一年级
11、学生使用的教材有两个版本，小学一年级和初一的政治教材不再叫思想品德，改名为道德与法治。历史：初一新生使用华师大版教材。历史教材最大的变化是不再按科技、思想、文化等专题进行内容设置，而是以时间为主线，按照历史发展的时间顺序进行设置。关于部编版，你知道多少？为什么要改版？跟小编一起来了解下吧！一新教材的五个变化一、入学以后先学一部分常用字，再开始学拼音。汉字是生活中经常碰到的，但拼音作为一个符号，在孩子们的生活中接触、使用都很少，教学顺序换一换，其实是更关注孩子们的需求了。先学一部分常用常见字，就是把孩子的生活、经历融入到学习中。二、第一册识字量减少，由400字减少到300字。第一单元先学40个常
12、用字，比如“地”字，对孩子来说并不陌生，在童话书、绘本里可以看到，电视新闻里也有。而在以前，课文选用的一些结构简单的独体字，比如“叉”字，结构比较简单，但日常生活中用得不算多。新教材中，增大了常用常见字的比重，减少了一些和孩子生活联系不太紧密的汉字。三、新增“快乐阅读吧”栏目，引导学生开展课外阅读。教材第一单元的入学教育中，有一幅图是孩子们一起讨论西游记等故事，看得出来，语文学习越来越重视孩子的阅读表达，通过读故事、演故事、看故事等，提升阅读能力。入学教育中第一次提出阅读教育，把阅读习惯提升到和识字、写字同等重要的地位。四、新增“和大人一起读”栏目，激发学生的阅读兴趣，拓展课外阅读。有家长担心
13、会不会增加家长负担，其实这个“大人”包含很多意思，可以是老师、爸妈、爷爷、奶奶、外公、外婆等，也可以是邻居家的小姐姐等。每个人讲述一个故事，表达是不一样的，有人比较精炼，有人比较口语化，儿童听到的故事不同，就会形成不同的语文素养。五、语文园地里，新增一个“书写提示”的栏目。写字是有规律的，一部分字有自己的写法，笔顺都有自己的规则，新教材要求写字的时候，就要了解一些字的写法。现在信息技术发展很快，孩子并不是只会打字就可以，写字也不能弱化。二为什么要先识字后学拼音？一位语文教研员说，孩子学语文是母语教育，他们在生活中已经认了很多字了，一年级的识字课可以和他们之前的生活有机结合起来。原先先拼音后识字
14、，很多孩子觉得枯燥，学的时候感受不到拼音的用处。如果先接触汉字，小朋友在学拼音的过程中会觉得拼音是有用的，学好拼音是为了认识更多的汉字。还有一位小学语文老师说：“我刚刚教完一年级语文，先学拼音再识字，刚进校门的孩子上来就学，压力会比较大，很多孩子有挫败感，家长甚至很焦急。现在让一年级的孩子们先认简单的字，可以让刚入学的孩子们感受到学习的快乐，消除他们害怕甚至恐惧心理。我看了一下网上的新教材，字都比较简单，很多小朋友都认识。”语文：初一新生使用的是教育部编写的教材，也称“部编”教材。“部编本”是指由教育部直接组织编写的教材。“部编本”除了语文，还有德育和历史。现有的语文教材，小学有12种版本，初
15、中有8种版本。这些版本现在也都做了修订，和“部编本”一同投入使用。“部编本”取代原来人教版，覆盖面比较广，小学约占50%，初中约占60%。今秋，小学一年级新生使用的是语文出版社的修订版教材，还是先学拼音，后学识字。政治：小学一年级学生使用的教材有两个版本，小学一年级和初一的政治教材不再叫思想品德，改名为道德与法治。历史：初一新生使用华师大版教材。历史教材最大的变化是不再按科技、思想、文化等专题进行内容设置，而是以时间为主线，按照历史发展的时间顺序进行设置。关于部编版，你知道多少？为什么要改版？跟小编一起来了解下吧！一新教材的五个变化一、入学以后先学一部分常用字，再开始学拼音。汉字是生活中经常碰
16、到的，但拼音作为一个符号，在孩子们的生活中接触、使用都很少，教学顺序换一换，其实是更关注孩子们的需求了。先学一部分常用常见字，就是把孩子的生活、经历融入到学习中。二、第一册识字量减少，由400字减少到300字。第一单元先学40个常用字，比如“地”字，对孩子来说并不陌生，在童话书、绘本里可以看到，电视新闻里也有。而在以前，课文选用的一些结构简单的独体字，比如“叉”字，结构比较简单，但日常生活中用得不算多。新教材中，增大了常用常见字的比重，减少了一些和孩子生活联系不太紧密的汉字。三、新增“快乐阅读吧”栏目，引导学生开展课外阅读。教材第一单元的入学教育中，有一幅图是孩子们一起讨论西游记等故事，看得出
17、来，语文学习越来越重视孩子的阅读表达，通过读故事、演故事、看故事等，提升阅读能力。入学教育中第一次提出阅读教育，把阅读习惯提升到和识字、写字同等重要的地位。四、新增“和大人一起读”栏目，激发学生的阅读兴趣，拓展课外阅读。有家长担心会不会增加家长负担，其实这个“大人”包含很多意思，可以是老师、爸妈、爷爷、奶奶、外公、外婆等，也可以是邻居家的小姐姐等。每个人讲述一个故事，表达是不一样的，有人比较精炼，有人比较口语化，儿童听到的故事不同，就会形成不同的语文素养。五、语文园地里，新增一个“书写提示”的栏目。写字是有规律的，一部分字有自己的写法，笔顺都有自己的规则，新教材要求写字的时候，就要了解一些字的
18、写法。现在信息技术发展很快，孩子并不是只会打字就可以，写字也不能弱化。二为什么要先识字后学拼音？一位语文教研员说，孩子学语文是母语教育，他们在生活中已经认了很多字了，一年级的识字课可以和他们之前的生活有机结合起来。原先先拼音后识字，很多孩子觉得枯燥，学的时候感受不到拼音的用处。如果先接触汉字，小朋友在学拼音的过程中会觉得拼音是有用的，学好拼音是为了认识更多的汉字。还有一位小学语文老师说：“我刚刚教完一年级语文，先学拼音再识字，刚进校门的孩子上来就学，压力会比较大，很多孩子有挫败感，家长甚至很焦急。现在让一年级的孩子们先认简单的字，可以让刚入学的孩子们感受到学习的快乐，消除他们害怕甚至恐惧心理。我看了一下网上的新教材，字都比较简单，很多小朋友都认识。”
