1、书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！勤劳的孩子展望未来勤劳的孩子展望未来,但懒惰的孩子享受现在但懒惰的孩子享受现在!什什 么么 也也 不不 问问 的的 人人 什什 么么 也也 学学 不不 到到 !怀怀 天天 下下 ，求求 真真 知知 ，学学 做做 人人普通高中课程标准数学普通高中课程标准数学2-3(选修选修)第一章第一章 计数原理计数原理1.2.1 排列排列一、复习引入一、复习引入1.1.分类加法计数原理：分
2、类加法计数原理：完成一件事，有完成一件事，有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办法中有类办法中有m m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n n类类办法中有办法中有m mn n种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。那么完成这件事共有N=mN=m1 1+m+m2 2+m+mn n种不同种不同的方法。的方法。2.2.分步乘法计数原理：分步乘法计数原理：完成一件事，需要有完成一件事，需要有n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步中有步中有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步中有步中有m m
3、2 2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。那么完成这件事共有N=mN=m1 1m m2 2m mn n种不同的方法。种不同的方法。二、提出问题二、提出问题问题：问题：有红球、黄球、白球各一个，先从三个小球中任取两个，分有红球、黄球、白球各一个，先从三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里，有多少中不同的放法？别放入甲、乙盒子里，有多少中不同的放法？甲盒子甲盒子乙盒子乙盒子相应选放顺序相应选放顺序共有共有3 32=62=6种种二、提出问题二、提出问题我们把上面问题中被取的对象叫做我们把上面问题中被取的对象叫做元素元素。于是
4、，所提出的问题就是。于是，所提出的问题就是从从3 3个不同的元素个不同的元素a a、b b、c c中任取两个，然后中任取两个，然后按一定的顺序排成一列按一定的顺序排成一列，求一共求一共有多少种不同的排列有多少种不同的排列方法。方法。abcbaccaba ba ba ca cb ab ab cb cc ac ac bc b三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.排列的基本概念排列的基本概念定义：定义：一般地说，从一般地说，从n n个不同的元素中，个不同的元素中，任取任取m(mn)m(mn)个元素，按照个元素，按照一定的顺序排成一列，一定的顺序排成一列，叫做从叫做从n n个不同的元素中取出个不同的
5、元素中取出m m个元素的个元素的一个一个排列排列。说明：说明：1.1.元素不能重复。元素不能重复。2.2.“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3.3.两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。序也完全相同。三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.排列的基本概念排列的基本概念定义：一般地说，从定义：一般地说，从n n个不同的元素中，个不同的元素中，任取任取m(mn)m(mn)个元素，按照个元素，按照
6、一定的顺序排成一列，一定的顺序排成一列，叫做从叫做从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m m个元素的个元素的一个一个排列排列。说明：说明：4.m4.mn n时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，m mn n时的排列叫全排列。时的排列叫全排列。5.5.为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图树形图”。练习练习.下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？(1)10(1)10名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会(2)10(2)10名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长(3)(3)从从2,3,
7、5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘(4)(4)从从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除(5)20(5)20位同学互相握手位同学互相握手(6)20(6)20位同学互通一封信位同学互通一封信(7)(7)以圆上的以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦(8)(8)以圆上的以圆上的1010个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线(9)(9)有有1010个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？(10)(10)有有1010个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的票价？
8、三、概念形成三、概念形成三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.排列数排列数由于每解决一个问题都要画树形图太麻烦，我们不妨寻找一个计算由于每解决一个问题都要画树形图太麻烦，我们不妨寻找一个计算这类问题的公式。这类问题的公式。从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从个元素的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。mnAmnA英文英文ArrangementArrangement的第一个字母的第一个字母n n为元素总数为元素总数 m m 为取出元素的个数为取
9、出元素的个数三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.排列数排列数由于每解决一个问题都要画树形图太麻烦，我们不妨寻找一个计算由于每解决一个问题都要画树形图太麻烦，我们不妨寻找一个计算这类问题的公式。这类问题的公式。占位法占位法第第2位位第第1位位nn-12(1)nAn n2nA三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.排列数排列数由于每解决一个问题都要画树形图太麻烦，我们不妨寻找一个计算由于每解决一个问题都要画树形图太麻烦，我们不妨寻找一个计算这类问题的公式。这类问题的公式。占位法占位法第第2位位第第1位位nn-1第第3位位n-23(1)(2)nAn nn3nA三、概念形成三、概念形成概念概念2.
10、2.排列数排列数由于每解决一个问题都要画树形图太麻烦，我们不妨寻找一个计算由于每解决一个问题都要画树形图太麻烦，我们不妨寻找一个计算这类问题的公式。这类问题的公式。占位法占位法第第2位位第第1位位nn-1第第3位位n-2第第m位位n-m+1(1)(2)(1)mnAn nnnmmnA三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.排列数排列数(1)(2)(1)mnnnnnmA!(1)(2)321nnnnnnA特殊地，当特殊地，当m=nm=n时，称为时，称为n n的的全排列全排列(n n的阶乘的阶乘)注意注意“排列排列”和和“排列数排列数”的区别和联系？的区别和联系？一个排列指的是一个排列指的是“从从n
11、n个元素中任取个元素中任取m m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数。个元素按照一定的顺序排成一列，不是数。排列数是指排列数是指从从n n个元素中任取个元素中任取m m个元素的所有排列的个数是一个数。个元素的所有排列的个数是一个数。三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.排列数排列数(1)(2)(1)mnnnnnmA()(1)(2)(11)321()(1)3)21mnnmnnnnnmnmnmmA!()!mnnnmA说明：排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。说明：排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。注意：规定注意：规定 0 0！=1=1三、概念形成三、概念形成概念概念2.
12、2.排列数排列数例子例子.计算下列各式：计算下列各式：(1)(2)(3)(1)(2)(3)34A66A48A3443224A解：解：(1)(1)666!654321720A(2)(2)4887651680A(3)(3)四、应用举例四、应用举例例例2.2.求证：求证：11mmmnnnAm AA-+=证明：证明：1!()!(1)!mmnnnnAm Amnmnm-+=+-+!(1)!(1)!nnmnmnm-+=-+!(1)(1)!nnmmnm-+=-+1(1)!(1)!mnnAnm+=-+11mmmnnnAm AA-+=四、应用举例四、应用举例例例3.3.某年全国足球甲级联赛有某年全国足球甲级联赛有
13、1414个队参加，每队都要与其余各队个队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一场，共进行多少场比赛？在主、客场分别比赛一场，共进行多少场比赛？例例4.(1)4.(1)有有3 3名大学生，到名大学生，到5 5个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且招聘一名新雇员，且3 3名大学生全部被聘用，若不允许兼职，共有多名大学生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？少种不同的招聘方案？(2)(2)有有5 5名大学生，到名大学生，到3 3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只应聘一名个招聘雇员的公司应聘，每个公司只应聘一名新雇员，并且不允许兼职
14、，现假定新雇员，并且不允许兼职，现假定3 3个公司都完成了招聘工作，问共个公司都完成了招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？有多少种不同的招聘方案？214182A=3560A=3560A=即方程的解为即方程的解为四、应用举例四、应用举例例例5 5、解方程：、解方程：232100 xxAA2(21)(22)1 0 0(1)xxxxx解：原方程化为解：原方程化为2x 因为方程满足因为方程满足(21)(22)5 0(1)xxx所以所以1x 解之解之1 3x(舍舍)或或1 3x 四、应用举例四、应用举例例例8.8.用用0 0到到9 9这这1010个数字可以组成多少个没有重复数字的个数字可以组成多少个没
15、有重复数字的(1)(1)三位数？三位数？(2)(2)四位偶数？四位偶数？特殊位置或特殊元素优先占位法特殊位置或特殊元素优先占位法练习：五个人排成一排，其中甲不站在排练习：五个人排成一排，其中甲不站在排头，乙不站在排尾，不同的排法有多少种？头，乙不站在排尾，不同的排法有多少种？四、应用举例四、应用举例例例8.8.用用0 0到到9 9这这1010个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？(另解另解）排除法排除法分析：对于一些生疏的问题或者直接求解较为复杂、困难的问题，从正面入手情分析：对于一些生疏的问题或者直接求解较为复杂、困难的问题，从正面入手情况复杂，
16、不易解决，这时可以从反面入手，将其转化为一个简单的问题来解决况复杂，不易解决，这时可以从反面入手，将其转化为一个简单的问题来解决(正正烦则反简烦则反简)。例。例8 8的第一问也可以先不考虑限制条件求出所有的三位数的第一问也可以先不考虑限制条件求出所有的三位数(百位取百位取0)0)也也可，然后减去不符合条件的排列数。称此方法为排除法。可，然后减去不符合条件的排列数。称此方法为排除法。解：从解：从0 0至至9 9这这1010个数中任取三个数字的排列数为个数中任取三个数字的排列数为310A其中其中0 0作为百位的排列数为作为百位的排列数为29A所以可以组成没有重复数字的三位数共有所以可以组成没有重复
17、数字的三位数共有32109648AA-=四、应用举例四、应用举例练习练习1 1：由数字：由数字1 1、2 2、3 3、4 4、5 5组成没有重复数字的五位数，其中小组成没有重复数字的五位数，其中小于于5000050000的偶数共有多少个？的偶数共有多少个？练习练习2 2：某一天的课程要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育、：某一天的课程要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育、美术共美术共6 6门课，如果第一节不能排体育，最后一节不排数学，那么共门课，如果第一节不能排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课表的方法。有多少种不同的排课表的方法。练习练习1 1练习练习2 2四、应用举例
18、四、应用举例例例9.69.6个人排成一排：个人排成一排：(1)(1)甲和乙要求相邻的排法有多少种？甲和乙要求相邻的排法有多少种？(2)(2)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？相邻问题的捆绑法和不相邻问题的插挡法相邻问题的捆绑法和不相邻问题的插挡法练习：有练习：有4 4个男生和个男生和3 3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：排法：(1)(1)男甲排在正中间；男甲排在正中间；(2)(2)男甲不在排头也不在排尾；男甲不在排头也不在排尾；(3)(3)三个女生排在一起；三个女生排在一起；(4)(4)三个女生
19、两两都不相邻；三个女生两两都不相邻；(5)(5)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(6)(6)若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？站法？四、应用举例四、应用举例66720A=162556653600A AA A=5353720A A=43451440A A=7373/840AA=7272/2520AA=五、课堂练习五、课堂练习思思考考课本第课本第6 6页，练习页，练习A A，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8六、课堂总结六、课堂总结
20、1 1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）；2 2基本的解题方法：基本的解题方法：(1)(1)有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；特殊元素特殊元素,特殊位置优先安排策略特殊位置优先安排策略六、课堂总结六、课堂总结(2)(2)某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑捆绑法法”；相邻问题捆绑处理的策略相邻问题捆绑处理的策略(3)(3)某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为元素插入空挡，这种方法称为“插空法插空法”；不相邻问题插空处理的策略不相邻问题插空处理的策略
